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Álgebra
Imprimir, cortar y armar. ¿Se animan?
En el siguiente acertijo se puede observar que el cuadrado de la izquierda tiene una superficie de 64 $u^2$, sin embargo al cortar y armar se obtiene sin problema un rectángulo de medida 65 $u^2$. ¿Por qué pasa esto? Es un problema simple que puede ser resuelto sin...
Ecuación Cuadrática
Definición de ecuación de segundo grado Una ecuación de segundo grado con una incógnita, conocida como ecuación cuadrática, es la ecuación con una sola variable o incógnita del tipo $Ax^2+Bx+C=0$, con $A$, $A$, y $C$ números reales y $A\ne0$ Si el coeficiente $B=0$...
Aplicaciones de la función lineal
Una función lineal del tipo $y=ax+b$ puede ser interpretada como una relación entre dos condiciones. Una razón de cambio y un valor inicial. Por ejemplo, la función $y=2x+5$ implica que a partir de el valor $y=5$ hay un crecimiento a razón de $2$ por cada paso de...
Completación de cuadrados para ecuaciones cuadráticas.
Cuando era niño me pase semanas completas tratando de memorizar la dichosa formula $x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$, pues siempre me equivocaba en un signo o en cualquier producto por simplemente estar tan concentrado en seguir la estructura que olvidaba ver los...
Modelando una ecuación cuadrática.
Una ecuación de segundo grado, o ecuación cuadrática de una variable, es una ecuación que tiene la expresión general: $$ax^{2}+bx+c=0\text{, donde } a\ne 0$$ Donde $x$ es la variable, y $a, b\text{ y } c$ constantes; $a$ es el coeficiente cuadrático (distinto de 0),...
Resolviendo problemas con el Método Crammer
Problemas de planteo Un grupo de personas se reúne para ir de excursión, juntándose un total de 20 entre hombres, mujeres y niños. Contando hombres y mujeres juntos, su número resulta ser el triple del número de niños. Además, si hubiera acudido una mujer más, su...
ALGEBRA DE MATRICES
¿Que es una matriz ? se trata de un ordenamiento para los componentes de un sistema de ecuaciones de tal que se pueda operar cómodamente los coeficientes y con ello determinar condiciones que simplifiquen el proceso de resolución. para entender la idea consideremos el...
PROGRAMACIÓN LINEAL (ejercicios)
1.-Determine el intervalo en que se cumple la siguiente inecuación $\frac{x-1}{4}<\frac{x+3}{3}+\frac{x-5}{2}$ Desarrollo $$\frac{x-1}{4}<\frac{x+3}{3}+\frac{x-5}{2}$$ $$3x-3<4x+12-6x+30$$ $$5x<45\\x<9$$ $$x\in (-\infty,9)$$ 2.- A un vendedor de coches...
CÁLCULO
¿ Y la integral del logaritmo natural ?
Una integral clásica y simple que no siempre se desarrolla en los libros es la del logaritmo natural, y la estrategia para calcular es en si bastante sencilla Basta aplicar integración por partes $$\int {x} dx$$ Sean $u=ln(x)$ y $dv=dx$ entonces $du=\frac{dx}{x}$ y...
Calculando la superficie máxima en una ventana (Caso 1)
La idea es implementar las funciones que perímetro y área en relación a una variable. El perímetro de la ventana está dado por la expresión $$P(a,b)=a+2b+\frac{2\cdot \pi\frac{a}{b}}{2}$$ La cual puede ser expresada como $$P(a,b)=a+2b+\frac{a\pi}{2}$$ En el problema...
Integración Mediante Fracciones Parciales
Definición: Se llama función racional a toda función del tipo $$f(x)=\frac{p(x)}{q(x)}$$ Donde $p(x)$ y $q(x)$ son polinomios con coeficientes reales y de grado $\ge 1$ por ejemplo si $p(x)=x^2+3x+4$ , y $q(x)=x^3+x^2+x+4$, entonces...
Desarrollo de algunos Límites
Desarrollo de algunos Límites. 1.- $\displaystyle \lim_{h\to 2} \frac{x^2+1}{x^2-1}=\frac{2x^2+1}{2x^2-1}=\frac{5}{3}$ $$\displaystyle \lim_{h\to 2} \frac{x^2+1}{x^2-1}=\frac{2x^2+1}{2x^2-1}=\frac{5}{3}$$ 2.- $\displaystyle \lim_{h\to 1}...
Límites, por definición.
¿Qué es un límite? En realidad es menos complicado de lo que parece. Se trata de analizar el comportamiento de una función cerca de un punto, pero sin darle importancia a lo que ocurre exactamente en dicho punto. Definición. El límite de la función $f$, cuando $x$ se...
¿Qué es una Derivada? – Capitulo III Ejercicios
Ejercicios de derivada del cociente Ejemplos La derivada del $\frac{x+3}{x}$ es $\frac{ x \frac{d}{dx} (x+3) - (x+3) \frac{d}{dx} x }{ (x+3) ^2}=\frac{x-x-3}{x^2}=\frac{-3}{x^2}$ La derivada del $\frac{x+2}{1-x}$ es...
¿Qué es una Derivada? – Capitulo III
DERIVADA DE LA COCIENTE. (demostración) Sea $ h (x) = \frac {f (x)} {g (x)} $ una función compuesta por el cociente entre dos funciones $ f (x) $ y $ g (x) $ continuas en un mismo intervalo y tales que $ g (x) $ no es cero en ningún punto del mismo. Se define...
¿Qué es una Derivada? – Capitulo II
6. DERIVADA DE UN PRODUCTO Sea $h(x)=f(x)\cdot g(x)$ tal que $f(x)$ y $g(x)$ son dos funciones continuas en un mismo intervalo dado, entonces $$\frac {d}{dx}(h)=f \frac {d}{dx}(g)+g \frac {d}{dx}(f)$$ Es decir: “la derivada de un producto de dos funciones es la...
¿Qué es una Derivada? – Capítulo I
Vamos por partes y ordenemos las ideas 1. DEFINICIÓN DE LA DERIVADA DE UNA FUNCIÓN Supongamos que usted tiene dos puntos en el plano y desea calcular la pendiente de la recta que pasa por ellas. Por ejemplo entre los puntos (2,3) y (7, 6). Para obtener la pendiente...
Ecuaciones Diferenciales (Aplicaciones)
“Al estudiar estos apuntes jamás debe pasar aceptando directamente frases como “veremos que” , “es fácil ver” o “ se comprueba fácilmente que ”, sin constatar personalmente su veracidad. El simple hecho de que algo este publicado NO significa que sea necesariamente...
ARITMÉTICA
Un problema de proporciones
Tres socios, a los que llamaremos Q, R y S respectivamente, acuerdan dividir las ganancias anuales de la empresa según los ratios 2:5:8, respectivamente. Si la parte de Q fue de $4000. ¿Cuál es la ganancia total del negocio ese año?
Criptoaritmética para todos.
El término "criptoaritmética" fue usado por primera vez en la revista belga Sphinx, en 1931, para reconstruir una multiplicación en la que todos sus dígitos habían sido reemplazados por letras de tal que letras iguales representaban el mismo dígito y letras...
Algunos problemas a resolver. ¿Se animan?
¿Qué números faltan para completar la secuencia ?
Figuras de un solo trazo. ¿Pueden resolverlas ?
¿Puede usted poner los 6 primeros números primos , sin repetir, de modo que las sumas de cada línea sean 21,22 y 23 respectivamente ?
Una forma de enfrentar este desafio.
Entre 12 personas tienen que pagar una comida y cada una debe aportar $6000.
La situación se puede resolver calculando el monto total Sabemos que son 12 personas y que cada una debe pagar $\$ 6000$, entonces el costo total esta dado por $$costo=12\cdot6000=\$72.000$$ Pero como cada persona pago $\$7200$ bastará calcular el cociente lo cual...
Juan hace un trabajo en 18 días y Roberto lo hace en 12.
Este problema corresponde a acciones simultáneas Si Juan hace el trabajo en 18 días, en un día hará $\frac{1}{18}$ del trabajo. Si Roberto hace el trabajo en 12 días, en un día hará $\frac{1}{12}$ del trabajo. Entonces juntos sus aportes serán...
Se tienen 6 pesas y una balanza.
Este es un problema de combinatorias, sin embargo puede ser resuelto simplemente contando, sin embargo ¿Se puede generalizar? veamos Se define la combinatoria $C^n_k$ como la cantidad de grupos de n elementos podemos armar usando k elementos como $\frac{n!}{k!\cdot...
Buen momento para jugar Keno
La suerte es para los que intentan, y no para los que se rinden. ¿Quiere jugar?
ESTADISTICA
Tabla de distribución Normal
De cuando en cuando es bueno tener esto a mano Tabla de distribución Normal Excel Tabla de distribución Normal
Probabilidades
Definición: según el enfoque de frecuencia relativa, se determina probabilidad como el cuociente entre el número de observaciones del evento A y el tamaño de la muestra: $$P(A) =\frac{\text{Casos favorables del Evento}}{\text{Tamaño de la muestra}} $$ Ejemplo: Cuál es...
NÚMERO INDICE AGREGATIVOS
ÍNDICE AGREGATIVO SIMPLE A menudo es necesario comparar un conjunto de valores de un año con otro conjunto de valores de otro año. $$I_p=\frac{\Sigma p_i}{\Sigma p_0}\cdot 100$$ $$I_q=\frac{\Sigma q_i}{\Sigma q_0}\cdot 100$$ Por ejemplo: Consideremos que deseamos...
NÚMERO ÍNDICE
Número Índice: Es la relación expresada en porcentaje entre el precio, valor o cantidad de un artículo o conjunto de artículos en un período de estudio (k) y el precio valor o cantidad del mismo artículo o conjunto de artículos en un período (o) tomado como base. Así...
Mínimos cuadrados
La idea es establecer la ecuación de la mejor recta que pasa por una nube de puntos de tal que la distancia entre cada uno de ellos y dicha recta sea la menor Para ello usaremos la ecuación particular que es de la forma $y=ax+b$ Donde la pendiente o inclinación está...
Distribución de Poisson.
La Distribución de Poisson se llama así en honor a Simeón Dennis Poisson $(1781-1840)$, francés que desarrolló esta distribución basándose en estudios efectuados en la última parte de su vida. Se emplea para describir varios procesos, entre otros la distribución de...
Distribución Binomial
Un experimento sigue el modelo binomial o de Bernoulli si: 1. En cada prueba del experimento sólo son posibles dos resultados: el suceso A (éxito) y su contrario . 2.La probabilidad del suceso A es constante, es decir, que no varía de una prueba a otra. Se representa...
¿Cómo construir una tabla de frecuencia para variable continua?
Aplicando en variable continua Considere los siguientes 25 datos \begin{array}{c|c|c|c|c} 1,7 & 8,2 & 9,6 &4,1 & 6,0 \\ \hline 0,9 & 2,0 & 9,0 &7,9 & 9,7\\ \hline 4,7 & 2,1 & 4,3 & 7,9 & 4,4\\ \hline 9,4 & 7,5 &...
Como usar la calculadora casio y sus memorias
La calculadora casio dispone de 6 variables que podemos usar libremente en el proceso de estadística. Para guardar un valor cualquiera en la variable a anotamos dicho valor en la calculadora y luego presionamos Esta combinación guarda de inmediato dicho valor el valor...
¿Cómo construir una tabla de frecuencia para variable discreta?
Dada una muestra tomada en una población de datos discretos podemos implementar una tabla de frecuencias discretas identificando la frecuencia absoluta (f), la frecuencia acumulada (F), la frecuencia relativa (f%) y la frecuencia porcentual (F%) Por ejemplo, si...
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