¿Qué es una derivada?

  Cálculo

Vamos por partes y ordenemos las ideas

 

Supongamos que usted tiene dos puntos en el plano y desea calcular la pendiente de la recta que pasa por ellas. Por ejemplo los puntos (2,3) y (7, 6)

para obtener la pendiente usted solo necesita determinar la razón entre las variaciones de x e y, y para ello solo debe determinar la medida entre x e y, tal como muestra la figura


es decir que la pendiente se puede calcular como

$$m=\frac{\Delta x}{\Delta y} =\frac{6-3}{7-2} =\frac{3}{5}$$

esto es, la recta crece a razón de 3 por cada 5.

Entonces

¿Cómo podemos llevar esto al formato de ecuación en la que queramos establecer la pendiente de una recta que pasa por dos puntos de ella?

 

Misma idea

en este caso

$$m=\frac{\Delta x}{\Delta y} =\frac{f(10)-f(2)}{(10-2)} =\frac{f(10)-f(2)}{8}$$

 

¿y en forma general?

la pendiente de la recta que pasa por los puntos $$(x,f(x)), (x+h,f(x+h))$$ estará dada por

$$m=\frac{\Delta x}{\Delta y} =\frac{f(x+h)-f(x)}{(x+h-x)} =\frac{f(x+h)-f(x)}{h}$$

 

por consiguiente la idea de la derivada es determinar la pendiente de la recta que toca a la curva en un único punto , es decir cuando la medida de h sea prácticamente cero. De aquí la interpretación del limite para definir la derivada

$$f'(x)=\lim\limits_{h\to 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h} $$

 

Veamos un ejemplo concreto.

Dada la función $$y=x^2+5x+6$$, ¿Cuál será el valor de la pendiente de la recta tangente para cualquier valor de x?

$$f'(x)=\lim\limits_{h\to 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h} =\lim\limits_{h\to 0}\frac{(x+h)^2+5((x+h))+6-(x^2+5x+6)}{h} $$

$$=\lim\limits_{h\to 0}\frac{(x^2+2xh+h^2+5x+5h+6)-(x^2+5x+6)}{h} $$

$$=\lim\limits_{h\to 0}\frac{2xh+h^2+5h}{h} $$

$$=\lim\limits_{h\to 0}\frac{h(2x+h+5)}{h} $$

$$=\lim_{h\to 0}{2x+h+5} $$

$$=2x+5$$

entonces

¿Cuál es el valor de la derivada en x=3?

$$f'(3)=2(3)+5=11$$

¿Y en que punto será cero?

$$f'(x)=0\Rightarrow 2x+5=0 \Rightarrow x=\frac{-5}{2}$$

Y eso nos permite fácilmente obtener los puntos donde la curva tiene su punto mas alto o su punto mas bajo. A eso proceso le llamaremos análisis de máximos, mínimos y puntos de inflexión.

 

La pregunta es  ¿Para qué sirve esto?

 

Supongamos una placa cuadrada de 40 cm por lado. ¿Cuál es el máximo volumen a obtener si transformamos dicha placa en una caja de base cuadrada sin tapa?

La ecuación generadora seria

$$V(x)=(40-2x)(40-2x)x=1600x-160x^2+4x^3$$

aplicando el mismo modelo tendremos que

$$=\lim\limits_{h\to 0}\frac{1600(x+h)-160(x+h)^2+4(x+h)^3-(1600x-160x^2+4x^3)}{h} $$

$$=\lim\limits_{h\to 0}\frac{1600x+1600h-160(x^2+2xh+h^2)+4(x^3+3x^h+3xh^3+h^3- 1600x+160x^2-4x^3)}{h} $$

$$=\lim\limits_{h\to 0}\frac{1600x+1600h-160x^2-320xh-160h^2+4x^3+12x^h+12xh^3+4h^3- 1600x+160x^2-4x^3}{h} $$

$$=\lim\limits_{h\to 0}\frac{1600h- 320xh-160h^2+12x^h+12xh^3+4h^3}{h} $$

al completar el proceso usted debe llegar a la ecuación cuadrática $$1600-320x+12x^2$$

Evidentemente ya sabemos que esta expresión  entrega el valor de la pendiente en cada punto del dominio de la función, por ende nos interesara saber en que puntos es cero, pues se tratara de aquellos donde la curva tiene su máximo o mínimo

$$V'(x)=1600-320x+12x^2=0$$

Resolviendo por cuadrática veremos que dichos puntos son

$$x=\frac{320\pm\sqrt{(320^2-4\cdot 12\cdot 160)}}{24}$$

$$x=\frac{320\pm\sqrt{25600}}{24}$$

$$x=\frac{320\pm 160}{24}=\cases{ x=20 & \cr x=6,66 }$$

Claramente no tiene sentido considerar una pestaña de 20 centímetros, por ende lo conveniente es usar una de medida $$x = 6,66 cm$$

¿Cuál seria entonces el volumen obtenido?

$$V(x)=(40-2\cdot 6,66)\cdot(40-2\cdot6,66)\cdot6,66$$

$$V(x)=4740,7407 cc$$

4,7 litros. Nada mal

¿Quiere verificar con una medida diferente?

 

Si tiene alguna duda solo consulte

 

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