¿Qué es una Integral?

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¿Qué es una integral?

La mejor forma de entender el concepto es por medio del cálculo del área de una superficie. Recordemos que el área es el Valor asignado a una superficie

El área es un concepto métrico que permite asignar una medida a la extensión de una superficie, expresada en matemáticas como unidades de medida denominadas unidades de superficie

Supongamos una función constante para comenzar, por ejemplo $$f(z)=3$$ entre x=1  y  x=4

 

tal como se observa en la figura, para determinar el área basta con considerar la superficie como un rectángulo de base 4 y altura 3.

Y si la función es $$f(x)=2+x$$, entre x=1 y x=5

 

en este caso también nos podemos ayudar de la geometría plana y separar la superficie en dos partes, para calcular el área de a cada una por separado y después el área total

 

Pero ¿Qué pasa si la función no es lineal?

Para una función , como por ejemplo $$f(x)=x^2$$ tratar de expresar el área por medio de polígonos de lados rectos incluye demasiado error,  por lo tanto consideraremos separar la superficie por medio de una serie de rectángulos de igual  base tales que sus alturas dependan de el valor de la función en el punto medio de sus bases. Así podremos calcular la semi suma de las áreas superior e inferior.

Acotando la medida del ancho de dichos rectángulos podremos aproximarnos a la verdadera área.

veamos unos ejemplos

en este caso el area correspondiente es

$$\frac{\text{area por la derecha+area por la izquierda}}{2}=\frac{3+48}{2}=22.5$$

 

$$\frac{\text{area por la derecha+area por la izquierda}}{2}=\frac{10,875+33.375}{2}=22,125$$

$$\frac{\text{area por la derecha+area por la izquierda}}{2}=\frac{14+29}{2}=21.5$$

$$\frac{\text{area por la derecha+area por la izquierda}}{2}=\frac{15,65625+26,90625}{2}=21,28125$$

Se puede observar cada vez se aproxima más al valor del área que nos interesa, pero. ¿Cómo podemos acercarnos aún más?

y podemos seguir….

y es aquí donde el concepto de límite toma forma

la suma por la izquierda es

$$\sum_{i=0}^n (f(x_0)+f(x_1)+f(x_2)+…….+f(x_{n-1}))\Delta x  =\lim_{x\to \infty}\sum_{i=1}^n f(x_ {i-1})\Delta x $$

y la suma por la derecha

$$\sum_{i=1}^n (f(x_1)+f(x_2)+f(x_3)+…….+f(x_{n}))\Delta x  =\lim_{x\to \infty}\sum_{i=1}^n f(x_ {i})\Delta x $$

y son practicamente iguales, por lo tanto pasaremos a definir la integral como

$$\int_a^bf(x)=\sum_{i=0}^n (f(x_0)+f(x_1)+f(x_2)+…….+f(x_{n-1}))\Delta x  =\lim_{x\to \infty}\sum_{i=1}^n f(x_ {i-1})\Delta x$$

o como

$$\int_a^bf(x)=\sum_{i=1}^n (f(x_1)+f(x_2)+f(x_3)+…….+f(x_{n}))\Delta x  =\lim_{x\to \infty}\sum_{i=1}^n f(x_ {i})\Delta x $$

 

….  En proceso..

 

 

 

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