Integración de funciones por sustitución simple

  Cálculo, Integrales

Algunos ejercicios a desarrollar

$$\int \sqrt[3]{1+3y}\, dy=$$ $$\int x^2(x^3-1)^{10}\, dx=$$ $$\int (x^2-4x+4)^{4/3}\, dx=$$
$$\int x\sqrt{x+2}\, dx=$$ $$\int x^2\sqrt{3-2x}\, dx=$$ $$\int \cos{4\theta}\, d\theta=$$
$$\int\frac{1}{2} t\sin{4t^2}\, dt=$$ $$\int \cos{x(2+\sin{x})^5}\, dx=$$ $$\int \sqrt{1+\frac{1}{3x}}\, \frac{dx}{x^2}=$$
$$\int 2\sin{x}\sqrt[3]{1+\cos{x}}\, {dx}=$$ $$\int \sin^3{\theta}\cos\theta\, {d\theta}=$$ $$\int \frac{\sec^2{3\sqrt{t}}}{\sqrt{t}}\, dt=$$

 

Desarrollos


$$\int \sqrt[3]{1+3y}\, dy=\int {(1+3y)}^{1/3}\, dy=$$ Lo conveniente sera considerar $u=1+3y$, de tal que $du=3dy$, por lo tanto $dy=\frac{du}{3}$, y la integral puede ser escrita como $\int{(u)}^{1/3}\, \frac{du}{3}$

$$\int{u}^{1/3}\, \frac{du}{3}=\frac{1}{3}\int u^{1/3}\,du \\ =\frac{1}{3}u^{4/3}\frac{3}{4} \\=\frac{9}{4}u^{4/3} \\=\frac{9}{4}(1+3y)^{4/3}+C$$


$$\int x^2(x^3-1)^{10}\, dx=\int (x^3-1)^{10}x^2\, dx$$
Sea $u=x^3-1$, entonces $du=3x^2dx \Rightarrow \ x^2dx=\frac{du}{3}$, entonces la integral puede ser escrita de la forma:
$$\int (x^3-1)^{10}x^2\, dx=\int (u)^{10}\,\frac{du}{3} \\ =\frac{1}{3}\int (u)^{10}\,{du}$$
Entonces la integral quedara de la forma
$$\frac{1}{3}\cdot \frac{u^{11}}{11}=\frac{u^{11}}{33}=\frac{{(x^3-1)}^{11}}{33}+C$$


$$\int (x^2-4x+4)^{4/3}\, dx=$$
En este caso nos conviene factorizar
$$(x^2-4x+4)=(x-2)^2$$
de tal que la integral puede ser escrita de la siguiente manera
$$\int (x-2)^{8/3}\, dx$$

entonces, sea $u=x-2$ de tal que $du=dx$
$$\int (x-2)^{8/3}\, dx=\int (u)^{8/3}\, du=u^{11/3}\cdot \frac{3}{11}=\frac{3}{11}(x-2)^{11/3}+C$$


$$\int x\sqrt{x+2}\, dx=$$
Sea$u=x+2\Rightarrow x=u-2\Rightarrow dx=du$
$$\int x\sqrt{x+2}\, dx=\int (u-2){u}^{1/2}\, dx=\int u^{3/2}-2u^{1/2}\, dx$$
lo cual es equivalente a
$$u^{5/2}\cdot\frac{2}{5}-2u^{3/2}\cdot\frac{2}{3}=\frac{2}{5}{(x+2)}^{5/2}-\frac{4}{3}{(x+2)}^{3/2}+C=$$


$$\int x^2\sqrt{3-2x}\, dx=$$

sea $u=3-2x$, entonces $x=\frac{3-u}{2}$, $x^2=\frac{(3-u)^2}{4}$ y $dx=-\frac{du}{2}$. Reescribiendo la integral tenderemos que

$$\int x^2\sqrt{3-2x}\, dx=\int \frac{(3-u)^2}{4}{u}^{1/2}\, dx\\ =\int \frac{(3-u)^2}{4}{u}^{1/2}\, dx \\$$

Desarrollando se tiene que

$$\int \frac{(9-6u+u^2)\cdot u^{1/2}}{4}\, dx=\frac{1}{4}\cdot \int {9{u}^{1/2}-6{u}^{3/2}+{u}^{5/2}}\, dx$$

por consiguiente

$$=\frac{9}{4}\cdot{u}^{3/2}\cdot\frac{2}{3}-\frac{6}{4}\cdot{u}^{5/2}\cdot\frac{2}{5}+\frac{1}{4}\cdot{u}^{7/2}\cdot \frac{2}{7}$$

$$=\frac{3}{2}\cdot{u}^{3/2} -\frac{3}{5}\cdot{u}^{5/2}+\frac{1}{14}\cdot{u}^{7/2}$$

$$=\frac{3}{2}\cdot{(3-2x)}^{3/2} -\frac{3}{5}\cdot{(3-2x)}^{5/2}+\frac{1}{14}\cdot{(3-2x)}^{7/2}+C$$


$$\int \cos{4\theta}\, d\theta=$$

sea $u=4\theta \Rightarrow du=4d\theta$, por consiguiente $d\theta=\frac{du}{4}$

$$\int \cos{u}\, \frac{du}{4}=\frac{1}{4}\int \cos{u}\, {du}=\frac{1}{4}\sin u=\frac{1}{4}\sin 4\theta +C=$$


$$\int\frac{1}{2} t\sin{4t^2}\, dt=$$

Sea $u=4t^2\Rightarrow du= 8t\, dt, \Rightarrow \,\frac{du}{8}=t\,dt$

$$\frac{1}{2}\int t\sin{4t^2}\, dt=\frac{1}{2}\int \sin{u}\, \frac{du}{8}=$$

$$\frac{1}{16}\int  \sin{u}\, du=\frac{-1}{16}  \cos{u}\, =\frac{-1}{16}  \cos{4t^2}\,+C$$


$$\int \cos{x(2+\sin{x})^5}\, dx=$$

Sea $u=2+\sin{x}\Rightarrow du=\cos{x}\,dx$, entonces la integral queda de la forma

$$\int (2+\sin{x})^5\cos{x}\, dx=\int u^5\, du=\frac{u^6}{6}=\frac{(2+\sin{x})^6}{6}+ C$$


$$\int \sqrt{1+\frac{1}{3x}}\, \frac{dx}{x^2}=$$

Sea $$u=1+(3x)^{-1}\Rightarrow du=-(3x)^{-2}\cdot 3\,dx\\du=\frac{-3}{(3x)^2}dx\\du=\frac{-3}{9x^2}\\du=\frac{-1}{3x^2}dx\\-3du=\frac{dx}{x^2}$$

entonces la integral puede ser escrita de la forma

$$\int \sqrt{1+\frac{1}{3x}}\, \frac{dx}{x^2}=-3\int u^{1/2}\,du\\=-3u^{3/2}\frac{2}{3}\\=-2 \sqrt{(1+\frac{1}{3x})^3}+C$$


$$\int 2\sin{x}\sqrt[3]{1+\cos{x}}\, {dx}=2\int {(1+\cos{x})}^{1/3}\sin{x}\, {dx}$$

Sea $$u={1+\cos{x}}\Rightarrow du=-\sin{x}\,dx\Rightarrow-du=\sin{x}\,dx$$

Reordenando la integral se tendrá que

$$2\int {(1+\cos{x})}^{1/3}\sin{x}\, {dx}=-2\int {u}^{1/3}\, {du}\\=-2u^{4/3}\cdot\frac{3}{4}\\=\frac{-3}{2}u^{4/3}\\=\frac{-3}{2}(1+\cos{x})^{4/3}+C$$


$$\int \sin^3{\theta}\cos\theta\, {d\theta}=$$

Sea $u=\sin\theta\Rightarrow du=\cos\theta\,d\theta$

entonces la integral se puede escribir como

$$\int \sin^3{\theta}\cos\theta\, {d\theta}=\int u^3\, du\\=\frac{u^4}{4}=\frac{\sin^4{\theta}}{4}+C$$


$$\int \frac{\sec^2{3\sqrt{t}}}{\sqrt{t}}\, dt=$$

Sea $$u=\sqrt{t}\Rightarrow du=\frac{dt}{2\sqrt{t}}\Rightarrow 2du=\frac{dt}{\sqrt{t}}$$

entonces

$$3\int {\sec^2{\sqrt{t}}}\,\frac{ dt}{\sqrt{t}}\\=6\int {\sec^2{u}}\,du\\=6\tan{u}=6\tan{\sqrt{t}}+C$$


Algunos ejercicios

$$\int{\sqrt {1-4x}}dx$$ $$=-\frac{1}{6}(1-4x)^{3/2}+C$$
$$\int{x^2(x^3-4)^6}dx$$ $$=\frac{1}{21}(x^3-4)^7+C$$
$$\int{x^2-4x+4}^{5/3}dx$$ $$=\frac{-3}{ 7\sqrt[3]{(x-2)^7}}+C$$
$$\int{x\sqrt{x-5}}dx$$ $$=\frac{2(x-5)^{5/2}}{5}+\frac{(x-5)^{3/2}}{3}+C$$
$$\int{x^2\sqrt{4-2x}}dx$$ $$=\frac{-8(4-2x)^{3/2}}{3}+\frac{4(4-2x)^{5/2}}{5}-\frac{(4-2x)^{7/2}}{14}+C$$
$$\int{cos{5x}}dx$$ $$=\frac{sen(5x)}{5}+C$$
$$\int{\frac{x\cdot cos(5x^2)}{2}}dx$$ $$=\frac{sen(5x^2)}{20}+C$$
$$\int{sen(x)(3+cos(x))^6}dx$$ $$=\frac{-(3+cos(x))^7}{7}+C$$
$$\int{\frac{1}{x^2}\sqrt{1-\frac{1}{4x}}}dx$$ $$\frac{8}{3}\left(1-\frac{1}{4x} \right)^{3/2}+C$$

 

desarrollos

1.-  $\int{\sqrt {1-4x}}dx$

Sea $u=1-4x$, de tal que $du=-4dx$ y por lo tanto $\frac{-du}{4}$

reemplazando

$$\int{\sqrt {1-4x}}dx=\frac{-1}{4}\int{u^{1/2}}du=\frac{-1}{4}u^{3/2}\cdot\frac{2}{3}\\=\frac{-1}{6}(1-4x)^{3/2}+C$$


2.- $\int{x^2(x^3-4)^6}dx$

Sea $u=x^3-4$, de tal que $du=3x^2dx$ y $x^2dx=\frac{du}{3}$

Reemplazando

$$\int{x^2(x^3-4)^6}dx=\int{u^6}\cdot \frac{du}{6}=\frac{1}{3}\frac{u^7}{7}+C\\=\frac{1}{21}(x^3-4)^7+C$$


3.-

2 thoughts on - Integración de funciones por sustitución simple

  • Super bueno, sólo que el primer ejercicio está errado, pues la raíz cuadrada es equivalente al exponente 1/2, no a 1/3 como lo planteas

    • Gracias..

      Corregiré a la brevedad.

      Un paréntesis no quedo bien cerrado, y donde decía $\int \sqrt{1+3y}\, dy$ debe decir $\int \sqrt[3]{1+3y}\, dy$

      el problema era un [3] no declarado.

LEAVE A COMMENT