Integración por partes

  Cálculo, Integrales

¿Cuál es la idea?

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La idea es aplicar un modelo conveniente cuando la integral se relacione con un producto de dos o más funciones. En tal caso será conveniente identificar las partes como un producto entre una función y una derivada.

Pero..  ¿De donde viene esto?

Analicemos el caso de la derivada del producto de dos funciones

$$[f(x)⋅g(x)]’= f(x)’⋅g(x)+ f(x)⋅g(x)’$$

Reordenando adecuadamente
$$f(x)⋅g'(x)=[f(x)⋅g(x)]’− f ‘(x)⋅g(x)$$
Integrando
$$\int f(x)⋅g'(x)dx=\int[f(x)⋅g(x)]’dx−\int f ‘(x)⋅g(x)dx$$
Es decir
$$\int f(x)⋅g'(x)dx= f(x)⋅g(x)−\int f ‘(x)⋅g(x)dx$$
Relacionemos en torno a una notación común

Sean $u= f (x) \text{ tal que } du= f’(x)dx$ y $v = g(x) \text{ tal que } dv = g’(x)dx$

Entonces
$$\int{f(x)}⋅g'(x)dx= f(x)⋅g(x)−\int g(x) f ‘(x)dx$$

$$\int \underbrace{f(x)}_{u}⋅\underbrace{g'(x)\,dx}_{dv}= \underbrace{f(x)}_{u}⋅\underbrace{g(x)}_{v}\underbrace {-\int}_{\text{sin cola}} \underbrace{g(x))}_{v} \underbrace{f'(x)\,dx}_{du}$$

O en notación recordable

$$\int udv = uv − \int vdu$$ De allí la inmortal frase

$$\textbf {Un día vi una vaca sin cola vestida de uniforme.}$$

El resto es simplemente aplicación y practica

Una recomendación. Si llega a una integral más complicada al aplicar el proceso, no seleccionó adecuadamente las variables.

Los siguientes ejemplos, que están en TODOS LOS LIBROS de Cálculo,  corresponden a situaciones donde es particularmente útil dicho modelo. Basta identificar adecuadamente cada una de las componentes y luego proceder.

$$\int {x\,sen(x)dx},\int {x\,cos(x)dx}, \int{ x\, ln(x)dx}  \\ \int {x\,e^xdx}, \int {cos(x)⋅e^xdx}$$


1.- $\int x⋅sen(x)dx$

Sea $u=x$ ,entonces $du =dx$; y sea $dv=sen(x)dx$ ,entonces $v=−cos(x)$

$$\int \underbrace{x}_{u}⋅\underbrace{sen(x)dx}_{dv}= \underbrace{x}_{u}⋅\underbrace{(-cos(x))}_{v} {-\int} \underbrace{-cos(x)}_{v} \underbrace{dx}_{du} $$

$$\int x\,\sin{x}dx=-x\cos{x}+\int{}\cos{x}\,dx\\=− x \cos{x} + \sin{x}+ C$$


2.-$\int{x⋅cos(x)dx}$

Sean $u = x$ y $dv = cos (x) dx$ . Ordenando con cuidado podemos decir que $v = sen(x),  du =dx$

Luego

$$\int \underbrace{x}_{u}\underbrace{cos(x)dx}_{dv}= \underbrace{x}_{u}\underbrace{(sen(x))}_{v} {-\int} \underbrace{sen(x)}_{v} \underbrace{dx}_{du} $$

$$\int x\,cos(x)dx = x\,sen(x)+\int sen(x)dx \\= x\,sen(x)+cos(x)+C$$


3.-$\int x⋅ln(x)dx$

Sean $u = \ln (x)$ y $dv = xdx$ , entonces $ du =\frac{dx}{x}$ y $v =\frac {x^2}{2}$

Ahora apliquemos

$$\int \underbrace{x}_{u}⋅\underbrace{\ln (x)\,dx}_{dv}= \underbrace{\ln (x)}_{u}⋅\underbrace{\frac{x^2}{2}}_{v} {-\int} \underbrace{\frac{x^2}{2}}_{v} \underbrace{\frac{dx}{x}}_{du} $$ $$\\=\ln (x)\frac{x^2}{2}-\frac{1}{2}\int{x\,dx}\\=\ln (x)\frac{x^2}{2}-\frac{1}{2}\int{x\,dx}\\= \ln (x)\frac{x^2}{2}-\frac{1}{2}\frac{x^2}{2}\\=\ln (x)\frac{x^2}{2}-\frac{x^2}{4}+C$$


4.- $\int {x\,e^xdx}$

Sean $u = (x)$ y $dv = e^xdx$ , entonces $ du =dx$ y $v =e^x$

Entonces

$$\int \underbrace{x}_{u}\underbrace{e^xdx}_{dv}= \underbrace{x}_{u}\underbrace{e^x}_{v} {-\int} \underbrace{e^x}_{v} \underbrace{dx}_{du} $$

$$\int x⋅e^xdx=xe^x −\int e^xdx\\=x\cdot e^x – e^x +C$$

Compliquemos un poco para ver que más se puede


5.- $\int cos(x)⋅e^xdx$

Sea $u=e^x$ y $dv=\cos{x}dx$, entonces $du=-\sin{(x)}dx$ y $v=e^x$

apliquemos

$$\int \underbrace{\cos{(x)}}_{u}\underbrace{e^xdx}_{dv}= \underbrace{\cos{(x)}}_{u}\underbrace{e^x}_{v} {-\int} \underbrace{e^x}_{v} \underbrace{(-\sin{(x)})dx}_{du} $$

Lo cual al ser ordenado queda de la forma

$$\int \cos{(x)}e^xdx=\cos{x}e^x+\int e^x\sin{(x)}\,dx$$

¿Se dio cuenta que acaba de obtener una integral tan complicada como anterior?

Tenga la bondad de reaplicar el modelo de la forma obtenida.

$$\int e^x\sin{(x)}dx$$

Sea $u=\sin{(x)}$ y $dv=e^xdx$ ,entonces $du=\cos{(x)}dx$ y $v=e^x$

Procedamos

$$\int \underbrace{\sin{x}}_{u}\underbrace{e^xdx}_{dv}= \underbrace{\sin{(x)}}_{u}\underbrace{e^x}_{v} {-\int} \underbrace{e^x}_{v} \underbrace{\cos{(x)}dx}_{du} $$

Reemplacemos

$$\int cos(x)⋅e^xdx=cos(x)e^x +\int e^x\,sen(x)\,dx\\=cos(x)e^x +\sin{(x)}e^x-\int e^x\cos{(x)}\,dx$$

reordenando se tendrá que

$$\int cos(x)⋅e^xdx=cos(x)e^x +\sin{x}e^x-\int e^x\cos{(x)}\,dx$$

¿Se dio cuenta? Es la misma integral.

Entonces bastara ordenar un poco

$$2\int cos(x)⋅e^xdx=cos(x)e^x +\sin{x}e^x$$

$$\int cos(x)⋅e^xdx=\frac {cos(x)e^x +\sin{x}e^x}{2}\\=e^x\, \frac {cos(x) +\sin{(x)}}{2}$$

Del mismo modo se pueden desarrollar variados casos, simplemente por el adecuado uso de las herramientas. Recuerde ser paciente, pues así lograra mayores aciertos.

En breve mejoras y complementos, y en caso de dudas, pregunte.

El profe.

 

2 thoughts on - Integración por partes

  • Te felicito amigo muy buena y didáctica la explicación….se entiende y lo mejor que está fácil de digerir, me pongo de la posición de nuestros alumnos.

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