Combinatoria, Permutaciones y Variaciones

  Combinatoria, Estadistica

$$\textbf{Factoriales}$$

Llamaremos factorial al producto de un número por todos sus antecesores positivos. Lo anotaremos con el símbolo n!, que se leerá n factorial. Entonces, se define

$$0!=1$$
$$1!=1$$
$$2!=2\cdot1$$
$$3!=3\cdot2\cdot1$$
$$4!=4\cdot3\cdot2\cdot1$$
$$\vdots $$
$$n!=(n)\cdot(n-1)\cdot(n-2)\cdots (3)\cdot(2)\cdot (1)$$

ok, ok , ok. Y esto. ¿Para que sirve?

Me temo que la respuesta implica mas palabras que todas las que pueda escribir, así que optaré por mostrar solo algunas aplicaciones

$$\textbf{Permutaciones}$$

Llamaremos permutaciones de n elementos a cada una de las ordenaciones diferentes que podemos hacer con n elementos dados. Las permutaciones sin repetición de n elementos se definen como las distintas formas de ordenar todos esos elementos distintos, por lo que la única diferencia entre ellas es el orden de colocación de sus elementos.

El numero de estas permutaciones estará dado por $P_n=n!$

Las permutaciones sin repetición de n elementos se definen como las distintas formas de ordenar todos esos elementos distintos, por lo que la única diferencia entre ellas es el orden de colocación de sus elementos.

El número de estas permutaciones estará dado por $P_n=n!$

Llamamos a las permutaciones con repetición de n elementos tomados de a en a, de b en b, de c en c, etc., cuando en los n elementos existen elementos repetidos (un elemento aparece a veces, otro b veces, otro c veces, etc.) verificándose que $a+b+c+…=n.$

El número de estas permutaciones será́

$$PR^{a,b,c}_n=\frac{n!}{a!b!c!}$$

¿De cuantas formas diferentes puedo ordenar 3 letras?

Consideremos las letras A, B y C. podemos armar 6 ordenamientos diferentes usando todos los elementos

$$\begin{array}{cc}ABC&ACB&BAC&BCA&CAB&CBA \end{array}$$

Esto es una variación de 3, y se escribe $$P(3)=3!=3\cdot 2\cdot 1=6$$

¿ y si usáramos 4 símbolos?

$$P(4)=4!=4\cdot 3\cdot 2\cdot 1=24$$

y, obviamente , se puede seguir.

Ejemplos
a) ¿Cuántos números de 5 cifras distintas se pueden formar con los dígitos 1,2,3,4,5?
$$P_5 =5! = 5.4.3.2.1 = 120$$

b) ¿ Cuantos números de 4 cifras se pueden formar con los dígitos 0,1,2,3?

$$P_4 – P_3 = 4! -3!= 24-6 = 18$$

Hemos restado P3 para descontar los números que empiezan por cero, ya que estos no son de cuatro cifras.

c) ¿Cuántos números de 6 cifras se pueden formar si en ellos siempre hay 1 uno, 2 doces y 3 treces?

$$P_6^{1,2,3} =\frac{6!}{1!2!3!} = \frac{6.5.4.3.2}{2.3.2} = 60$$

$$\textbf{Combinatoria} $$

$$C^n_k=\frac {n!}{k!(n-k)!}$$

Llamaremos combinación de k elementos elegidos entre n elementos dados, a cada uno de los grupos de k elementos que podemos formar, de modo que dos grupos son diferentes solo si tienen, al menos, un elemento distinto, sin considerar el orden que estén dispuestos. El total de combinaciones que pueden formar con k elementos de un total de n elementos se simboliza por $C^n_k$.
La expresión $C^n_k$ se puede simbolizar también como ${n \choose k} $ lo que es equivalente a “nCr” en la calculadora.

Las combinaciones con repetición de n elementos tomados de p en p se definen como las distintas agrupaciones formadas con p elementos que pueden repetirse, eligiéndolos de entre los n elementos de que disponemos, considerando una variación distinta a otra sólo si difieren en algún elemento, (No influye el orden de colocación de sus elementos).

El número de combinaciones que se pueden construir se puede calcular mediante la fórmula:

$$C\,R^p_n={{n+p-1} \choose p} $$

¿Cuantos ordenamientos diferentes podemos hacer usando “k” de los “n” elementos que tenemos?

por ejemplo:

Supongamos que se tienen las 5 vocales {a,e,i,o,u}. ¿de cuantas formas de pueden ordenar 3 de ellas?

$$C^5_3=\frac {5!}{3!(5-3)!}=\frac {5!}{3!(2)!}=\frac {5\cdot4\cdot3\cdot2\cdot1}{3\cdot2\cdot1\cdot2\cdot1}=10$$

o bien

$$C^5_3=\frac {5!}{3!(5-3)!}=\frac {5!}{3!(2)!}=\frac {5\cdot4\cdot3!}{3!\cdot2\cdot1}=10$$

Ejemplos
a) Como respuesta a un anuncio de trabajo se presentan 12 personas para cubrir tres plazas de administrativo ¿ Cuantas grupos diferentes de personas se pueden seleccionar?
Debemos elegir grupos de 3 de entre los 12 , no influye el orden
$$C^3_{12}=\frac{12!}{(12 – 3)!3!} = \frac{12.11.10}{3.2} = 220$$

b) ¿Cuántos triángulos distintos se pueden formar con 8 puntos en el plano si tres de ellos nunca están alineados?
Para que dos triángulos sean distintos se tienen que diferenciar al menos en un vértice y el orden en que tomamos los vértices no influye

$$C^3_8= \frac{8!}{(8 − 3)!.3!} = \frac{8.7.6}{ 3.2} = 56$$

c) ¿Cuántos conjuntos de tres letras existen elegidas entre a, b, c, d, e, f, g si en cada conjunto puede haber más de una letra igual?
Tenemos en cuenta que el conjunto {a, b, c}coincide con el conjunto {b, c, a} y que los elementos se pueden repetir, es decir {a,a,b} es un conjunto de tres letras, luego

$$C\,R^n_m=C^n_ {m+n-1}= \frac{9.8.7}{3.2}=84$$

$$\textbf{Variaciones}$$

$$V^n_k=\frac {n!}{(n-k)!}$$

Llamaremos variaciones de k elementos cada una, elegidos entre n elementos dados, a cada grupo que podemos formar con k elementos, de modo que dos grupos son diferentes si tienen al menos un elemento distinto o si están ordenados en forma distinta. En una variación de elementos se considera que elementos la forman y, además, el orden en que se disponen.
La expresión $V^n_k$ es equivalente a $nPr$ es equivalente a “nPr” en la calculadora.

Las variaciones con repetición de n elementos tomados de p en p se definen como las distintas agrupaciones formadas con p elementos que pueden repetirse, eligiéndolos de entre los n elementos de que disponemos, considerando una variación distinta a otra tanto si difieren en algún elemento como si están situados en distinto orden.

El número de variaciones que se pueden construir se puede calcular mediante la fórmula:

$$VR^n_p=n^p$$

Ejemplos

a) ¿Cuántos números de tres cifras distintas se pueden formar con los dígitos 1,2,3,….,9?

$$V^9_3 =\frac{9!}{(9 − 3)!} = 9.8.7 = 504$$

b) Con las letras del alfabeto español(25 letras)

¿Cuántas palabras (con o sin sentido) de 6 letras distintas pueden formarse?$$V_6^{25}$$

¿Cuántas empiezan por vocal?$$ 5 V_5^{24}$$

 

$$\textbf{Ejercicios}$$

Mario tiene 4 pantalones y 6 camisetas. ¿Cuántas indumentarias puede hacer?
Solución: Si se pone un pantalón determinado, lo puede combinar con 6 camisetas diferentes. Por lo tanto, en total podrá vestirse de: $$Solución=4\cdot6 = 24\, \text { maneras}$$


El profe tiene 4 pantalones, 6 camisetas, 3 pares de zapatos, 5 sobreros y 2 cinturones. ¿Cuántas indumentarias puede hacer?
$$Solución: 4\cdot6\cdot3\cdot5\cdot2=720 \, \text { indumentarias.}$$


Hay conversaciones bilaterales entre la Rusia y Japón. Los rusos acuden con 6 representantes y los japoneses, con 9. Al encontrarse, cada miembro de una delegación saluda, estrechando la mano, a cada miembro de la otra.¿Cuántos apretones de manos se dan?$$Solución: 6\cdot9=54\, \text{ saludos}$$

¿Cuántos apretones de manos se darán si no solamente al conocerse, sino cada día al juntarse y al separarse y las conversaciones duran 3 días?$$Solución: : 6\cdot9\cdot2\cdot3=324\,\text{ saludos}$$


¿Cuántos resultados distintos podemos al obtener al lanzar 3 dados distintos? $$Solución: 6^3 = 216 \, \text {resultados}.$$


¿Cuántos números de tres cifras distintas se pueden formar con los dígitos 1, 2, 3, 4 ,5? $$Solución: V^5_3 = 5\cdot4\cdot3 = 60 \,\text {números}$$


¿Cuántas formas distintas de elegir delegado y subdelegado en clase de 34 alumnos? $$Solución: V^{34}_2 = 34\cdot33 = 1122 \text formas$$


¿Cuántos números de tres cifras se pueden formar con los dígitos 1, 2, 3, 4 ,5? $$Solución: VR_3^5 =5^3 =125 \, \text {números }$$


¿Cuántos números de cinco cifras distintas se pueden formar con los dígitos 1, 2, 3, 4 ,5? $$Solución: P_5 = 5!= 5\cdot4\cdot3\cdot2\cdot1=120 \text números.$$


¿De cuántas formas pueden quedar clasificados los ocho finalistas olímpicos de una carrera? $$Solución: P_8 =8!=8\cdot7\cdot6\cdot5\cdot4\cdot3\cdot2\cdot1=40320 \,\text {formas}$$


¿Cuántos números distintos se pueden formar cambiando el orden de las cifras del número 11122?$$Solución: PR_{3,2}^5=\frac{5!}{3!\cdot2!}=10 \,\text {números}$$


En una urna hay 9 bolas, 3 blancas, 2 rojas y 4 negras. ¿De cuántas formas distintas se pueden extraer las bolas de la urna si las bolas del mismo color se consideran iguales?
$$Solución: PR_{3,2,4}^9= \frac {9!}{3!\cdot2!\cdot 4!} =1260\,\text {formas} $$


En una carrera de 5 corredores se clasifican para la final los tres primeros. ¿De cuántas formas puede efectuarse la clasificación?
$$Solución:C_3^5 =\frac {V^5_3}{ P_3} =\frac{5\cdot 4\cdot 3}{3\cdot2\cdot1} = 10 \,\text{formas }$$


¿Cuántas apuestas al juego del alasalo hemos de rellenar para acertar, con seguridad, los 6 números? Una apuesta en el juego del alasalo consiste en elegir 6 números de 49 posibles.
$$Solución: C_6^{49}=\frac{V_6^{49}}{P_3}=\frac{49\cdot48\cdot47\cdot46\cdot45\cdot44}{6\cdot5\cdot4\cdot3\cdot2\cdot1}=13983816 \,\text{apuestas}$$


Cuantos equipos de bàsquetball pueden formarse con 12 alumnos si todos pueden jugar en cualquier lugar?

$$Solución: C_5^{12}=\frac{V_5^{12}}{P_5}=\frac{12\cdot11\cdot10\cdot9\cdot8}{5\cdot4\cdot3\cdot2\cdot1}=792 \,\text{equipos}$$


Luís, Carlos, Gonzalo, Francisco y Jorge han quedado en la puerta del cine con sus amigas, Carmen, Elena, Marta y Cristina. Al encontrarse, se saludan como es habitual: dos besos en la mejilla entre un chico y una chica. ¿Cuántos besos se dan entre todos?

$$Solución: 40 \,\text{besos }$$


En el pub “Tengo Hambre” son especialistas en combinaciones de jugosos y café. Tienen 5 tipos de jugos de frutas y 3 tipos de cafés.
a) ¿Cuántas combinaciones diferentes se pueden hacer eligiendo un jugo y una taza de café?
$$Solución: 15 \,\text{combinaciones }$$

b) Si, además, se añade a cada combinación un bombón de chocolate blanco o negro, ¿Cuántas se podrán preparar de esta manera?

$$Solución: 30 \,\text{combinaciones}$$


Alberto y Ricardo juegan un torneo de tenis que ganará el que consiga dos sets seguidos o tres alternos.¿Cuáles son los posibles desarrollos del torneo?

$$Solución: 10 \,\text{desarrollos}$$


Don Alberto tiene 10 fichas. Va a un casino dispuesto a jugar, como máximo, cinco veces a la ruleta. Cada apuesta es de 10 fichas, y dejará de jugar si se queda sin dinero o si gana 30 fichas.¿cuantos casos posibles hay?
$$Solución: \text {hay}\,11 \,\text{situaciones}$$


Las abejas macho nacen de huevos sin fecundar y, por tanto, tienen madre, pero no padre. Las abejas hembras nacen de huevos fecundados y, por ello, tienen padre y madre.¿Cuántos tatarabuelos tendrá una abeja macho?

$$Solución: 5\text { tatarabuelos}\, \,\text{3 hembras y 2 machos}$$


En el alfabeto Morse se utilizan dos símbolos: el punto (.) y la raya (-), para representar letras y números. Por ejemplo: las vocales se representan así:
A .- E . I .. O – – – U ..-

a) ¿Cuántas tiras de tres símbolos de estos (entre puntos y rayas) se pueden formar?

$$Solución: \text {serán}\,8 \,\text{tiras}$$

b) Si utilizamos tiras de 1, 2, 3 o 4 símbolos, ¿cuántas letras o números podremos representar en total?

$$Solución: \text {serán}\,30 \,\text{tiras en total}$$


El lenguaje de un computador se traduce a secuencias de dígitos formados por ceros y unos. Un byte es una de estas secuencias y está formado por 8 dígitos.
Por ejemplo:$$\begin{array}{cccccccc}0&0&1&0&0&0&1&1 \end{array}$$

¿Cuántos bytes diferentes se pueden formar?
$$Solución: \,256 \,\text{bytes diferentes}$$


¿Cuántos números de tres cifras se pueden formar con los dígitos 1, 2, 3 y 4?

$$Solución: \,64 \,\text{números}$$
¿Cuántos de ellos son capicúas?
$$Solución: \,16 \,\text{capicúas}$$


¿Cuántos números de cuatro cifras se pueden formar con los dígitos 1, 2, 3 y 4?

$$Solución: \,256\,\text{números}$$
¿Cuántos de ellos son capicúas?
$$Solución: \,16 \,\text{capicúas}$$


Cuántos partidos de Primera División se juegan en una temporada de la Liga alemana de fútbol? (Son 20 equipos que juegan todos contra todos dos veces)

$$Solución: \,380 \,\text{partidos}$$


La Asociación de Libreros entregará los premios “Oro” y “Plata”. Para eso ha seleccionado 10 libros entre los publicados este año. ¿De cuántas formas pueden repartirse los dos premios entre estos libros?
$$Solución: \,90 \,\text{formas}$$


Los participantes de un concurso deben ordenar a ciegas seis tarjetas en que está escrita cada una de las letras de la palabra PREMIO.
a) ¿Cuántas ordenaciones diferentes pueden salir?
$$Solución: \,720 \,\text{ordenaciones}$$

b) Les ofrecen fijar la P en el lugar que le corresponde y reducir el premio a la mitad.¿Cuántas ordenaciones posibles se pueden obtener de esta manera?
$$Solución: \,120 \,\text{ordenaciones}$$


¿De cuántas formas pueden sentarse cinco personas en un banco de 5 asientos?
$$Solución: \,120 \,\text{formas}$$


Estás haciendo la maleta para irte de vacaciones y quieres llevarte cuatro de las ocho camisetas que tienes. ¿De cuántas formas las puedes seleccionar?

$$Solución: \,70 \,\text{formas}$$


Las 28 fichas de un dominó se reparten entre cuatro jugadores. ¿Cuántos juegos diferentes podrá tener cada jugador?

$$Solución: \,1 184 040 \,\text{juegos diferentes}$$


Además de la locomotora, que va delante, un tren lleva 5 vagones: 3 de segunda clase y 2 de primera clase, que pueden ordenarse de cualquier manera.
Un día, su posición era así: 21122; otro día, así: 11222.¿De cuántas formas pueden ordenarse los vagones?

$$Solución: \,10 \,\text{formas}$$


Con las letras de la palabra ALS, ¿cuántas ordenaciones, con sentido o sin, podemos formar?

$$Solución: \,6 \,\text{formas}$$


Con las letras de la palabra ELE, ¿cuántas ordenaciones, con sentido o sin, podemos formar?

$$Solución: \,3 \,\text{formas}$$


¿Cuántos resultados posibles se pueden obtener al lanzar un dado y dos monedas diferentes?

$$Solución: \,24 \,\text{resultados}$$


Dos amigos juegan un torneo de ajedrez en que será vencedor el primero que consiga ganar tres partidas. (no se tienen en cuenta las partidas que acaban en tablas). ¿De cuántas formas posibles puede desarrollarse el encuentro?

$$Solución: \,20 \,\text{formas}$$


Se ha jugado un partido de fútbol de máxima rivalidad en nuestra ciudad y nada más sabemos que el resultado fue un empate: 2-2. ¿Cuantos posibles resultados podría haber en el descanso?

$$Solución: \,9 \,\text{posibilidades}$$

Si en el descanso el resultado era 1-0, ¿de cuántas formas posibles pudo ir variando el marcador hasta llegar al resultado final 2-2?

$$Solución: \,5 \,\text{posibilidades}$$


Andrea es la mediana de 5 hermanos. Son 3 chicos y 2 chicas. ¿Cuántas posibles distribuciones chico-chica- chica-chico-chico hay en esta familia, de la cual solo conocemos a ella?

$$Solución: \,4 \,\text{posibilidades}$$


Se van a celebrar las elecciones en la asociación de madres y padres y hay que elegir el presidente, el secretario y el tesorero. ¿De cuántas maneras se pueden elegir estos tres cargos, si se presentan ocho candidatos?

$$Solución: \,336 \,\text{maneras}$$


¿Cuántos números de dos cifras diferentes se pueden formar con los dígitos 1, 2, 3, 4 y 5?

$$Solución: \,20 \,\text{Números}$$


¿De cuántas formas se pueden repartir 3 entradas para un concierto de “música clásica” entre 6 amigos y amigas sin que nadie se pueda llevar más de una?
$$Solución: \,20 \,\text{formas}$$


El número 755457543 está formado por cuatro cincos, dos sietes, dos cuatros y un tres. ¿Cuántos números podemos formar con cuatro cincos, dos sietes, dos cuatros y un tres?
$$Solución: \,3780 \,\text{formas}$$


Con las letras de la palabra MAPA, ¿cuántas ordenaciones, con sentido o sin, podemos formar?

$$Solución: \,12 \,\text{ordenaciones}$$


Las expresiones$VR_2^8$ ;$P_8$ ;$ V_2^8$ ;$ C_2^8$ son las soluciones de los apartados siguientes a), b), c), d), pero no en este orden. Asigna a cada apartado su solución:

a) Palabras de ocho letras, con sentido o sin, que se pueden hacer con las letras de PELÍCANO.
b) Posibles parejas que se pueden formar para jugar un torneo de ajedrez entre 8 personas.
c) Números de dos cifras que se pueden formar con los dígitos 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 y 8.
d) Posibles formas de dar el primero y segundo premios de un concurso literario en el que participan 8 personas.


En cada uno de los problemas siguientes la pregunta es: ¿De cuántas formas se puede hacer?
a) 3 chicos se van a comprar un polo cada uno en una heladería en que hay 6 clases de polos. $$VR^6_3=216$$
b) 6 chicos se van a comprar un polo cada uno en una heladería en que hay 3 clases de polos. $$VR_6^3=729$$
c) Repartir 3 polos diferentes entre 6 chicos.$$V^6_3=120$$
d) Repartir 3 polos iguales entre 6 chicos.$$C^6_3=20$$
e) Un chico escoge 3 polos entre 6 diferentes.$$C^6_3=20$$
f) Un chico escoge 3 polos entre 6 iguales.$$1$$
g) Repartir 6 polos diferentes entre 6 chicos.$$P_6=720$$
h) Repartir 3 polos de fresa y 3 de vainilla entre 6 chicos.$$C^6_3=20$$


Para formar un equipo de baloncesto hacen falta 5 jugadores y el entrenador dispone de 10.
a) ¿Cuántos equipos diferentes puede formar?$$Solución: \,252 \,\text{equipos}$$
b) Si escoge dos jugadores y los mantiene fijos, ¿cuántos equipos diferentes podrá hacer con los ocho que le quedan?$$Solución: \,56 \,\text{equipos}$$


Se van a repartir tres regalos entre seis personas. Calcula de cuantas formas se pueden repartir en cada uno de los siguientes casos:
a) Los regalos son diferentes (una bicicleta, unos patines y un chándal) y no puede tocar más de un regalo a la misma persona.$$Solución: \,120 \,\text{formas}$$
b) Los regalos son iguales y no puede tocar más de un regalo a la misma persona. $$Solución: \,20 \,\text{formas}$$
c) Los regalos son diferentes y puede tocar más de uno a la misma persona.$$Solución: \,216 \,\text{formas}$$


¿De cuántas formas pueden sentarse tres personas en un banco de 5 asientos?$$Solución: \,60 \,\text{formas}$$


¿De cuántas formas se pueden ordenar las letras de la palabra PELOTA?$$Solución: \,720 \,\text{formas}$$
¿Cuántas empiezan por P?
$$Solución: \,120 \,\text{palabras}$$

¿En cuántas de ellas ocupan las consonantes los lugares impares y las vocales los pares? $$Solución: \,36 \,\text{palabras}$$

¿En cuántas están alternadas vocales y consonantes?$$Solución: \,72 \,\text{palabras}$$


Seis amigos, 3 chicos y 3 chicas, van al cine. ¿De cuántas formas pueden sentarse si quieren estar alternados?$$Solución: \,72 \,\text{formas}$$
¿Y si fueran 4 chicos y 3 chicas? $$Solución: \,144 \,\text{formas}$$


En un sala hay 6 ventanas que pueden estar abiertas (A) o cerradas (C), indiferentemente. Esta mañana su posición era esta: ACAACA, es decir, estaban abiertas la 1a, 3a, 4a y 6a, y cerradas, la 2a y 5a. ¿Cuántas posiciones diferentes pueden tener las ventanas?

$$Solución: \,64 \,\text{posiciones}$$


Señala 8 puntos en una circunferencia. Traza las cuerdas que unen cada punto con todos los otros.
a) ¿Cuántas cuerdas deberás dibujar?$$Solución: \,28 \,\text{cuerdas}$$
b) ¿Cuántas diagonales tiene un octógono?$$Solución: \,20 \,\text{diagonales}$$


En unos almacenes utilizan el código siguiente para marcar los artículos:
-La primera cifra indica la sección correspondiente y es un número entre el 1 y el 9.
-Después, hay tres cifras, cada una de ellas del 0 al 9, que corresponden al número del proveedor. ¿Cuántas marcas diferentes se pueden hacer?

$$Solución: \,9000 \,\text{marcas diferentes}$$


Para matricularte en un curso, debes elegir dos asignaturas entre las siguientes:
$$\begin{array}{ccc}Música&Tecnología&Teatro\\Dibujo&Informática&Periodismo \end{array}$$

a) ¿De cuántas formas puedes hacer la elección?
$$Solución: \,15\,\text{formas}$$
b) Si en secretaría te advierten que escribas las seis asignaturas por orden de preferencia, ¿de cuántas formas las puedes escribir?
$$Solución: \,720\,\text{formas}$$


El profesor de matemáticas nos ha propuesto diez problemas de los cuales hemos de resolver cinco. a) ¿Cuántas formas hay de seleccionarlos?
$$Solución: \,252\,\text{formas}$$
b) De los 10 problemas propuestos hay 2 de los cuales no tienes “ni idea”.
$$Solución: \,56\,\text{formas}$$
¿Se reducen mucho las posibilidades de selección?
$$Solución:\text{se reduce en un 77,8 \% }$$


¿Cuántos grupos de 4 cartas diferentes se pueden hacer con una baraja española?

$$Solución:\text{91390 grupos de 4 cartas }$$
¿Cuántos grupos están formados por 4 FIGURAS?
$$Solución:\text{495 están formados por cuatro figuras }$$
c) ¿Cuántos grupos tendrán OROS en las 4 cartas?
$$Solución:\text{210 serán oros las cuatro cartas }$$


¿Cuántas apuestas de Lotería de una columna han de rellenarse para asegurarse el acierto de los seis resultados, de 49?
$$Solución:\text{13983816 apuestas }$$


Las matrículas de los automóviles de cierto país llevan cuatro números y tres letras. Para ello, se utilizan los dígitos del 0 al 9 y 26 letras de nuestro alfabeto:¿Cuántas matrículas se pueden hacer de esta manera?
$$Solución:\text{175760000 matrículas}$$


Me van a regalar 3 libros y 2 discos para mi cumpleaños.
He hecho una lista con los que me gustaría tener, y anoté 5 libros y 8 discos. ¿De cuántas formas diferentes pueden elegir mi regalo?
$$Solución:\text{280 formas}$$


Tenemos 5 pesas de 1 g, 2 g, 4 g, 8 g y 16 g.
a) ¿Cuántas pesadas diferentes se pueden hacer cogiendo dos?
$$Solución:\text{10 pesadas cogiendo dos}$$
b) ¿Y con tres?
$$Solución:\text{0 pesadas cogiendo tres}$$
c) Calcula cuántas pesadas se pueden hacer, en total, cogiendo 1, 2, 3, 4 o los 5 pesos.
$$Solución:\text{31 pesadas en total}$$


En una pizzeria preparan pizzas con, por lo menos 4 ingredientes. Si disponen de 6 tipos de ingredientes, ¿cuántos
tipos de pizza se pueden preparar? (Ten en cuenta que las pueden hacer de 4, 5 o 6 ingredientes).
$$Solución:\text{22 tipo de pizza}$$


Con los dígitos del 0 al 9.
a) ¿Cuántos números de 4 cifras distintas se pueden escribir?
$$Solución:\text{4536 número}$$
b) ¿Cuántos de ellos acaban en 0?
$$Solución:\text{504 números}$$
c) ¿Cuántos de ellos son pares?
$$Solución:\text{2296 números}$$


Con las cifras del 0 al 9 se pide:
a) ¿Cuántos números de 4 cifras se pueden escribir?
$$Solución:\text{9000 números}$$
b) ¿Cuántos de ellos acaban en 5?
$$Solución:\text{900 números}$$
c) ¿Cuántos de ellos son números pares?
$$Solución:\text{4500 números}$$


Un grupo de amigos quiere organizar una excursión. Convienen en que dos de ellos se encargarán de gestionar los billetes, tres en buscar alojamiento, uno en preparar los alimentos y otro en llevar la administración de gastos comunes. ¿De cuántas formas pueden organizarse los siete amigos para estas encomiendas?
$$Solución:\text{420 formas}$$


Con 10 rosas, 5 dalias y 8 claveles.
a) ¿Cuántas agrupaciones diferentes de 3 rosas, 2 dalias y 2 claveles es posible formar?
$$Solución:\text{33600 formas}$$

b) ¿Cuántas serian las agrupaciones si en cada una debe figurar obligatoriamente una rosa y dos claveles elegidos de antemano?
$$Solución:\text{360 formas}$$


Averiguar cuántos números hay que siendo mayores que 200 y menores que 700, estén formados por tres cifras diferentes entre las siete cifras: 0,1, 2, 3, 4, 5, 6.

$$Solución:\text{150 números}$$


Halla la suma de todos los números de tres cifras que se pueden formar con las cinco cifras impares.
$$Solución:\text{Suman 69375}$$


Con 4 vocales y 9 consonantes ¿Cuántas palabras se pueden formar que tengan, dos vocales y tres consonantes, sin repetir ninguna letra?
$$Solución:\text{S60480 palabras}$$


Con las letras de la palabra “combinación” ¿Cuántas palabras de 11 letras puedes formar?
$$Solución:\text{2494800 palabras}$$


¿Cuántos números hay comprendidos entre 100 y 233 y que se escriben únicamente con las cifras 0,1,2,3,4?
$$Solución:\text{42 números}$$


Se lanza una moneda 10 veces.
a) ¿Cuántos resultados distintos puede haber?
$$Solución:\text{1024 números}$$

b) ¿Cuántos resultados tendrán cuatro caras y seis sellos?
$$Solución:\text{210 números}$$


A un congreso médico asisten 14 profesionales de los cuales ocho hablan inglés y seis hablan francés.
a) ¿Cuántos diálogos pueden hacerse con o sin intérprete?
$$Solución:\text{91 diálogos}$$
b) ¿Cuántos diálogos pueden hacerse sin intérprete?
$$Solución:\text{43 diálogos}$$
c) ¿Cuántos diálogos pueden hacerse con intérprete?
$$Solución:\text{48 diálogos}$$


¿Cuántas rectas determinan cinco puntos de un plano, tales que tres cualesquiera de ellos nunca están alineados?
$$Solución:\text{10 recta}$$


Una clase ha salido de excursión geológica. En un descanso un grupo de 3 chicas y 4 chicos deciden hacerse una fotografía sentados en un bordillo de la carretera. A Charlotte que es la más afectiva del grupo, se le ha ocurrido que sería bonito hacerse distintas fotos cambiándose de lugar para estar entre distintos compañeros. El profesor les hace las fotos.

a) ¿Cuántas fotografías habría que hacer para cumplir el deseo de Charlotte?
$$Solución:\text{5040 fotografías}$$
b) ¿En cuántas fotos las chicas salen juntas?
$$Solución:\text{720 fotografías}$$


Cuatro libros distintos de matemáticas, seis diferentes de física y dos diferentes de química se colocan en un estante. ¿De cuántas formas distintas es posible ordenarlos si:

a) Los libros de cada asignatura deben estar todos juntos.
$$Solución:P_4\cdot P_6\cdot P_2\cdot P_3=\text{207360}$$
b) Solamente los libros de matemáticas deben estar juntos.
$$Solución:P_4\cdot P_9=\text{8709120}$$

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