La costumbre hacer pagar una cantidad de dinero que produce periódicamente un capital por el uso del dinero prestado, o rédito, está profundamente arraigada en el sistema económico en que vivimos. Tenemos pruebas evidentes de que esta clase de contrato era completamente común en todo tiempo pasado, y ojalá del presente
Las leyes y estatutos por las que se rige hoy una relación contractual entre el prestatario y el prestamista varían mucho de un país a otro como varían asimismo mucho los métodos para calcular el rédito o interés, en especial cuando el periodo del préstamo es inferior a un año. La principal falta de uniformidad consiste en que nuestro año tiene 365 años y esta dividido en meses de desigual duración.
El interés tiene una importancia fundamental hoy en día. Toda la maquinaria financiera y crediticia descansa sobre este concepto de pagar por el dinero tomado en préstamo. Virtualmente todos los ingresos de nuestros bancos se derivan de prestamos e inversiones: Las bolsas de valores, las compañías dedicadas a a hacer prestamos con o sin hipotecas, los bancos de ahorro, las compañías de seguros, las compañías inversionistas, son empresas que desaparecerían si nuestras leyes no reconocieran e hicieran cumplir la obligación de pagar por el uso de dinero tomado en préstamo. Sin el interés casi no se pueden concebir negocios.
Todos los cálculos de intereses se basan sobre ciertas relaciones numéricas. Estos conceptos matemáticos son muy sencillos y se han convertido en formulas mediantes las cuales se ha sido posible construir tablas numéricas, cuyo uso economiza una cantidad incalculable de tiempo y energía. Las tablas de rendimiento de obligaciones, las de anualidades, las de amortización y depreciación, las de ciertas compañías de seguros , los cuadros de las asociaciones de prestamos y edificación, etc.. son algunas de las apelaciones practicas de los conceptos numéricos sobre los que descansa el cálculo de intereses.
Definición
Según se define ordinariamente, el interés es el redito que hay que pagar por el uso del dinero tomado en préstamo. El rédito que se convierte en pagar por una suma determinada de dinero depende de la cuantía de la suma prestada, de la duración de la deuda y de la tasa, tanto por ciento o tipo de interés. Por consiguiente al calcular el interés hay que tener en cuentas tres factores
- El capital o principal
- El tiempo
- La tasa
El capital: El capital es la suma prestada. En este artículo emplearemos indistintamente las palabras principal y capital.
El tiempo: El tiempo es la duración del lapso para que se calcule el interés. De ordinario la unidad tiempo es un año. Cuando se calculan los intereses correspondientes a un lapso menor que un año , la unidad comúnmente usada es el mes o el día.
La tasa: La tasa, por tanto por ciento o tipo de interés, es el número de unidades pagadas como rédito, en la unidad de tiempo, por cada cien unidades de la suma prestada. La unidad de tiempo suele ser el año.
Las unidades se expresan, naturalmente, en la moneda del país en el que se contrae la deuda, tal como dólares, euros o pesos, etc. Así , si se conviene que por cada 100 dólares se pagaran como interés 6 dólares al final de cada año, la tasa o tipo de interés es el 6% anual,que se representa como 6%.
En muchos casos se denomina tasa no al tanto por ciento , si no al tanto por uno, es decir, al interés que produce cada unidad del capital por unidad de tiempo. Según esto, la tasa puede definirse como la razón del interés al capitalizar por cada unidad de tiempo . En el presente articulo para las aplicaciones practicas , usare generalmente esta acepción de tasa, es decir , el tanto por uno; de modo que cuando se ha dado el tanto por ciento bastara dividir es por cien para obtener la tasa.
Diferencia entre el interés simple y el interés compuesto
El interés simple se calcula sobre el capital primitivo que permanece invariable. En consecuencia , el interés que se obtiene es cada intervalo unitario de tiempo es siempre el mismo
El interés compuesto se calcula a una tasa constante durante el plazo de la deuda, pero el capital es aumentado a intervalos regulares, añadiéndole al interés acumulado durante cada intervalo de tiempo pasado.
Cuando los intereses de una deuda se pagan periódicamente , no puede haber interés compuesto. Únicamente cuando los pagos de intereses no se hacen a su vencimiento , empieza el acrecentamiento del capital. Es evidente que en los cálculos de interés compuesto el capital de la deuda crece al final de cada intervalo de tiempo, y, en consecuencia , el interés se hace mayor en cada periodo sucesivo. Como veremos mas adelante , las deudas a interés compuesto llegan a alcanzar una importancia enorme cuando transcurren muchos años.
Interés simple
El interés simple sobre cualquier capital se halla multiplicando unos por los otros números que representan el capital , el tiempo y la tasa.
$$interés= capital \times tiempo \times tasa$$
al estudiar el interés simple se usan convencionalmente cuatro letras , cuya significación es la siguiente
$$I=\text {interés}\\P=\text {Principal o capital} \\ n=\text {número de años} \\ i=\text {interés anual por unidad o tasa}$$
Fórmula para el interés simple
Aplicando esas letras para expresar simbólicamente que el interés es el producto de los tres factores, capital, tiempo y tasa, tenemos :
$$I=P\cdot n\cdot i$$
Y esta es la formula para calcular el interés simple
Cuando se ponen dos o mas símbolos uno a continuación del otro, como por ejemplo $Pni$, esto quiere decir que hay que multiplicarlos unos por otros.
Naturaleza y uso de las formulas
Muchos problemas mercantiles y financieros se resuelven fácil y rápidamente empleando formulas. Una formula es una representación simbólica de ciertos hechos. Pueden usarse cualesquiera símbolos con tal que conozcamos los datos que representan . Se ha establecido la costumbre de usar las letras del alfabeto griego y romano , con preferencia a otros signos. Las formulas permiten a menudo resolver con facilidad un problema difícil, cuya solucion por procedimientos puramente aritméticos seria lenta y factidiosa. Además, cuando las relaciones numéricas pueden expresarse en una formula, se facilita muchisimo el proceso de hallar una cantidad desconocida.
Uso de la formula de interés simple
En esta formula intervienen 4 letras diferentes. Si se plantean problemas entre las magnitudes que ellas representan , de manera que tres sean conocidas, mediante transformación de la formula puede hallarse la cantidad desconocida.
La formula $(1) \,I=Pni$, se llama también una ecuación. Una propiedad fundamental de las ecuaciones es que pueden dividirse o multiplicarse sus dos miembros por un mismo número sin que se afecte la igualdad.
Ejemplo 1:
El “Huepil National Bank” paga el 4% sobre los depósitos a plazo. ¿Cuál es el pago anual por interés sobre un depósito de $250.000?
en este caso:
$$P=250.000\\n=1\\i=0,04\\I=\text{incógnita}$$
formula$$I=P\times n\times\,i$$
sustituyendo las cantidades conocidas
$$I=250.000\times 1\times\,0,004$$
efectuando las multiplicaciones indicadas se obtiene
$$I=10.000$$
Luego, lo que el “Huepil National Bank” paga anualmente por interés sobre el deposito asciende a $10.000.
Ejemplo 2:
El Señor Fernandez, Banquero de Rungue, toma prestado dinero en Champa al 5% y presta a los agricultores de Rungue al 8%, ganándose así el 3% neto. Si los ingresos anuales que obtuvo de esta manera ascendieron a $3.600.000. ¿Cuánto dinero presto?
en este caso:
$$P=\text{incógnita}\\n=1\\i=0,03\\I=3.600.000$$
formula
$$I=P\times n\times\,i$$
sustituyendo las cantidades conocidas
$$3.600.000=P\times 1\times\,0,03$$
Dividiendo ambos miembros de la ecuación por 0,03 se obtiene
$$\frac{3.600.000}{0,03}=P=120.000.000$$
Luego, el Señor Fernandez presto $\$120.000.000$
Ejemplo 3:
La Asociación de Prestamos para edificación Iwantmyhouse invirtió $\$76.000.000 $ al 5,5% en hipotecas locales y gano $\$2.090.000$. ¿Durante cuanto tiempo estuvo invertido el dinero?
en este caso:
$$P=76.000.000\\n=\text{incógnita}\\i=0,055\\I=2.090.000$$
formula$$I=P\times n\times\,i$$
Dividiendo ahora a ambos miembros por $Pi$ se obtiene:
$$n=\frac{I}{Pi}$$
Sustituyendo las cantidades conocidas tenemos que:
$$n=\frac{2.090.000}{76.000.000\times 0,055}=\frac{2.090.000}{4.180.000}=\frac{1}{2}$$
Por consiguiente, la Asociación de Prestamos para edificación Iwantmyhouse tuvo invertido su dinero por medio año
Ejemplo 4:
Si la Compañía Hipotecaria Thisismine tiene invertidos $\$139.000.000$ durante 2 1/2 años a interés simple y obtiene $\$21.718.750.000$ de ingresos. ¿Cual es el tipo de interés?
en este caso:
$$P=139.000.000\\n=2,5\\i=\text{incógnita}\\I=21.718.750.000$$
formula$$I=P\times n\times\,i$$
Invirtiendo , como antes , la ecuación para llevar la incógnita al primer miembro, tenemos
$$P\times n\times\,i=I$$
dividiendo ambos miembros por $Pn$, se obtiene
$$i=\frac{I}{Pn}$$
sustituyendo las cantidades conocidas, se tiene:
$$i=\frac{21.718.750.000}{139.000.000\times 2.5}=\frac{21.718.750.000}{347.500.000}=0,0625$$
por consiguiente, la Compañía Hipotecaria Thisismine obtuvo el 6,25% sobre su dinero.
EL Monto
El monto es la suma obtenida añadiendo el interés al capital, esto es
$$monto=capital + interés$$
Si designamos el monto con el simbolo $S$, mientras $P$ e $I$ siguen designando como antes el capital y el interés, respectivamente, podemos escribir:
$$S=P+I$$
Esta es la formula general para el monto
En esta ecuación podemos sustituir $I$ por su equivalente $Pni$, según la formula principal , y obtenemos:
$$S=P+Pni$$
Cada no de los términos del segundo miembro de la ecuación contienen a $P$; por consiguiente , $P\,$ es un factor común , y la ecuación puede escribirse en la siguiente forma
$$S=P(1+ni)$$
Esta es la formula para el monto a interes simple de un capital $P$, que devenga interes a la tasa $i\,$ durante $n\,$ años.
Ejemplo 5:
Una persona toma prestados $400.000 a interés simple, durant e dos años al 5%. Se conviene a pagar el interés cada año-. ¿cuanto recibirá en total el acreedor?
formula $$S=P(1+ni)$$
en este caso:
$$P=400.000\\n=2\\i=0,05\\S=\text{incógnita}$$
Sustituyendo las cantidades conocidas, tenemos :
$$S=P(1+ni)\\=400.000(1+2\times 0.05)\\=400.000(1+0.10)\\=400.000(1.10)\\=440.000$$
Nota: para calcular la expresión entre paréntesis se efectúa primero la multiplicación y después la adición.
El acreedor recibirá $\$440.000$, de los cuales $\$400.000$ es el principal y $\$40.000$ el interés.
CÁLCULO DEL INTERÉS SIMPLE
El cálculo de interés simple se suele aplicar en préstamos o inversiones de corta duración. En el caso de la caja de ahorro, se aplica el cálculo de interés simple diario para cantidades de días dentro del mes en curso. En tanto que en el cálculo de mes a mes se aplica Interés Compuesto.
En los problemas la tasa de interés usualmente se da como dato anual y no se lo suele especificar.
Si el cálculo es por cantidad de meses, o cantidad de días cuando la información de la Tasa es Anual, entonces se aplica una reducción sobre la tasa para hallar la Tasa Proporcional Mensual o la Tasa Proporcional Diaria.
Por ejemplo, si la tasa es 12% anual la Tasa Proporcional Mensual es:
$$\frac{12\%}{12\,\text{meses}}=1\%\,\text{mensual}$$
Para la obtención de la diaria, se dividirá por 365 días (año civil) o por 360 (año comercial).
PROBLEMAS:
- ¿A qué tasa de interés se hizo una colocación de $\$ 2.700.000$ que luego de permanecer depositada durante 4 meses permitió obtener una ganancia bruta de $\$162.000$?
Formula
$$I=P\times n\times\,i$$
en este caso:
$$P=2.700.000\\n=4\,\text{meses}\\i=\text{incógnita}\\I=162.000$$
en este caso:
$$I=P\times n\times\,i\\162000 = 2.700.000\cdot i\cdot 4\\162.000 = 10.800.000·i\\=\frac{162.000}{10.800.000}\\=0,015 $$
Luego: La tasa es de 1,5% mensual.
$$S = P [ 1 + ( i_1 \cdot n_1 + i_2\cdot n2 + i_3\cdot n_3 + … + i_m\cdot nm ) ] $$ (11)
Se agregaran mas problemas resueltos próximamente