La importancia del interés

  Aritmetica, Financiera

La costumbre hacer pagar una  cantidad de dinero que produce periódicamente un capital por el uso del dinero prestado, o rédito,  está profundamente arraigada en el sistema económico en que vivimos. Tenemos pruebas evidentes de que esta clase de contrato era completamente común en todo tiempo pasado,  y ojalá del presente

Las leyes y estatutos por las que se rige hoy una relación contractual entre el prestatario y el prestamista varían mucho de un país a otro  como varían asimismo mucho los métodos para calcular el rédito o interés, en especial cuando el periodo del préstamo es inferior a un año. La principal falta de uniformidad consiste en que nuestro año tiene 365 años y esta dividido en meses de desigual duración.

El interés tiene una importancia fundamental hoy en día. Toda la maquinaria financiera y crediticia descansa sobre este concepto de pagar por el dinero tomado en préstamo. Virtualmente todos los ingresos de nuestros bancos se derivan de prestamos e inversiones: Las bolsas de valores, las compañías dedicadas a a hacer prestamos con o sin hipotecas, los bancos de ahorro, las compañías de seguros, las compañías inversionistas,  son empresas que desaparecerían si nuestras leyes no reconocieran e hicieran cumplir la obligación de pagar por el uso de dinero tomado en préstamo. Sin el interés casi no se pueden concebir negocios.

Todos los cálculos de intereses se basan sobre ciertas relaciones numéricas. Estos conceptos matemáticos son muy sencillos y se han convertido en formulas mediantes las cuales se ha sido posible construir tablas numéricas, cuyo uso economiza una cantidad incalculable de tiempo y energía. Las tablas de rendimiento de obligaciones, las de anualidades, las de amortización y depreciación, las de ciertas compañías de seguros , los cuadros de las asociaciones de prestamos y edificación, etc.. son algunas de las apelaciones practicas de los conceptos numéricos sobre los que descansa el cálculo de intereses.

Definición

Según se define ordinariamente, el interés es el redito que hay que pagar por el uso del dinero tomado en préstamo. El rédito que se convierte en pagar por una suma determinada de dinero depende de la cuantía de la suma prestada, de la duración de la deuda y de la tasa, tanto por ciento o tipo de interés. Por consiguiente al calcular el interés hay que tener en cuentas tres factores

 

  • El capital o principal
  • El tiempo
  • La tasa

 

El capital: El capital es la suma prestada. En este artículo emplearemos indistintamente las palabras principal y capital.

El tiempo: El tiempo es la duración del lapso para que se calcule el interés. De ordinario la unidad tiempo es un año. Cuando se calculan los intereses correspondientes a un lapso menor que un año , la unidad comúnmente usada es el mes o el día.

La tasa: La tasa, por tanto por ciento o tipo de interés, es el número de unidades pagadas como rédito, en la unidad de tiempo, por cada cien unidades de la suma prestada. La unidad de tiempo suele ser el año.

Las unidades se expresan, naturalmente, en la moneda del país en el que se contrae la deuda, tal como dólares, euros o pesos, etc. Así , si se conviene que por cada 100 dólares se pagaran como interés 6 dólares al final de cada año, la tasa o tipo de interés es el 6% anual,que se representa como 6%.

En muchos casos se denomina tasa no al tanto por ciento , si no al tanto por uno, es decir, al interés que produce cada unidad del capital por unidad de tiempo. Según esto, la tasa puede definirse como la razón del interés al capitalizar por cada unidad de tiempo . En el presente articulo para las aplicaciones practicas , usare generalmente esta acepción de tasa, es decir , el tanto por uno; de modo que cuando se ha dado el tanto por ciento bastara dividir es por cien para obtener la tasa.

Diferencia entre el interés simple y el interés compuesto

El interés simple se calcula sobre el capital primitivo que permanece invariable. En consecuencia , el interés que se obtiene es cada intervalo unitario de tiempo es siempre el mismo
El interés compuesto se calcula a una tasa constante durante el plazo de la deuda, pero el capital es aumentado a intervalos regulares, añadiéndole al interés acumulado durante cada intervalo de tiempo pasado.

Cuando los intereses de una deuda se pagan periódicamente , no puede haber interés compuesto. Únicamente cuando los pagos de intereses no se hacen a su vencimiento , empieza el acrecentamiento del capital. Es evidente que en los cálculos de interés compuesto el capital de la deuda crece al final de cada intervalo de tiempo, y, en consecuencia , el interés se hace mayor en cada periodo sucesivo. Como veremos mas adelante , las deudas a interés compuesto llegan a alcanzar una importancia enorme cuando transcurren muchos años.

Interés simple

El interés simple sobre cualquier capital se halla multiplicando unos por los otros números que representan el capital , el tiempo y la tasa.
$$interés= capital \times tiempo \times tasa$$
al estudiar el interés simple se usan convencionalmente cuatro letras , cuya significación es la siguiente

$$I=\text {interés}\\P=\text {Principal o capital} \\ n=\text {número de años} \\ i=\text {interés anual por unidad o tasa}$$

Fórmula para el interés simple
Aplicando esas letras para expresar simbólicamente que el interés es el producto de los tres factores, capital, tiempo y tasa, tenemos :

$$I=P\cdot n\cdot i$$

Y esta es la formula para calcular el interés simple

Cuando se ponen dos o mas símbolos  uno a continuación del otro, como por ejemplo $Pni$, esto quiere decir que hay que multiplicarlos unos por otros.

Naturaleza y uso de las formulas 

Muchos problemas mercantiles y financieros se resuelven fácil y rápidamente empleando formulas. Una formula es una representación simbólica  de ciertos hechos. Pueden usarse cualesquiera símbolos con tal que conozcamos los datos que representan . Se ha establecido la costumbre de usar  las letras del alfabeto griego y romano , con preferencia a otros signos. Las formulas permiten a menudo resolver con facilidad un problema difícil, cuya solucion por procedimientos puramente aritméticos seria lenta y factidiosa. Además, cuando las relaciones numéricas pueden expresarse en una formula, se facilita muchisimo el proceso de hallar una cantidad desconocida.

Uso de la formula de interés simple

En esta formula intervienen 4 letras diferentes. Si se plantean problemas entre las magnitudes que ellas representan , de manera que tres sean conocidas, mediante transformación de la formula puede hallarse la cantidad desconocida.

La formula $(1) \,I=Pni$, se llama también una ecuación. Una propiedad  fundamental de las ecuaciones es que pueden dividirse o multiplicarse sus dos miembros por un mismo número sin que se afecte la igualdad.


Ejemplo 1:

El “Huepil National Bank” paga el 4% sobre los depósitos a plazo. ¿Cuál es el pago anual por interés sobre un depósito de $250.000?

en este caso:

$$P=250.000\\n=1\\i=0,04\\I=\text{incógnita}$$

formula$$I=P\times n\times\,i$$

sustituyendo las cantidades conocidas

$$I=250.000\times 1\times\,0,004$$

efectuando las multiplicaciones indicadas se obtiene

$$I=10.000$$

Luego, lo que el “Huepil National Bank” paga anualmente  por interés sobre el deposito asciende a $10.000.


Ejemplo 2:

El Señor Fernandez, Banquero de Rungue, toma prestado dinero en Champa al 5% y presta a los agricultores de Rungue al 8%, ganándose así el 3% neto. Si los ingresos anuales que obtuvo de esta manera ascendieron a $3.600.000. ¿Cuánto dinero presto?

en este caso:

$$P=\text{incógnita}\\n=1\\i=0,03\\I=3.600.000$$

formula

$$I=P\times n\times\,i$$

sustituyendo las cantidades conocidas

$$3.600.000=P\times 1\times\,0,03$$

Dividiendo ambos miembros de la ecuación por 0,03 se obtiene

$$\frac{3.600.000}{0,03}=P=120.000.000$$

Luego, el Señor Fernandez presto $\$120.000.000$


Ejemplo 3:

La Asociación de Prestamos para edificación Iwantmyhouse invirtió $\$76.000.000 $ al 5,5% en hipotecas locales y gano $\$2.090.000$. ¿Durante cuanto tiempo estuvo invertido el dinero?

en este caso:

$$P=76.000.000\\n=\text{incógnita}\\i=0,055\\I=2.090.000$$

formula$$I=P\times n\times\,i$$

Dividiendo ahora a ambos miembros por $Pi$ se obtiene:

$$n=\frac{I}{Pi}$$

Sustituyendo las cantidades conocidas tenemos que:

$$n=\frac{2.090.000}{76.000.000\times 0,055}=\frac{2.090.000}{4.180.000}=\frac{1}{2}$$

Por consiguiente, la Asociación de Prestamos para edificación Iwantmyhouse  tuvo invertido su dinero por medio año

 


Ejemplo 4:

Si la Compañía Hipotecaria Thisismine tiene invertidos $\$139.000.000$ durante 2 1/2 años a interés simple y obtiene $\$21.718.750.000$ de ingresos. ¿Cual es el tipo de interés?

en este caso:

$$P=139.000.000\\n=2,5\\i=\text{incógnita}\\I=21.718.750.000$$

formula$$I=P\times n\times\,i$$

Invirtiendo , como antes , la ecuación para llevar la incógnita al primer miembro, tenemos

$$P\times n\times\,i=I$$

dividiendo ambos miembros por $Pn$, se obtiene

$$i=\frac{I}{Pn}$$

sustituyendo las cantidades conocidas, se tiene:

$$i=\frac{21.718.750.000}{139.000.000\times 2.5}=\frac{21.718.750.000}{347.500.000}=0,0625$$

por consiguiente, la Compañía Hipotecaria Thisismine obtuvo el 6,25% sobre su dinero.


EL Monto

El monto es la suma obtenida añadiendo el interés al capital, esto es

$$monto=capital + interés$$

Si designamos el monto con el simbolo $S$, mientras $P$ e $I$ siguen designando como antes el capital y el interés, respectivamente, podemos escribir:

$$S=P+I$$

Esta es la formula general para el monto

En esta ecuación podemos sustituir $I$ por su equivalente $Pni$, según la formula principal , y obtenemos:

$$S=P+Pni$$

Cada no de los términos del segundo miembro de la ecuación contienen a $P$; por consiguiente , $P\,$ es un factor común , y la ecuación puede escribirse en la siguiente forma

$$S=P(1+ni)$$

Esta es la formula para el monto a interes simple de un capital $P$, que devenga interes a la tasa $i\,$ durante $n\,$ años.


Ejemplo 5:

Una persona toma prestados $400.000 a interés simple, durant e dos años al 5%. Se conviene a pagar el interés cada año-. ¿cuanto recibirá en total el acreedor?

formula $$S=P(1+ni)$$

en este caso:

$$P=400.000\\n=2\\i=0,05\\S=\text{incógnita}$$

Sustituyendo las cantidades conocidas, tenemos :

$$S=P(1+ni)\\=400.000(1+2\times 0.05)\\=400.000(1+0.10)\\=400.000(1.10)\\=440.000$$

Nota: para calcular la expresión entre paréntesis se efectúa primero la multiplicación y después la adición.

El acreedor recibirá $\$440.000$, de los cuales $\$400.000$ es el principal y $\$40.000$ el interés.


CÁLCULO DEL INTERÉS  SIMPLE

El cálculo de interés simple se suele aplicar en préstamos o inversiones de corta duración. En el caso de la caja de ahorro, se aplica el cálculo de interés simple diario para cantidades de días dentro del mes en curso. En tanto que en el cálculo de mes a mes se aplica Interés Compuesto.

En los problemas la tasa de interés usualmente se da como dato anual y no se lo suele especificar.

Si el cálculo es por cantidad de meses, o cantidad de días cuando la información de la Tasa es Anual, entonces se aplica una reducción sobre la tasa para hallar la Tasa Proporcional Mensual o la Tasa Proporcional Diaria.

Por ejemplo, si la tasa es 12% anual la Tasa Proporcional Mensual es:

$$\frac{12\%}{12\,\text{meses}}=1\%\,\text{mensual}$$

Para la obtención de la diaria, se dividirá  por 365 días (año civil) o por 360 (año comercial).

 


PROBLEMAS:

  1. ¿A qué tasa de interés se hizo una colocación de $\$ 2.700.000$ que luego de permanecer depositada durante 4 meses permitió obtener una ganancia bruta de $\$162.000$?

Formula

$$I=P\times n\times\,i$$

en este caso:

$$P=2.700.000\\n=4\,\text{meses}\\i=\text{incógnita}\\I=162.000$$

en este caso:

$$I=P\times n\times\,i\\162000 = 2.700.000\cdot i\cdot 4\\162.000 = 10.800.000·i\\=\frac{162.000}{10.800.000}\\=0,015 $$

 

Luego: La tasa es de 1,5% mensual.


2.  El Banco  otorga a la  empresa Aquivamosdenuevo S.A, un préstamo de $22.000 para devolverlo dentro de 3 años, cobrando una tasa de interés simple del 36\% anual. ¿Cuál  será el interés que pagará  al vencimiento del plazo?
Solución
Datos:
I = ?
n = 3 años
i  =  0,36
P = 22 000.
Fórmula
$$I = P\cdot i\cdot n$$
$$I = 22 000 \times  0,36 \times 3 = $ 23.760$$
Si la tasa y el tiempo de la operación están referidas a diferentes unidades de tiempo, por ejemplo tasa anual y tiempo en días, entonces debemos homogeneizar ambas variables para expresarlas en años meses ó días respectivamente.

3.   ¿Calcular  el  interés  acumulado  en  120  días  por  un  depósito de  ahorro  de $ 7.000 percibiendo una tasa de interés simple del  12,5\% anual?
Solución
a) Homogeneizando i  y  n a días (Tasa y tiempo diarios)
$$I = 7 000 \times \frac{0,125}{360}  \times 120 = \$ 291,6666666 = 291,67$$
b)Homogeneizando i y n a años (Tasa y tiempos anuales)
$$I = 7 000 \times 0,125 \times 120/360 =  \$ 291,6666666 = 291,67$$

4.-   El señor Marcos Ruiz  deposita $18 000 en una institución financiera ganando una tasa de interés simple del 3\% mensual. ¿Qué interés habrá acumulado en cinco meses?
Solución
$$I = 18 000 \times 0,03 \times 5 = 2700$$

5.- Calcule el interés simple de un capital de $ 15 000 colocado en una institución financiera desde el 3 de marzo al 15 de mayo del mismo año, a una tasa del 2,5\% mensual.
Solución:
Datos
I  =  ?
P = 15 000
i =   0,025
n =  73 días
Fórmula:
$$I = Pni$$
$$I = 15 000 \times \frac{73}{30}  \times 0,025 $$
$$I = S/. 912,4999998 = 912,50$$

6.-  ¿Qué capital colocado a una tasa anual del 36\% producirá un interés simple de $ 6 600 en el período comprendido entre el 18 de abril y 2 de julio?
Solución
Datos
P = ?
I = 6 600
i = 0,36
n = 75 días
Fórmula:
$$I = Pni$$
$$P = \frac{I}{in} $$
$$P = \frac{6600}{{\frac{75}{360}}\times 0,36} $$
$$P = 88000,00117 =  88 000 $$

7.- ¿Cuál será la tasa mensual de interés simple a cargar en el financiamiento a 75 días sobre un artículo cuyo precio de contado es de $ 12 000 y al crédito sin cuota inicial será de $ 13 200?
Solución
Datos
i = ?
I =  1 200
P = 12 000
n = 75 días
Fórmula
$$I = Pni$$
$$i = \frac{I}{P\cdot n}$$
$$i = \frac{1200 }{12 000 \times \frac{75}{30}} $$
$$i = 0,04 \times 100 = 4\%$$

8.-  ¿En cuánto tiempo podrá duplicarse un capital a una tasa de interés simple del 7,5% mensual?
Solución
Datos
n = ?
I =  5,00
P= 5
i = 0,075
Fórmula
$$I = Pni$$
$$n = \frac{I}{Pi}$$
$$n = \frac{5}{5 \times 0,075}$$
$$n = 13,33333333 \text {meses}$$

2.  STOCK FINAL O VALOR FUTURO
El Valor futuro  constituye la suma del capital inicial  mas el interés producido.
Fórmulas
$$S = P + I $$   ( 7 )
$$S = P + Pin$$
$$S = P (1 + i\cdot n) $$ ( 8 )
En esta fórmula la tasa de interés y el tiempo se refieren a una misma unidad de tiempo y (1 + in)  es el factor simple de capitalización a Interés simple.
De la ecuación (8) despejarnos i  y n:
$$i=\frac{\frac{S}{P}-1}{n}$$
$$n=\frac{\frac{S}{P}-1}{i}$$

9.- ¿Qué monto habrá acumulado una persona en una cuenta de ahorros, del 02 al 29 de agosto a  una tasa de interés  simple del 3\%  mensual, si el  depósito  inicial  fue de $ 25 000?
Solución,
Datos:
S = ?
P = 25 000
i = 0,03
n = 27/ 30
Fórmula
$$S = P(1 +in)$$
$$S = 25 000 (1 + 0,03 x 27 / 30)$$
$$S = 25 000 (1,027)$$
$$S = 25 675$$

10.-Una automóvil cuyo precio de contado es de \$. 16 000  dólares fue adquirida con una cuota inicial de \$12 000 dólares y el saldo financiado con una letra a 45 días por el importe de \$. 6 000 dólares. ¿Cuál fue la tasa mensual de interés simple cargada?
Solución: El precio de contado fue de \$16 000 y se paga una cuota inicial de         \$12000, entonces el financiamiento neto P es \$4 000,sobre el cual se exige un monto de \$6 000.
Datos: Fórmula
 i   = ?
 P  = 4 000 1
 S  = 6 000
  n = 45/30
$$i=\frac{\frac{S}{P}-1}{n}=\frac{\frac{6000}{4000}-1}{\frac{45}{30}}$$
$$i =    0,333333333 x 100 = 33,3333\% $$

11.- ¿En qué tiempo se podrá triplicar un capital a una tasa anual de interés simple del 48\%?
Solución
Datos
 n  = ?
 S  = 3
  P = 1
  i  =  0,48
  Fórmula
  $$n=\frac{\frac{S}{P}-1}{i}=\frac{\frac{3}{1}-1}{0,48}=4,166666666 \,\text{años}   $$

 2.1 Monto con variaciones de tasa
Cuando se producen variaciones de tasa, aplicarnos la siguiente fórmula:

$$S = P [ 1 + ( i_1 \cdot n_1   + i_2\cdot n2   +  i_3\cdot  n_3  + …  +  i_m\cdot nm ) ] $$     (11)


12.-Un préstamo de\$20 000  fue pactado para ser devuelto dentro de 8 meses conjuntamente con los intereses simples generados por el capital original y calculados con la tasa de inflación mensual más un punto adicional. Al final del plazo la inflación fue del 1.5\% y 2,5\% para el primer y segundo mes y del 1,2\% para los últimos 2 meses. Calcule el monto de esa operación.
Solución
Datos
$$S = ? $$
$$P = 20 000 $$
$$i_1 =  0,025\, n_1 = 1 $$
$$i_2  = 0,035\, n_2  = 1 $$
$$i_3  = 0,022\, n_3  = 2 $$
 Fórmula
 $$S = P \left( 1 + (i_1\cdot n_1 + i_2 \cdot n_2 + i_3\cdot n_3) \right) $$
 $$S = 20 000 [1 + (0,025 \cdot 1 + 0,035 \cdot 1 + 0,022 \cdot 2) ]$$
$$S = 20 000 [1 + 0,104]$$
$$S = 22 080$$

Se agregaran mas problemas resueltos próximamente 

 

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