Actuariado

  Actuariado, Estadistica, Financiera

El oficio de actuario comporta el estudio de la mortalidad y supervivencia para la clientela especial de las empresas de seguros, el estudio de las probabilidades de accidentes de las cosas para otorgar  el seguro correspondiente el cálculo de las primas que resultan de las probabilidades de los riesgo simples o múltiples; la evaluación necesaria para obtener cobertura del seguro y un beneficio determinado; establecimiento del valor del capital de una compañía de seguros en una época dada, el valor que se debe cobrar por un seguro determinado, en que se debe incluir el valor para cubrirlo; los beneficios de la compañía, los gastos de administración y comercialización, etc..

Dado que en Chile existen muy pocas instituciones donde se dicten estas materias he optado por escribir este texto. Es fácil entender que por tratarse de un post adolecerá de muchas deficiencias que espero ir superando a medida que profesores y alumnos vayan viendo en la práctica aquellos puntos en que es necesario reforzar, o aclarar y ampliar.

Anexaré tablas que son las confeccionadas por la superintendencia de valores y seguros de Chile , y que rigen  desde 1981 para el país. En estas tablas no figuran cálculos como las de Cy Mx, y fue necesario buscar nuevas formulas para crearlas.

A lo largo del texto aparecerán numerosos ejercicios imprescindibles para el estudio de los alumnos,  que se esperan sean de gran utilidad. Se han planteado símbolos muy útiles, pero debo advertir que muchos autores usan símbolos personales. para ello anexare una tabla de la simbología para aclarar la distintas formulas. y dar una definición apropiada.

Introducción

Las prestaciones que figuran en una operación de crédito, como se supone se han visto en estudios de interés simple y compuesto, son de carácter cierto, ya que el numero de periodos no es conocido en cada caso. En cambio en las prestaciones que figuran en una operación de seguros son total o parcialmente aleatorias o al azar. ( alea, del Latin: Dado) : Luego estas ultimas están vinculados a la verificación de un determinado acontecimiento.

Según la mitología griega la tercera parca, Atropos, Cortaba el hilo de la vida de los hombres al azar. Del mismo modo como elegir una bolita en una tómbola o tener un accidente, todo es aleatorio.

Para poder estudiar las operaciones de seguros es necesario comprender las matemáticas de las probabilidades, de las cuales se darán las nociones mínimas necesarias, en este texto. ( Se verán mas extensamente en otro posteo)

Probabilidades

Generalmente se presentan dos definiciones de este termino: las probabilidades a priori y las a posteriori.

Si un suceso puede tener lugar en “n” normas mutuamente excluyentes, todas ellas igualmente posibles, y si “k” de estas formas corresponden a sucesos favorables, entonces al pronbabilidad de este suseso es $\frac{k}{n}$.

$$\text{Probabilidad a Priori}=\frac{\text{Casos favorables}}{\text{Casos posibles}}=\frac{k}{n}$$

Esta es una probabilidad a Priori, o matemática, por que previamente se conocen las formas favorables y las posibles

Si dado un dado ¿Cual es la probabilidad de que salga un 3 o un 4 ?

Como el dado tiene 6 caras, hay seis formas mutuamente excluyentes, todas igualmente posibles, luego n es igual a 6.

Entonces la probabilidad de que salga un 3 o un 4 corresponde a 2 casos favorables, o sea , k=2. Luego la probabilidad pedida es $\frac{1}{6}=\frac{1}{3}$

En una tombola con 50.000 boltas. ¿Cual es la probabilidad de que saliera una entre el numero 20.000 y el 29.999?

En este caso n=50.000, k=10.000 y la probabilidad esta dada por:

$$P(20.000<x<29.999)=\frac{10.000}{50.000}=\frac{1}{5}=0,20=20\%$$

Cuando no se puede conocer de antemano ( a priori) las formas favorables a un suceso, no es posible aplicar la definición dada y así hay que acudir a una serie de experimentos que nos permitan obtener una aproximación.

Un caso histórico interesante de considerar es el del monje Agustino Gregor Mendel (1822-1884), que furante 8 años realizo experiencias en el cruzamiento de diferentes variedades de guisantes para investigar como podían heredarse caracteres contrarios. En esta serie de experimentos encontró que en la nueva generación había 428 plantas con vainas amarillas y 152 con vainas verdes. Estos números están en la razón 2,82:1.

Otros investigadores con el mismo experimento obtuvieron 146.802 plantas amarillas y 48.675 plantas verdes, es decir con una razón de 3,1026:1.

Esto lleva a presentar la definición de probabilidad a posteriori, o estadística.

Si un suceso ha ocurrido”k” veces en forma aleatoria, en una serie de “n” experimentos independientes la razon $frac{k}{n}$ se llama frecuencia relativa del suceso y el limite de $frac{k}{n}$ , cuando “n” tiende a infinito, es la probabilidad

$$\text{Probabilidad a Posteriori}=\lim_{n \to \infty} \left( \frac{k}{n} \right)$$

Cuando “n” no es infinito, la frecuencia relativa del suceso da un valor aproximado de la probabilidad del mismo acontecimiento, y esta aproximación es.en general, tanto mayor cuanto mas grande es el numero de las pruebas realizadas.

Desde el punto de vista practico, si en la resolución de un problema se toma la frecuencia relativa, determinada por un numero grande de pruebas, se puede asegurar que el error que se comete es pequeño. Esta conclusión es de gran importancia en la matemática de seguros.

la 1ª tabla de mortalidad usada en Chile se obtuvo sobre la experiencia de la mutual  de seguros de Chile en el periodo 1955/57 a 1969/70 la cual será agregada al posteo. Tabla M-70 para seguros de Vida

Algunos axiomas de las probabilidades

  1. Cualquier probabilidad P(A) es un número no negativo.   $P(A)\geq0$
  2. La probabilidad de un evento Cierto es la unidad.   $P(\text{(suceso cierto)}=1$
  3. La probabilidad de un evento imposible es cero.   $P(\text{(suceso imposible)}=0$
  4. La probabilidad de un evento cualquiera esta comprendido entre cero y uno.  $0\leqslant P(\text{(evento cualquiera)}\leqslant 1$
  5. La probabilidad de dos sucesos complementarios es uno. $P(A)+P(no A)=1$

En otras palabras la suma de las probabilidades de que suceda un acontecimiento y de que no suceda es 1

Sea $p_x$ la tasa de supervivencia de una persona a la edad x, y sea $q_x$la tasa de mortalidad de la misma persona, entonces

$$p_x+q_x=1$$

de donde

$$p_x=1-q_x $$

$$q_x=1-p_x $$

que son dos teoremas básicos en nuestro estudio.

Probabilidad Total de sucesos mutuamente excluyentes o incompatibles

Los acontecimientos se llaman mutuamente excluyentes  o incompatibles si la presentación de uno de ellos excluye la presentación de todos los otros. si lanzo un dado el que salga un 4 excluye la presentación de los otros números.

Si lanzo un dado ¿cual es al probabilidad de que se obtenga un 3 o un 4?

Se puede obtener un 3, o un 4, pero no ambos simultáneamente. Tengo $\frac{1}{6}$ de probabilidad de obtener el 3, y se tiene $\frac{1}{6}$ de obtener un 4; luego la probabilidad pedida es $\frac{1}{6}+\frac{1}{6}=\frac{2}{6}=\frac{1}{3}$.

La “o” es una conjunción disyuntiva exclusiva, o sea que se debe elegir “uno u otro, pero no ambos”, y algebraicamente corresponde al signo +. Se trata de dos conjuntos. De allí el teorema de la probabilidad total.

La probabilidad total de un acontecimiento A es la suma de las probabilidades de sus formas mutuamente excluyentes $A_1,A_2,A_3$, etc.

$$P(A)=P(A_1)+P(A_2)+P(A_3)+..P(A_n)$$

$$P(A)=\sum_{i=1}^{n} P(A_i)$$

Las probabilidades $P(A_i)$ son probabilidades parciales de formas incompatibles entre si. Puesto que $P(A)$ es la suma de ellas, se habla de probabilidad total de A. De ahí el nombre.

Ejemplo

¿Cual es la probabilidad de obtener un 10 al menos al arrojar dos dados una sola vez?

Esto corresponde a tres casos: se obtiene un 10 ó ó 12, siendo estos acontecimientos excluyentes

  • Evento A: sacar 10 puntos , 3 casos. $P(A)=\frac{3}{36}$
  • Evento B: sacar 11 puntos, 2 casos $P(B)=\frac{2}{36}$
  • Evento C: Sacar 12 puntos , 1 caso. $P(C)={1}{36}$

por lo tanto

$$P(total)=P(\text{10 ó 11 ó 12})=P(A)+P(B)+P(C)=\frac{3}{36}+\frac{2}{36}+\frac{1}{36}=\frac{6}{36}=\frac{1}{6}$$

Probabilidad compuesta de sucesos mutuamente independientes o estocasticamente independientes

La realización de un suceso no afecta directamente la realización del otro

Se extraen dos cartas de dos naipes diferentes ¿Cuál es la probabilidad de que sean corazones?

El obtener un Corazon de un naipe de 52 cartas es 13/52, pero este hecho es totalmente independiente  de que se obtenga un Corazon en la otra baraja, donde la probabilidad también es 13/52.

La probabilidad de que ambas cartas sean corazones es el producto de ambas probabilidades.

$$P({Corazón})=P(\text{Corazon en un Naipe})\cdot P(\text{Corazon en el otro Naipe})$$

$$P(AB)=P(A)\cdot P(B)=\frac{13}{52}\cdot\frac{13}{52}=\frac{1}{16}$$

DE alli el teorema

La probabilidad compuesta de sucesos casualmente independientes es el producto de las probabilidades de sus formas estocasticamente independientes

$$P(ABC)=P(A)\cdot P(B)\cdot P(C)$$

Aqui entra la conjunción copulativa “y”: la probabilidad de que salga un Corazon en una baraja “y” salga simultáneamente un Corazon en la otra baraja. En álgebra se traduce la “y copulativa” por el signo multiplicar. ($\cdot$) Se trata de la intersección de dos conjuntos.

Si en la aplicación de un problema , dos o mas acontecimientos se pueden separar por la conjunción copulativa “y” se aplica el principio de la probabilidad compuesta ( se multiplican las probabilidades)

En cambio, si los acontecimientos se pueden separar por la conjunción disyuntiva “o” se aplica el principio de la probabilidad total ( se suman las probabilidades)

Algunos ejercicios

  1. Si la probabilidad de que ocurra un suceso es p/m. ¿Cual es la probabilidad de que no ocurra?
  2. Se saca una carta al azar  de un paquete bien barajado de un naipe de 52 cartas. determinar la probabilidad de:
    1. obtener un corazón
    2. obtener una espada
    3. sacar un 10 de corazones
    4. sacar el 2 de trébol
    5. obtener una sota negra
    6. sacar una reina roja
    7. sacar una carta con cara ( sota, reina, rey)
    8. no sacar una carta con cara
  3. ¿Cuál es la probabilidad de obtener un número mayor que 4 al tirar un dado no cargado?
  4. Calcular la probabilidad de obtener un As por lo menos en una sola torada con dos dados
  5. Calcular la probabilidad de obtener mas de 15 puntos al lanzar 3 dados
  6. En una sola tirada con dos dados, calcular la probabilidad de obtener un 5
  7. DE una baraja de 52 cartas se sacan dos al azar; calcular la probabilidad de que una de ellas sea una sota y la otra una reina.
  8. En una votación para ua huelga en tres secciones de una fabrica los votos dados fueron los que se muestran en la siguiente tabla.
Secciones A favor de la huelga En contra de la huelga no dieron opinión Total
Mecánica 10 12 8 30
Armado 25 15 10 50
Administración 40 20 10 70
TOTAL 75 47 28 150

 

Determinar las probabilidad de que trabajador seleccionado al zar

  1. Halla votado a favor de la huelga
  2. No haya emitido opinión alguna
  3. este en la sección de mecánica y no este a favor de la huelga
  4. Este en la sección de  administración
  5. Este en la sección de administración y a favor de la huelga
  6. Este en la sección de  mecánica y no a favor de la huelga
  7. Este en la sección de armado y no emita opinión

9. En la siguiente tabla se indica el numero de ventas realizadas y el numero de días en los cuales estas ocurren

Número de ventas Diarias Dias
0 5
1 20
2 80
3 140
4 160
5 200
6 95

 

Determinar la probabilidad al evento venta

  1. dos ventas diarias
  2. tres a cuatro ventas diarias
  3. ninguna venta diaria
  4. Cinco o mas ventas diarias
  5. dos o menos ventas diarias

Tablas de mortalidad y tablas de supervivencia

Sean dos individuos nacidos todos al mismo tiempo, que consideraremos tiempo cero. ( En la práctica todos deberían haber nacido el mismo día); sigamos a este grupo de individuos, destinados por la ley natural a morir en su totalidad durante la duración de sus vidas. Al final de cada año se cuenta el numero de supervivientes.

Designaremos por $i_0$ el numero inicial de personas en el tiempo 0; $i_1$ será el número de supervivientes al final del primer año, y así.

$l_x$ representa el numero de supervivientes a la edad x

$l_{x+n}$ representa el numero de supervivientes a la edad x+n

$l_w$ es el último número de la sucesión , de modo que ninguno de los individuos del grupo considerado alcanza la edad $w+1$, o también que los $l_w$ sobrevivientes a las edad w mueren dentro del año.

en el anexo, en la pagina 4 se puede observar que $l_19=996239,3$, y en la pagina 6 $l_50=925173,1$

Igualmente, se puede formar una tabla con los fallecidos, contando al fina l de cada año, desde el momento cero, el número de muertos es un mismo año.

Se designa con $d_i$ el numero de fallecidos.

Así $d_0$ es le número de fallecidos al año inicial  0.  $d_1$ es el número de fallecidos el primer año, y $d_x$ es el número de fallecidos a la edad x

las relaciones que existen entre ambas tablas son:

$$d_0=l_0-l_1$$

$$d_1=l_1-l_2$$

$$d_{w-1}=l{w-1}-l{w}$$

$$d_w=l_w$$

y, además

$$i_o=d_0+d_1+\dots+d_w$$

$$l_1=l_0-d_0$$

$$l_1=l_0-d_0$$

$$l_w=l_{w-1}-d_{w-1}$$

La tabla de supervivencia y la tabla de mortalidad se reúnen generalmente en una tabla única, pero en la práctica se designa con uno o el otro nombre.

Es logico pensar que al construcción de una tabla  de mortalidad seria fácil si se pudiere seguir una generación  de individuos, nacidos el mismo día, desde el su origen hasta su extinción, registrando de año  en año los fallecimientos ocurridos y el numero de supervivientes. Pero eso implicaría esperar un siglo, poco mas , poco menos, para construir dicha tabla. De todos modos seria muy difícil de perder de vista a ninguno de los individuos del grupo mientras cambian de residencia, emigran  o mueren si registrarse.

Por esto, para la construcción de la tabla de mortalidad se necesita  seguir métodos e los cuales la investigación estadística considera un intervalo  de tiempo relativamente breve y lo mas próximo posible , puesto que es necesario tener presente que las leyes de mortalidad son variables también, respecto al tiempo.

Las tabla de mortalidad publicadas por las 20 compañías de seguros inglesas hace un siglo se establecieron para  personas que vivían  en ese tiempo. Pero han variado sus maneras de vivir, el avance de la ciencia medica ha prolongado la esperanza de vida, los accidentes mortales son diferentes, la amenaza de la contaminación., etc…

Igualmente es distinta una tabla de mortalidad en un país que en otro, en una empresa que en otra. Una tabla de mortalidad para seguros de vida de un grupo de constitución sana , reconocida como tal en un examen medico, que no ejerza profesiones que menoscaben su salud, que no habiten en lugares malsanos, que el resto de la población.

Hay varios métodos inventados por los actuarios ( son las personas versadas en cálculos matemáticos y en los conocimientos estadísticos , jurídicos y financieros concernientes a los seguros y a su régimen) se explicaran brevemente.

Halley propuso en 1663 una tabla de mortalidad para la población de Breslau. Para aplicar este método se necesita conocer el número de fallecidos para cada edad, en un cierto periodo de años, entre la población de una region y calcular la media de esos datos, o sea, dividir la suma del numero de fallecidos a una cierta edad en cada uno de esos años a que se refiere la observación por el numero los años mismos. Este método supone que no varia la ley de mortalidad, que la población estudiada no haya sufrido variaciones por emigraciones o inmigraciones, que le numero de nacimientos anuales haya permanecido constante, etc..

Dermey obtuvo otra tabla de los datos de un censo de la población, clasificando los censados por la edad en el número de vivientes en cada una de las edades y confeccionando una tabla de supervivientes. Esto supone que no se producido ni migración ni emigración, que le numero de los nacimientos anuales ha permanecido contante, etc.

El instituto de Actuarios de Londres compilo una tabla, basada en la observación extraída de la experiencia de las 20 principales compañías de seguros inglesas, experiencia relativa a l periodo entre 1843 y 1863, y  en relación con los seguros en caso de muerte. Esta tabla tomo el nombre de  HM ( Heathy Male lives: Hombres sanos), y es la que mas se ha utilizado en todo el mundo. Esta tabla de observación sirvió de base para la determinación de las tasas de mortalidad de los asegurados por las diferentes edades, comenzando con la de 10 años, pues las observaciones bajo esa edad fueron abandonadas por que se referían a un numero muy pequeño de personas.

Hay otras tablas como la British Offices Lifes Tables, publicadas en 1900, las tablas de 23 compañías alemanas, la tabla de aseguradores franceses, tablas de mortalidad de rentistas franceses, tabla de supervivencia de la población italiana, la tabla deCSO norteamericana, la perecuacion,  etc…

Debido a que las observaciones son puntuales , se produce el problema de cimas  y valles en la tabla de mortalidad, pues hay una gran divergencia entre los valores de las tasas de dos edades sucesivas, divergencia no aducible  dado el comportamiento de la tasa de edad  inmediatamente precedente o siguiente. La corrección de estas tablas se conoce como perecuacion o ajuste.

Esto puede realizarse por tres métodos: Gráfico, mecánico o analitico. El método grafico consiste basicamente en sustituir por una curva  lo mas regular que sea posible a la linea poligonal resultante de registrar gráficamente las observaciones mismas. La perecuacion mecánica consiste en sumar grupos de valores de la función reiteradas veces en determinada secuencia y obtener de esas sumas un valor medio que se como valor ajustado del valor central. La perecuacion analítica consiste en admitir la existencia de una función analítica que expresa la ley de eliminación por muerte de un grupo de individuos y que da el numero de sobrevivientes del grupo a las diferentes edades. Solo se menciona la de Gompetz y la de Makeham.

Para Benjamin Gompertz, la fuerza de mortalidad que se opone a la energía vital de cada individuo varia con la edad y precisamente aumenta por cada tiempo infinitamente pequeño en una constante del propio valor. Así llegó a la función Gompertz.

$$l_x=k\cdot g^{c^x}$$

Makeham modifico la función anterior añadiendo otra hipótesis. A saber, el puso como fundamento de su estudio que la causa de la muerte se compone de dos elementos. Uno que varia con la edad  ( hipótesis de Gompertz), y otro que es constante y representa la parte del azar, que es independiente de la edad y por la cual la muerte ocurre tanto en la juventud como en la vejez. Siguiendo estas premisas fisiológicas Makeham llego a la función.

$$l_x=k\cdot s^x\cdot g^{c^x}$$

Para determinar las constantes k, s, q y c es necesario obtener 4 ecuaciones con 4 incógnitas.

Ejercicios 

1.- En el anexo figura la tabla de supervivencia M-70KW de chile, que se usa para los seguros de vida. Encuentre en ella

a)Los individuos que iniciaron la serie, o sea $l_0$¿Cuánto es?

b)lLos sobrevivientes a los 20 años, o sea $l_{20}$

c) Los sobrevivientes a la edad 106 años , o sea $l_{106}$

2.- En el mismo anexo calcule los fallecidos

a) En el año 0, o sea $d_0$

b) A la edad de 20 años , o sea $d_{20}$

c) A la edad de 106 años , o sea $d_{106}$

3.-En el mismo anexo  aparece la tabla de supervivencia R-81 que se aplica en chile a las rentas vitalicias y jubilaciones. en ella busque.

a) El numero inicial de persona, o sea $l_0$

b) Los sobrevivientes a los 40 años

c) Los sobrevivientes a los 106 años.

4.- En le anexo R-81 calcule el numero de fallecidos

a) En el  año inicial

b) A la dad de 40 años

c) A la edad de 110 años

5.- Ambas tablas de refieren a hombres. Para el caso de las mujeres determine en el anexo

a) El número de supervivientes mujeres a los 45 años

b) El número de supervivientes mujeres a los 15 años

c) El número de sobrevivientes mujeres a los 25 años

( en proceso)

Funciones Biometricas

Son aquellas que se refieren a las mediciones de la vida humana: en particular son funciones biométricas las que dan la probabilidad de vida y/o muerte, la esperanza de vida, etc..

Tasas de supervivencia

Sea $p_x$ la probabilidad de que una persona de edad exacta x sobreviva a la edad $x+1$. En el grupo$l_x$, los que sobreviven a la edad $x$, los $l{x+1}$  sobreviven a la edad $x+1$  y el valor de esta probabilidad esta dada por

$$p_x=\frac{l{x+1}}{l_x}$$

Se puede generalizar este concepto a nPx que es la probabilidad de sobrevivir “n” años a una persona de edad exacta x, o sea, que llegue a la edad “x+n” se daría por

$$_nP_x=\frac{l{x+n}}{l_x}$$

de donde se puede expresar de la forma

$$_nP_x=\frac {\frac{l_{x+n}}{l_o}}{\frac{l_x}{l_o}}=\frac{l_{x+n}}{l_o} : \frac{l_x}{l_o} $$

Como probabilidad de supervivencia , a una probabilidad compuesta  que resulta como el producto de las n probabilidades que tiene una persona de edad x de vivir un año, de que habiendo vivido ese año viva el siguiente, y así sucesivamente se pude expresar por

$$_nP_x=\sum_{i=0}^{n-1} p_{x+i} $$

La probabilidad de vivir “n” años es un hecho preciso. Se vive o no se vive. En cambio si se trata de la muerte esta puede ocurrir dentro de los “n” años después de ellos.

Tasas de mortalidad

$q_x$ es la probabilidad de mortalidad a la edad x, o sea, la probabilidad que un individuo de “x” años muera antes de alcanzar la edad “x+a”. Esto se puede estimar mediante la formula:

$$q_x=frac{i_x- -l_{x+1}}{l_x}$$

o, lo que es equivalente

$$q_x=\frac{d_x}{l_x}$$

$_nq_x$ es la probabilidad de que una persona de edad exacta “x” muera antes de alcanzar la edad “x+n”, y esta dada por el cociente entre el numero de muertes ocurridas entre la edad “x” y “x+n”. y el numero de supervivientes de edad “x”

$$_nq_x=\frac{l_x-l_{x+n}}{l_x}$$

Se habla de “probabilidad diferida” a la probabilidad que resulta cuando la muerte ocurre despues de “n” años, y se anota por $_{n/}q_x$.

La probabilidad de que una persona de edad exacta “x” sobreviva n años es $_np_x$ y la probabilidad de que habiendo alcanzado la edad $x+n$ muera antes de llegar a la edad $x+n+1$ es $q_{x+n}$. El producto de estas dos probabilidades, que llamaremos probabilidad compuesta, proporciona el valor de $_{n}\big |q_x$.

entonces

$$_n\big | q_x=_np_x\cdot q_{n+x}$$

o, lo que es equivalente

$$_n\big | q_x=\frac{l_{x+n}}{l_x} \cdot \frac{d_{x+n}}{l_{x+n}}$$

también anotado por

$$_n\big | q_x=\frac{d_{x+n}}{l_x}$$

Llamase probabilidad temporal o temporaria a la probabilidad de morir dentro de los “n” años, Es la probabilidad de de que una persona de edad exacta “x” muera dentro de los “n” años siguientes , y se representa  por $_{n-1}q_x$, que corresponde  al cociente entre el numero de muertes ocurridas entre las edades “x+n-1” y “x+n” y el grupo de sobrevivientes  $l_x$.

$$_{n-1}\big |q_x=\frac{d_{x+n-1}}{l_x}=\frac{l{x+n-1}-l_{x+n}}{l_x}=_{n-1}p_x-_np_x$$

¿Quieren aprender?

 

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