Interes Simple

  Financiera

introducción

En el mundo de los negocios tiene especial importancia el financiamiento  de una empresa, o sea, la captación de ahorros, la inversión propiamente tal , el proceso productivo y la comercialización de los bienes y servicios

A estos fenómenos del financiamiento de las empresas se les acostumbra agruparlos bajo el nombre genérico  de operaciones financieras , que constituyen  el objeto de las matemáticas financieras

Las colocaciones a corto plazo ( menos de un año) tienen como finalidad el desempeño de funciones de capitales circulares que se singularizan por que su producción se efectúan en pequeños lapsos, facilitando le devolución o pago de las sumas prestadas de inmediato. Es la parte que corresponde  al interés simple.

La colocaciones a largo plazo ( mas de un año), se destinan a la obtención de bienes  durables, cuyo valor se reproduce lentamente , lo que supone una forma  periódica de pago. Es la parte del interés compuesto.

La compleja actividad financiera de la vida económica moderna requeire de ciertas organizaciones que se especializan en la ejecucion de determinadas operaciones que hacen expedito o agil el mecanismo economico, tales como bancos y otras instituciones finacieras

Conceptos básicos

los bienes económicos son aquellos medios materiales y servicios escasos, que sirven directa o indirectamente a fines humanos. Estos bienes económicos pueden considerarse en relación a  un instante dado,  o a lo largo del tiempo, sea esta estática o dinámicamente. En el primer caso se tiene el Capital; en el segundo ,un flujo de servicios, o sea una renta o rendimiento.

La renta o rendimiento resulta , en consecuencia, del movimiento del capital a lo largo del tiempo, movimiento que solo se puede hacer a través del un proceso productivo. La renta se expresara , por consiguiente, mediante dos cantidades: Tantos pesos por unidad de tiempo. 

El capital seria un conjunto de bienes económicos considerados en una fecha determinada. Para algunos economistas, el capital es la riqueza producida que se aplica a ulteriores producciones más bien que al consumo inmediato.

Como los bienes económicos son muy heterogéneos y sus medias muy diversas en las matemáticas financieras se una como unidad de medida la moneda. De ahí en adelante  se hablara de Capital o Renta monetarios.

Para capital se usara el símbolo $C$.

En el presente texto se va a circunscribir  solamente solamente a lo referente al interés simple, para dejar para otra publicación lo relativo al interés compuesto. pretendo, ademas, presentar un formulario de rápido uso y comprensión asociado a la materia , sin profundizar en el por que los distintos pasos  ni tampoco en la demostración matemática de las formulas  dejando  esas materias a los libros especializados.

Interes.

Un capital sometido a una actividad productiva a lo largo del tiempo genera una renta. Cuando el poseedor de un capital  lo cede a otro para que este obtenga  una renta, este , por no ser el propietario del capital , deberá entregar  al propietario una parte de dicha renta  la cual recibe el nombre de interés. El Cedente del capital se conoce con el nombre de Prestamista y el Cesionario como Prestatario. La diferencia entre la renta y el interés se llama beneficio del empresario

De esto se desprende que la renta se debe considerar como formada por dos partes. El beneficio del empresario y el interés del capital. Esto sucede, aunque sea la misma persona que trabaja el capital.

Hay que distinguir entre la tasa de interés, o tanto por uno, o tanto por ciento y el interés o cantidad de dinero obtenido. De ahí:

$$I=C\cdot i$$

La tasa “i” es generalmente Anual, pero si es de otro periodo expresamente se debe indicarlo como semestral, mensual, quincenal, diario, etc.

En el lenguaje corriente se habla de tanto por ciento. Así se dice tres por ciento y se escribe 3%. Pero esto solo en le lenguaje corriente, ya que en los cálculo de prefiere trabajar en tanto por uno. Si se habla del 3% se procede así

$$3\%=\frac{3}{100}=0,03$$

y, en general

$$a\%=\frac{a}{100}=0,0a$$

Como simbologia se entendera “i” como a tasa del tanto por uno en un periodo determinado

I” será el valor de los intereses obtenidos en el periodo considerado. O sea, de un año, de cinco años, de cuatro meses, etc..

MONTO

El monto es el pacaital mas le interes obtenido en cierto periodo . Este proceso de transformación se denomina Capitalización y se obtiene asi

$$M=C+I$$

El monto es igual al capital mas los intereses obtenidos de el . Si una persona ha colocado un capital de $\$10000$ y ha obtenido un interés de $\$800$ en cierto periodo su monto será de $\$10800$.

Capitalización simple

En este sistema los intereses no se capitalizan durante el numero de periodos, si no al final de estos. Es como si una persona depositara su capital a cierta tasa de interés y al final retirara sus intereses y los guardara separadamente , y después de varias operaciones juntara el capital más los intereses obtenidos.

$$I=i\cdot C\cdot n$$

Si una persona coloca $\$5000$ al 2% mensual , y retira mensualmente los $\$100$ del interes, dejando de nuevo el capital a la misma tasa, despues de 3 meses  ha obtenido $\$300$ de interes y mantiene su capital de $\$5000$. Su onto final sera de $\$5300$.

de aqui se pueden obtener tres formulas de interes simple

$$M=C+I$$

$$m(n)=C+i\cdot C\cdot n$$

$$M(n)=C(1+n\cdot i)$$

en que $m(n) es el monto acumulado en “n” periodos “i” es la tasa de interes, en tanto que $1+i\cdot n$se conoce con el nombre de binomio de interés simple.

Problemas

Los siguientes problemas se pueden resolver aprovechando las formulas dadas anteriormente


1.- Un capital de $\$8000$ se ha colocado a una tasa de interes simple del 3% mensual. ¿cuantos son los intereses obtenidos al cabo de 6 meses?

Datos

$$C=\$8000$$ $$i=0,03% \text{ mensual}$$ $$n=6\text{meses}$$ $$I=?$$

 

Sustitución

$$I=C\cdot i\cdot n$$

$$I=8000\cdot 0,03\cdot 6$$

$$I=1440$$


2.-       Se ha obtenido un interés de $\$960$, por un capital colocado al 3% mensual durante 8 meses ¿Cuánto fue el capital Inicial?

Datos

$$I=\$960$$ $$i=0,03% \text{ mensual}$$ $$n=8 \text{ meses}$$ $$C=?$$

 

Sustitución

$$I=C\cdot i\cdot n$$

$$960=C\cdot 0,03\cdot 8$$

$$960=0,24\cdot C$$

$$C=\frac{960}{0,24}$$

$$C=\$4000$$


3.- Se ha obtenido un interés de $800 con un capital de $2000 durante 6 meses. ¿A que tasa de interés estaba el capital?

$$I=\$800$$ $$C=\$2000$$ $$n=5 \text{ meses}$$ $$i=?$$

 

Sustitución

$$I=C\cdot i\cdot n$$

$$800=2.000\cdot 0,03\cdot 5$$

$$800=10.000\cdot i$$

$$i=\frac{800}{10.000}$$

$$i=0,08$$, o sea, 8% mensual


4.- Un capital de $3000 ha producido $600 al 4% en cierto numero de periodos. ¿Cuántos son estos periodos?

$$C=\$3000$$ $$I=\$600$$ $$i=0,04$$ $$n=?$$

 

Sustitución

$$I=C\cdot i\cdot n$$

$$600=3.000\cdot 0,04\cdot n$$

$$600=120\cdot n$$

$$n=\frac{600}{120}=5 \text{ Periodos}$$


5.-   Un capital de $10.000 ha producido $550. ¿Cuál es el monto formado?

$$C=\$10.000$$ $$I=\$550$$ $$M=?$$

 

Sustitución

$$M=C+I$$

$$M=10000+550$$

$$M=\$10.550$$


6.- ¿Cual es el capital que obtuvo $700 de Interés y se convirtió en $15.000?

$$I=\$700$$ $$M=\$15.000$$ $$C=?$$

 

Sustitución

$$M=C+I$$

$$15.000=C+700$$

$$C=\$14.300$$


7.-  Un capital de $5000 se ha colocado a una tasa de interes del 3% durante 10 periodos. ¿Cual es el monto obtenido?

$$C=\$5.000$$ $$i=0,03$$ $$n=10$$ $$M(n)=?$$

 

Sustitución

$$M(10)=5.000(1+0,03\cdot 10$$

$$M(10)=5.000(1,30)=\$6.500$$


8.-  Un capital se ha colocado al 5% de un interés simple durante 4 periodos, y se ha obtenido un monto de $24.000. ¿Cuál fue el capital inicial?

$$i=0,05$$ $$n=4 \text{ periodos}$$ $$M(4)=\$24.000$$ $$C=?$$

 

Sustitución

$$24.000=C(1+0,05\cdot 4)$$

$$24.000=C(1,20)$$

$$C=\frac{24.000}{1.20}\$20.000$$


9.-  Un capital  de $25.000 se ha convertido en $27.000 al cabo de 5 meses. ¿A qué interés estaba impuesto?

$$C=\$25.000$$ $$M(5)=\$27.500$$ $$n=5 \text{ meses}$$ $$i=?$$

 

Sustitución

$$27.500=25.000(1+5\cdot i)$$

$$\frac{27.500}{25.000}=1+5i$$

$$1,1-1=5\cdot i$$

$$i=\frac{0,1}{5}=0,02 \text{ mensual o } 2% \text{ Mensual}$$


10.-  Un capital de $15.000 se ha convertido en $18.000 al 4% ¿Cuánto tiempo estuvo a esa tasa de interés?

$$C=\$15.000$$ $$M(n)=\$18.000$$ $$i=0,04\text{ mensual}$$

 

Sustitución

$$18.000=15.000(1+0,04\cdot n)$$

$$n= 5 \text{ meses}$$


11.- Un capital de \$12.000 ha devengado un interes del \$4.800 en 10 meses a una cierta tasa mensual.

a) ¿Cuál es monto al cabo de los 10 meses si se trata de interés simple ?

b) ¿A qué tasa de interes estuvo impuesto el capital ?

Datos

$$C=\$12.000$$ $$I=\$4.800$$ $$n=10\text{ meses}$$

 

a.- $M(10)$

$$M=C+I \Rightarrow M(19)=12.000+4.800=\$16.800$$

b.- $i=?$

$$I=C\cdot n\cdot i  \Rightarrow 4800=12.000\cdot 10 \cdot  i  \Rightarrow i=\frac{4800}{120.000}=0,04= 4% \text{ Mensual}$$

(en proceso)

 

 

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