Razones y proporciones

  Aritmetica

Llamaremos razón a toda relación de comparación entre dos cantidades distintas de cero. Por ejemplo si en un grupo hay 12 varones y 8 damas, las razones a encontrar pueden ser

$$\frac{\text{N° de Varones}}{\text{N° de Varones}}, \frac{\text{N° de Varones}}{\text{Total de personas}}, \frac{\text{Total de personas}}{\text{N° de Damas}}$$

Usaremos la notación $\frac{a}{b}$  o bien a : b la cual se leerá como “a” es a “b”.

A la parte inicial “ a” le llamaremos Antecedente y a la segunda, “ b”, Consecuente.

El cociente entre ambas partes se conoce como el valor de la razón.

Luego

$$\frac{\text{Antecedente} }{\text{Consecuente}}= \text{valor de la razón}$$

Proporciones

Llamaremos proporción a toda igualdad entre dos razones. Se anotara de la forma $a:b=c:d$ ó $\frac{a}{b}=\frac{c}{d}$, y se leerá de la forma ” a es a b como c es a d

Llamaremos media proporcional geométrica a un término tal que sea el consecuente de la primera razón y el antecedente de la segunda.
Ejemplo

La media proporcional entre 4 y 100

$$\frac{4}{x}=\frac{x}{100}$$

Desarrollo

$$4\cdot100=x^2$$

$$x=\sqrt{400}=\pm20$$

ejercicio

Calcular la media proporcional geométrica entre:

a)121y25 R:55.           b)72y 32 R:48

Las proporciones se dirán directas si en la situación de que una de ellas aumenta, la otra también lo hace. En este caso particular la técnica de trabajo será operar multiplicando cruzado.

Por ejemplo
Si en 2 horas camino 10 kilómetros ¿Cuántos puedo caminar en 6 horas?

Al plantear la situación se llega a la siguiente estructura, esto es  decir que la situación se puede expresar de la forma

$$2x=6\cdot10\\x=\frac{60}{2}\\x=30$$

 

 

2. Encontrar el término desconocido en las proporciones :R: t=10; x=0,03; y=66,6; z= 8/3Nota: Al graficar los elementos de una proporción directa siempre tendremos una curva derechita que pasa por el origen. La pendiente de dicha recta siempre corresponderá al valor de la razón.

Las proporciones se dirán inversas si al aumentar una de ellas la otra disminuye. Tal es el caso entre la velocidad y el tiempo que demora en recorrer una distancia, El número de trabajadores y la cantidad de trabajo para cada uno de ellos, el número de personas ganadoras Kino y el monto que recibirá cada uno. En estos casos una cantidad permanece constante, correspondientemente la distancia, la cantidad de trabajo y el monto del premio.

El como enfrentar este tipo de situaciones se ilustrara con un ejemplo

Supongamos que una persona viaja en su auto a 60 km/h, demorándose 2 horas en llegar a su trabajo. ¿Cuánto se demoraría si viajara a 80 km/h?

La estrategia es escribir adecuadamente las partes de tal que se evidencien las características del proceso. No es difícil coincidir en el criterio de que si aumenta su rapidez disminuirá el tiempo del viaje, por ende la distancia recorrida es contante, en consecuencia el producto entre antecedente y consecuente de la prima razón es equivalente al producto en la segunda, lo cual permite plantear la igualdad que se ve a la izquierda

$$80x=60\cdot4\\x=\frac{240}{80}\\x=3[Horas]$$

Analice la idea.

Si camina MÁS horas, recorre MÁS distancia. Por ende ambas partes aumentan.

Esa es la técnica para identificar el proceso a usar

Ejercicios

1. Indicar si las siguientes expresiones corresponden a una proporción:

$$\frac{8}{16}=\frac{4}{8}$$ $$\frac{1,2}{4}=\frac{3,6}{12}$$ $$\frac{4}{2/3}=\frac{3/2}{1/4}$$ $$\frac{3}{7}=\frac{0,5}{1,2}$$
$$\frac{t}{6}=\frac{5}{3}$$ $$\frac{0,5}{x}=\frac{5}{0,3}$$ $$\frac{3}{0,18}=\frac{y}{4}$$ $$\frac{1/4}{6}=\frac{1/9}{z}$$
En el caso de que verifiquemos que al crecer una cantidad la otra disminuye nos encontraremos frente  a una proporción inversa.
Por ejemplo 

La gráfica de los elementos de una proporción inversa siempre corresponderá a una hipérbola tal que sus asíntotas son los ejes ordenados.

Por ejemplo, para el problema planteado, podemos graficar la relación entre la rapidez y el tiempo, siendo este ultimo el que podemos controlar.

Anotando en el eje vertical la variable de tiempo y en el eje vertical la rapidez se puede leer perfectamente la relación entre ambas variables. A mayor rapidez, menor tiempo, y a mayor tiempo menor rapidez.

Composición y descomposición en proporciones

Si conocemos una razón entre dos elementos, podemos combinar sus partes para relacionarlas en torno a situaciones específicas, para así simplificarnos el proceso de resolución de algún problema.

Por ejemplo Si

$$\frac{a}{b}=\frac{c}{d}\Rightarrow \frac{a+b}{b}=\frac{c+d}{d}$$, y del mismo modo $$\frac{a}{b}=\frac{c}{d}\Rightarrow \frac{a}{a+b}=\frac{c}{c+d}$$

A este proceso se le conoce como composición de términos Y por otra parte

$$\frac{a}{b}=\frac{c}{d}\Rightarrow \frac{a-b}{b}=\frac{c-d}{d}$$, y del mismo modo $$\frac{a}{b}=\frac{c}{d}\Rightarrow \frac{a}{a-b}=\frac{c}{c-d}$$

¿La ventaja?

Podemos componer y descomponer alternativamente sin que por ello se pierda la proporcionalidad. De hecho

$$\text{Si } \frac{a}{b}=\frac{c}{d} \frac{e}{f}=\frac{g}{h}=valor$$

entonces

$$\frac{\alpha a+\beta c- \lambda e +\delta g}{\alpha b+\beta d- \lambda f +\delta h}=\text{el mismo valor}$$

,si y solo si los valores de $\alpha, \beta,  \lambda \text{ y } \delta$ sean distintos de cero.

Aplicaciones generales en distribución de elementos

Supongamos que se desea repartir una cierta cantidad, ($\$175$), entre dos personas de tal que por cada $\$3$ que le demos a una de ellas, a la otra le entreguemos $\$4$.

Claramente se trata de una proporción directa, pues ambas cantidades aumentan ¿Cómo plantearlo?

Use la siguiente estrategia

Considere como “a” la cantidad de la primera persona y “b” la cantidad de la segunda, entonces la suma de “a” y “b” corresponderá a la cantidad total

De aquí es evidente que la razón entre las cantidades es 25, es decir, repartirá 25 veces las cantidades indicadas, por ende la primera persona recibe $\$25⋅3=\$75$, y la segunda $\$25⋅4=\$100$

$$\frac{a}{3}=\frac{b}{4}=\frac{a+b}{3+4}=\frac{175}{7}=25$$

Plantear y resolver los siguientes problemas:

a) Dos amigos se reparten $ 75.000 en la razón 2:3 . ¿Cuánto recibe cada uno?

$$\frac{a}{2}=\frac{b}{3}=\frac{a+b}{2+3}=\frac{75.000}{5}=15.000$$

Luego cada uno recibe en directa proporción:

$2 ⋅ \$15000 = \$30.000$   y  $3⋅\$15000 = \$45.000$

b) En una ciudad la razón entre el número de autos y el número de camionetas es 4:3. Si hay 204.000 autos ¿Cuántas son las camionetas?

$$\frac{\text{Autos}}{204.000}=\frac{\text{Camionetas}}{x}\rightarrow\frac{4}{204.000}=\frac{3}{x}=153.000$$

Esto es, Hay un total de 153.000 Camionetas

c) Tres personas han efectuado un trabajo por el cual han cobrado $ 840.000. Si la primera ha trabajado 8 días, la segunda 10 días y la tercera 12 días, ¿Cuánto cobra cada una ?

$$\frac{a}{8}=\frac{b}{10}=\frac{c}{12}=\frac{a+b+c}{8+10+12}=\frac{840.000}{30}=28.000$$

d). Un determinado automóvil consume 8 galones de gasolina para recorrer 150 millas. Con el mismo consumo de gasolina, determinar cuánto combustible se necesita para recorrer una distancia de 400 millas.

\begin{array}{c|c|r|c|c} \text{galones} & \text{millas}  \\ 8 & 150\\ x & 400 \\  \end{array} $$x=\frac{8\cdot 400}{150} $$

e)  Para embaldosar un piso de 15 m2 de superficie, se utilizaron 300 baldosas. ¿Cuántas baldosas de igual tamaño se necesitarán para cubrir un piso de 8 m de largo por 3 m de ancho?

\begin{array}{c|c|r|c|c} m^2 & \text{Baldosas}  \\ 15 & 300\\ 24 & x \\  \end{array} $$x=\frac{24\cdot 300}{15} $$

f)  Un buque hace una travesía en 7 horas 10 minutos, con una velocidad de 20 nudos. ¿Cuántas horas empleará a la velocidad de 28,66 nudos?

\begin{array}{c|c|r|c|c} \text{Tiempo} & \text{Velocidad}  \\ 430 & 20\\ x & 28,\overline{6} \\  \end{array} $$x=\frac{430\cdot 20}{28,\overline{6}} =300 [min]=5 [Horas]$$

g)  Hay diapositivas que miden 3,5 cm de largo por 2,45 cm de ancho. Si una proyectora da una imagen de 90 cm de largo. ¿Qué ancho tiene la imagen ?R: 63 cm.

\begin{array}{c|c|r|c|c} \text{Largo} & \text{ancho}  \\ 3,5 & 2,45\\ 90 & x \\  \end{array} $$x=\frac{90\cdot 2,45}{3,5}$$

h)  Un automóvil recorre 225 km en 3 horas. ¿Cuántos kilómetros recorrerá en 10 horas con la misma velocidad?

\begin{array}{c|c|r|c|c} \text{Distancia} & \text{Tiempo}  \\ 225 & 3\\ x & 10 \\  \end{array} $$x=\frac{225\cdot 10}{3}$$

i) Para imprimir 3 páginas de 55 líneas una impresora emplea 60 segundos. ¿Cuántas páginas de 40 líneas entregará en 80 segundos?

\begin{array}{c|c|r|c|c} \text{Páginas} & \text{Tiempo} &\text{Lineas} \\ 3&60&55\\ x&80&40 \\  \end{array} $$x=\frac{3\cdot 80\cdot 55}{60\cdot 40}$$

j) Una provisión de alimento alcanza 15 días para 1000 personas. ¿Cuánto durará la provisión para 1200 personas?

\begin{array}{c|c|r|c|c} \text{Dias} & \text{Personas}  \\ 15 & 1000\\ x & 1200 \\  \end{array} $$x=\frac{15\cdot 1200}{1000}$$

Cuando relacionamos varias situaciones la estrategia adecuada está en ordenar las ideas de talque se puedan comparar por pares.

Por ejemplo

Si 3 obreros pueden pintar 200 $m^2$ en 4 días trabajando una jornada de 6 horas. ¿Cuánto demorarían 8 obreros en pintar 300 $m^2$ en jornadas de 5 horas? ¿Cuantos metros cuadrados pintarían 8 obreros en 20 días en jornadas de 4 horas?

Desarrollemos
Analicemos el caso en forma simple. Más obreros implican más metros cuadrados. Más metros cuadrados implican más días;  Más días implica menos horas, por día de trabajo.

Luego la solución al problema esta dada por

$$8\cdot 200 \cdot x\cdot 5=3\cdot 300 \cdot 4 \cdot 6 \\ \\x=\frac{3\cdot 300 \cdot 4 \cdot 6}{8\cdot 200 \cdot 5}=2,7 \text{ Dias}$$

es decir, 3 dias.

Desarrolle la segunda pregunta y decida adecuadamente.

Para la segunda pregunta puedes usar la misma estructura, o simplemente cambiar adecuadamente según la forma en que tú lo entiendas.
La solución es 1777 metros.

Ejercicios

a) 12 operarios confeccionan 192 artículos en 20 días de 8 horas de trabajo. ¿Cuántas horas deben trabajar diariamente 18 operarios para confeccionar 270 artículos en 25 días?  R: 6 horas

b) Una familia de 4 personas consume 12 litros de leche en 5 días. La familia recibe invitados y el consumo aumenta a 18 litros en 2 días. ¿Cuántas personas recibió la familia si el consumo por persona se mantiene? R: 11 personas.

Ahora a ejercitar

Proporcionalidad Directa.

1) Si 5 m de género valen $\$8500$, ¿Cuánto valen 8 m? R: valen $\$13600$

2) Veinte alumnos hicieron una excursión y consumieron 15 botellas de jugo. ¿Cuántas botellas de jugo se habrían consumido, si hubieran ido los 50 alumnos del curso? R: 38 botellas

3) A cierta hora de un día asoleado, una persona, de 1,75 m de altura, proyecta una sombra de 1,25 m de longitud. Calcula la altura de un árbol del lugar que, en el mismo momento, tiene una sombra de 12 m de largo. R: 16,8 metros

4) Una piscina con un largo de 12cm y un ancho de 4cm., dibujada en un plano. Si en la realidad el largo es 36m, ¿cuál es el ancho? R: 12 metros

5)¿Existe proporcionalidad entre las áreas de dos cuadrados y sus lados? Justifica tu respuesta.

6) Un automóvil puede recorrer 93 km con 12 litros de gasolina. ¿Qué distancia podrá recorrer con 20 litros? R:155 kilometros

7) Un buey atado a un árbol con una cuerda de 5 m, tarda 8 días en consumir la hierba que tiene a su alcance. Si se alarga la cuerda 2 m, ¿para cuántos días tendrá comida? (sugerencia: las áreas de dos círculos son proporcionales a los cuadrados de sus radios)R:15 dias

8) Dos automóviles permanecieron, durante un mismo tiempo, en movimiento. Si el primero recorrió 240 km y la razón de sus velocidades es de 3 : 4, ¿cuántos km recorrió el segundo? R:320 kilometros.

9) Para azulejar una pared de 15 m2 de superficie, fueron necesarios 300 azulejos. ¿Cuántos azulejos, de igual tamaño, se necesitan para cubrir una pared rectangular de 8 m de largo por 3 m de ancho? R:480 azulejos

10) Una hoja de aluminio de 250 cm2 de superficie masa 400 g. ¿Cuánto masará, una hoja cuadrada, de 10 cm de lado, del mismo material? R:160 g

11) EI agua de mar contiene 2,5 g de sal por cada 100 g de agua. ¿Cuántos gramos de sal hay en 5 kg de agua de mar? R:125 g

12) Una avenida de 600 m de longitud está siendo asfaltada. Si en 6 días fueron asfaltados 180 m, ¿en cuántos días el trabajo será terminado, suponiendo que el trabajo continúa al mismo ritmo? R:14 dias

13) Un comerciante invierte, en un negocio, un capital de$\$ 18.000$ y obtiene, en cierto tiempo, una utilidad de $\$ 5.000$. ¿Cuánto debería haber invertido en este negocio para obtener, durante el mismo tiempo, una utilidad de $\$ 6.000$? R:21600

14) Los marinos miden la velocidad de los barcos en nudos. Un nudo equivale a 1,852 km/h (1.852 metros equivalen a una milla marina, que no hay que confundir con la milla terrestre).
Calcular

  • La velocidad en kilómetros de un barco que va a 32 nudos. R:59,264 km/h
  • La velocidad en nudos de un barco que va a 60 km/h. R: 32,39 nudos
  • ¿Qué va más rápido, un barco a 30 nudos o a 55 km/h? R: el barco a 30 nudos

15) En 12 barriles se pueden guardar 660 litros de bencina. ¿Cuántos barriles se necesitan para guardar 4.290 litros? R:78 Barriles

16) Un segmento AB mide 33 cm. Se quiere dividir en dos segmentos que están en la razón 5 : 6. ¿Cuánto mide cada segmento? R:15 y 18 cm

17) El peso total de 3 personas es 120 kilos en la razón de 4 : 3 : 1. ¿Cuál es el peso de cada persona? R:60, 45 y 15 kilos

18) Rosa pesa 48 kilos y José pesa 52 kilos. Dividir una barra de chocolate de 200 gramos en la misma razón que sus pesos. R:96 y 104 gramos

19) Un automóvil gasta 40 litros de bencina para recorrer 510 kilómetros. ¿Cuántos litros gastará al recorrer 96 kilómetros? R:7,53 litros

20) Un jardinero ocupa 2 kilos de fertilizante para un jardín de 125 m2. ¿Cuántos kilos necesita para un jardín de 300 m2? R:4,8 kilos

21) Cristóbal corta un cordel de 72 metros en 4 partes que están en la razón 1 : 2 : 3 : 2. Calcular la medida de cada segmento. R: 9, 18, 27 y 18 metros

22) Un transportista traslada 90 toneladas de ripio en 5 viajes. Si debe transportar 144 toneladas, ¿cuántos viajes debe realizar? R:8 viajes

23) En una fiesta, la cantidad de bebidas gaseosas con que se cuenta se puede repartir totalmente en 50 vasos de 0,3 litros.

  • ¿Cuántos vasos de 0,2 litros se podrían ocupar? R:75 vasos
  • ¿Cuántos vasos de 0,1 litros se podrían ocupar? R: 150 vasos
  • Si la bebida viene envasada en botellas 1,5 litros, ¿cuántas botellas hay? R:10 botellas

24) Una rueda de un auto da 4.590 vueltas en 9 minutos. ¿Cuántas vueltas dará en 24 horas y 24 minutos? R: 746640 vueltas

25) Un termo consume 900 litros de gas en 5 horas y media. Otro termo consume 100 litros de gas en 3 horas y media. ¿Cuál de los dos termos gasta más por hora? R: el primero a razón de 163,63 litros/hora

26) Cada página de un libro tiene 32 líneas. El libro tiene 70 páginas. ¿Cuántas páginas ocuparía el mismo libro si en cada página se colocaran 35 líneas? R:64 paginas

27) En un grupo de personas, por cada 3 mujeres hay 5 hombres. Si el número total de mujeres es 120, ¿cuántos hombres hay? R:200 varones

28) En un mapa, 14 cm representan 238 km de una carretera. ¿Por qué longitud viene dada la de otra carretera que mide 306 km? R:18 cm.

29) Se sabe que las alturas y las sombras de los árboles son proporcionales. La sombra del árbol grande es 40 m. La sombra del árbol pequeño es 2 m, y su altura es 1,5 m. Halla la altura del árbol grande. R:30 metros

30) Dos figuras semejantes tienen sus lados directamente proporcionales y sus ángulos iguales. Si dos hexágonos tienen sus lados en la razón 1 : 3, ¿cuál es la razón de sus perímetros? R: 1/3

31) La mamá de Sofía hizo un queque para 6 personas y ocupó 4 huevos. ¿Cuántos huevos ocuparía en hacer un queque para 9 personas? R: 6 huevos

32) Para que ardan 12gr de carbón se necesitan 22,4 litros de oxígeno.¿Cuántos litros de oxígeno se necesitan en la combustión de 42gr de carbón? R:78,4 litros

33) En 10 vueltas una tuerca avanza 12mm ¿Cuántas vueltas habrá que darle para que avance 70cm? R:600 vueltas

34) Me llenaron con miel una botella de 0,9 litros y pagué $\$2.100$. ¿Cuánto pagaría por 8 litros de miel? R: $\$18.667$.-

35) En el envase de una leche descremada en polvo dice que cada 100gr de leche contienen 51,8gr de lactosa. ¿Cuántos gramos de lactosa consume al mes una persona que toma 2 tarros de esa leche de 350gr cada una? R:1352 gramos de lactosa

36) El curso de Alejandra. Que tiene 35 niños, está planificando una visita a la casa de Pablo Neruda en Isla Negra. Tendrán que arrendar un bus cuyo precio es de $\$42000$. No hay seguridad de que irá el curso completo. ¿Cuánto deberá pagar cada niño si el paseo asisten solamente 34, 33, 32 31 niños? R: $\$1234, \$1273, \$1313 \text{ y } \$1355.-$

37) En un establo hay suficientes fardos de pasto para que 4 caballos se alimenten 20 días, consumiendo la misma ración cada día. ¿Cuántos días alcanzarán los fardos si hay 1, 2, 5, 8 o 10 caballos en el establo? R: 80, 40, 16, 10 y 8 dias, correspondientemente

38) Felipe gana $\$12.000$ diarios en su trabajo. ¿Cuánto dinero obtiene si trabaja 20 días?  R:240.000.-

39) Marcela gana $\$540.000$ mensuales (considera 30 días). ¿Cuánto dinero gana en 10 días?  R:$180.000.-

40) Francisca recorre 90 km en una hora, ¿Cuántos kilómetros recorrerá en 5 horas viajando con la misma rapidez? R: 450 kilometros

41) Juan Pablo y Rodrigo compraron un número de rifa en $\$1.000$. Juan Pablo puso $\$600$ y Rodrigo el resto. Si obtuvieron un premio de $\$200.000$ y se lo repartieron en forma proporcional al dinero que aportó cada uno, ¿cuánto dinero le corresponde a Rodrigo? R:$\$120.000 y \$80.000.-$

42) Los ángulos interiores del triángulo, son entre sí como 1 : 2 : 3, ¿cuál es la medida de cada uno de ellos? R: 30°, 60° y 90°

Proporcionalidad Compuesta

1. Si 30 máquinas fabrican 5 000 metros de tejido en 20 días, ¿cuántas máquinas, iguales a las anteriores, será preciso poner en marcha para producir 7 000 m en 14 días? R: 60 maquinas

2. Un depósito de capacidad 500 litros es llenado por un grifo de 5 cm2 de sección en 12 horas. ¿Cuánto tiempo tardará en llenarse un depósito de 750 litros por un grifo de 8 cm2de sección? R:11 horas y 15 minutos

3. Seis digitadores preparan 720 páginas en 18 días. ¿En cuántos días, 8 digitadores, de igual eficiencia que los primeros, prepararán 800 páginas? R: 15 dias.

4. En una residencia con 30 estudiantes, se gastan $\$ 18 000$ en 25 días. ¿Cuánto gastarían 42 estudiantes en 34 días, viviendo en idénticas condiciones? R:$ \$34272.$-

5. La alimentación de 12 animales, durante 8 días, cuesta $\$ 8 000$. ¿Cuál sería el costo de alimentación de 15 animales en 5 días? R: $\$6250$.-

6. Un automóvil con una rapidez de 60 km/h , rodando 5 horas por día, hace cierto recorrido en 12 días. Si su rapidez fuese 75 km/h y rodase 6 horas por día, ¿en cuántos días haría el mismo recorrido? R: 8 dias

7. Un horno a petróleo consume 18 litros en 5 días, funcionando 4 horas diarias. ¿En cuántos días consumirá 48 litros, si funciona 9 horas por día? R: 6 dias, aproximadamente.

8. Si con 300 Kg. de algodón pueden trabajar 8 telares durante 2 días, a razón de 6 horas diarias, ¿cuántos kilogramos necesitarán 15 telares para trabajar 5 días, a razón de 10 horas diarias? R:2343,75 kilos

9. Veinticinco ampolletas originan un gasto de $\$ 6000$ al mes, estando encendidas 6 horas diarias. ¿Qué gasto originarían 5 ampolletas en 45 días, encendidas durante 8 horas diarias?R: $\$72.000.-$

10) Dieciséis operarios, trabajando 8 horas por día, producen 120 pares de zapatos por día. Si se desea ampliar el mercado de ventas, ¿cuántos operarios, trabajando 10 horas por día, pueden asegurar una producción de 300 zapatos por día? R: 32 operarios

11) Se sabe que 18 animales consumen 480 kg de alimento en 12 días. ¿Para cuántos días les alcanzarían 360 kg del mismo alimento a 24 animales? R: 6 días

12) Un libro tiene 120 páginas de 27 líneas de 16 cm de largo cada una. Si se reimprime con 36 líneas de 15 cm de largo por página, ¿Cuántas páginas tendría el libro? R: 96 paginas

13) Cinco obreros instalan 50 postes trabajando 8 horas diarias. ¿Cuál es el número de obreros que se necesitaría para instalar 120 postes de iguales características, trabajando 12 horas diarias? R: 8 obreros

14) Si 10 máquinas fabrican 4.000 unidades de un producto en 5 días, ¿cuántas máquinas serán necesarias para triplicar la producción en 6 días, trabajando la misma cantidad de horas diariamente? R: 25 maquinas

15) Una empresa constructora estima que son necesarios 30 obreros para terminar una obra en 3 meses trabajando 8 horas diarias, ¿cuántos obreros necesitarían para terminar la obra en 2 meses, trabajando 6 horas diarias? R: 60 obreros

16) Cuatro operarios producen en 10 días 320 unidades de un cierto producto. ¿Cuántas unidades del mismo producto pueden producir 10 operarios en 16 días? R: 1280 unidades

17) Doce campesinos recogen una cosecha en 9 días trabajando 6 horas diarias, ¿cuántos campesinos serán necesarios para recoger la cosecha en 3 días trabajando 8 horas diarias?R: 27 campesinos

18) En 18 días, 20 máquinas aran un terreno de 60 hectáreas. ¿Cuántas máquinas iguales aran un terreno de 36 hectáreas en 12 días? R: 18 maquinas

19) En un taller de confecciones, 6 operarios hacen 100 polerones en 1 día, trabajando 8 horas diarias. ¿Cuántos operarios serán necesarios para hacer 500 polerones en 2 días, trabajando la misma cantidad de horas diarias? R: 15 operarios

20) Si 10 ampolletas originan un gasto de $\$6.000$ al mes si se encienden 6 horas diarias, ¿cuántas ampolletas se deben apagar para que el gasto sea de $\$4.000$ si se encienden 5 horas diarias? R: se deben apagar dos ampolletas.

21) Nueve obreros trabajan 8 horas diarias y pintan una casa en 12 días. ¿Cuántos días demoran 18 obreros en pintar la misma casa trabajando 6 horas diarias? R: 8 dias

22)Se quiere terminar de reparar una iglesia en Chiloé. Si 4 personas trabajando 8 horas diarias durante 10 días repararon 5/8 del total,

a) ¿cuántos días, en las mismas condiciones, faltan para terminar de reparar la iglesia? R: 6 días
b) ¿cuánto se demoran en reparar la iglesia 6 personas trabajando 6 horas diarias?
c) Si se duplica el número de personas y se disminuye a la mitad las horas diarias de trabajo, ¿en cuánto tiempo terminan de reparar la iglesia?

23) Siete obreros cavan, en dos horas, una zanja de 10 m. ¿Cuántos metros cavarán, en el mismo tiempo, 42 obreros, trabajando en las mismas condiciones? R. 60 metros

20) Si 4 gallinas en 4 días ponen 4 huevos cada una, ¿cuántos huevos ponen 12 gallinas en 12 días? R: 36 huevos

Proporcionalidad Inversa

1) La empresa “El Rica Manzana” necesita transportar 1.080.000 kg de manzana a Concepción. Para ello, posee camiones cuya capacidad es de 15 toneladas. Si, en ese momento, se dispone sólo de uno, ¿cuántos viajes deberá realizar?. ¿Y si tuviera dos o más camiones?. Hace una tabla para observar cómo varía el número de viajes al cambiar el número de camiones.

2) Con el dinero que tengo, puedo comprar 20 chocolates a $ 20 cada uno. Si los chocolates suben a $ 25, ¿cuántos podré comprar? R: puede comprar 16 chocolates

3) La rapidez de un automóvil es de 70 km/h y demora 5 horas en recorrer una cierta distancia. ¿Cuántas horas demorará, en recorrer la misma distancia, otro automóvil con una rapidez de 80 km/h? R: 4 horas, 22 minutos y 30 segundos

4) Un grifo de 3 cm2 de sección demora 16 horas en llenar un estanque. ¿Cuántas horas empleará, en llenar el mismo estanque, otro grifo de 6 cm2 de sección? R. 8 horas

5) Si 25 telares producen cierta cantidad de tela en 60 horas, ¿cuántas horas emplearán 42 telares iguales en producir la misma cantidad de tela? R:35 horas, 42 minutos y 52 segundos

6) Usando tuberías de 3,80 m de largo, se necesitan 5 000 tubos para construir un acueducto. ¿Cuántos tubos de 4,20 m de largo se necesitarán para construir el mismo acueducto? R:4524 tubos

7) Dos ruedas dentadas están engranadas. La primera tiene 12 dientes y la segunda 28. ¿Cuántas vueltas habrá dado la segunda, cuando la primera ha dado 84 vueltas? R: 36 vueltas

8) Veinte hombres hacen un determinado servicio en 10 días. ¿Cuántos hombres, de igual capacidad que los primeros, serían necesarios para hacer el mismo servicio en 8 días? R:16 días

9) Cuarenta obreros pintan un edificio en 10 días. ¿Cuántos obreros serían necesarios para realizar el mismo trabajo en 8 días? R:32 obreros

10) Una guarnición de 500 hombres tiene víveres para 20 días, a razón de 3 raciones diarias. ¿Cuántas raciones diarias tomará cada hombre, si se quiere que los víveres duren 5 días más? R: 2, 4 raciones. (2 raciones)

11) Una mesa tiene 6 m de largo y 1,5 m de ancho. ¿En cuánto se debe disminuir el largo, para que, sin variar el área, el ancho sea de 2 m? R: 4,5 metros

12) María Laura tarda 8 minutos en llegar a la escuela ¿Cuánto tardará si un día decide ir a la mitad de velocidad que de costumbre? R: 6 minutos

13) Juan y Martín quieren construirse una pileta. Hacen cálculos y llegan a la conclusión que trabajando 9 horas diarias tardarán 22 días en terminarla. ¿Cuántos días emplearán si dedican dos horas más cada día? R: 18 días

14) Ricardo es un ganadero que tiene 720 ovejas que puede alimentar durante 60 días. ¿Cuántas deberá vender si quiere darles de comer durante 75 días sin modificar la ración de cada animal? R: Debe vender 144 ovejas

15) Un granjero tiene suficiente alfalfa para alimentar 20 vacunos por 30 días. ¿Cuánto le durará el alimento si compra 5 vacas más? R: 24 días

16) Un contratista estima que con 6 obreros puede terminar la obra en 15 días. ¿Cuántos obreros necesitaría para terminar la obra en 8 días? R: 12 obreros

17) Si 8 trabajadores logran terminar una obra en 24 días, ¿cuántos días demoran 24 trabajadores? R: 8 dias

18) Una piscina se llena en 12 horas empleando una llave que arroja 180 litros de agua por minuto.
a) ¿Cuántas horas tardará si la llave arroja 90 litros? R: 24 horas
b) ¿Cuántos litros debe arrojar la llave por minuto para que tarde 36 horas en llenar la piscina? R: 60 litros por minuto

19) Jorge tarda 25 minutos de casa al colegio, dando 100 pasos por minuto. Un día se retrasa al salir y tiene que llegar al colegio en 15 minutos. ¿Cuántos pasos deberá dar por minuto? R: 167 pasos

20) Un barco lleva víveres para alimentar durante 45 días a sus 120 pasajeros y 40 tripulantes. Si acogen a 40 personas más, procedentes de un barco averiado, ¿cuántos días durarán los víveres? R: 36 dias

21) Se ha excavado la mitad de un foso en 35 días con 119 obreros. Si el grupo de obreros aumenta en 25, ¿en cuántos días acabarán el trabajo? R: 29 días

22) Un ganadero tiene forraje suficiente para alimentar 220 vacas durante 45 días. ¿Cuántos días podrá alimentar con la misma cantidad de forraje a 450 vacas? R: 22 dias

23) Dos trabajadores quieren construir una piscina. Ellos estiman que trabajando 9 horas diarias tardarán 22 días en terminarla.¿Cuántos días se demorarán si trabajan 11 horas cada día? R:18 dias

24) La señora María y su esposo Juanito quieren empapelar el dormitorio y el comedor de su casa. Al medir, el empapelador les dijo que para ambas piezas se necesita la misma cantidad de papel. El papel que compraron para el dormitorio tiene 60cm de ancho y se necesitan 120 tiras.¿Cuántas tiras se necesitan para el comedor si el papel que compraron para esta pieza tiene 50cm de ancho? R: 144 tira por habitación

Observación: En este caso las cantidades son inversamente proporcionales porque mientras más ancho es el papel menos tiras se ocupan.

24) El papá de Marcelo ofreció llevar las bebidas para el paseo al que asistirían 12 personas. Llevó 9 botellas pensando que cada persona tomaría tres vasos de bebida y que de cada botella salen 4 vasos. Si en el último momento deciden it 6 personas más.¿Cuántos vasos de bebida podría tomar cada persona?

25) Una llave por la que salen dos litros de agua por segundo se demora medio minuto para llenar un estanque. Si queremos que lo llene en 10 segundos, ¿qué cantidad de agua deberá salir por segundo? R: 6 segundos

26) Pedro y Lucho ayudaron a su papá a cambiar el piso de la cocina de su casa. Antes estaba cubierta por 100 baldosas cuadradas de 40cm2 cada una. Si al cambiarlo se ponen baldosas de 20cm2 cada una, ¿cuántas baldosas ocupan? R: 200 baldosas

27) Luis compró 5 kg de papas a $\$200$ la semana pasada. Si 1 kg de papas vale ahora $\$250$, ¿cuántos kilogramos podrá comprar con la misma cantidad de dinero? R: 4 kilos

28) Si 10 obreros construyen una casa en seis meses, ¿Cuánto tiempo demoran en construir una casa similar 15 obreros, trabajando la misma cantidad de horas diarias? R: 4 meses

29) Dos ciclistas se demoran 4 horas en llegar a la playa viajando con una rapidez de 30 km/h. ¿A qué rapidez deberán viajar para demorar 3 horas? R: 40 horas

30) Un rectángulo cuyo ancho mide 8 cm y su largo 12 cm, tiene un área de 96 $cm^2$. ¿Qué ocurre con el ancho si su largo aumenta a 16 cm y su área permanece constante? R: el ancho será 6 centímetros.

PROBLEMAS COMBINADOS

Clasifica los problemas planteados según el tipo de proporcionalidad: directa, inversa o compuesta. Y luego resolver cada uno.

1. Para pintar una muralla de 45 m2 dos trabajadores necesitan 20 litros de pintura. ¿Cuántos litros de pintura se necesitan para pintar una muralla de superficie similar que mide 18 m2? R: directa. 8 litros

2. Se desea limpiar un canal en dos semanas; se sabe que el año pasado se debió realizar el mismo trabajo y que 21 obreros ocuparon 30 días, ¿cuántos obreros es necesario contratar?R: inversa, 45 obreros

3. El año pasado 6 hombres cavaron una acequia de 12 metros. ¿Cuántos hombres se necesitan para cavar en el mismo tiempo una acequia de 44 metros? Directa . 22 hombres

4. Un tren tarda cuatro horas en ir de Linares a Santiago a una velocidad de 80 km/h. ¿A qué velocidad promedio debe ir si necesita llegar 45 minutos antes? R: Inversa, aproximadamente 98,5 km/h

5. Un equipo de 4 arquitectos dibujó 34 planos en 1 mes. Si para el mes siguiente deben entregar 51 planos, ¿cuántos ayudantes necesitan contratar? R: Directa. Deben contratar a dos dibujantes más

6. Para construir una terraza un trabajador encarga 720 baldosas cuadradas de 25 cm de lado. Su proveedor le indica que sólo tiene baldosas cuadradas de 40 cm de lado, ¿cuántas baldosas debe comprar?

8. Cuatro llaves llenan una piscina con una capacidad de 18 $m^3$ en 12 horas. ¿Cuánto tiempo se necesita para llenar la misma piscina con 3 llaves?

9. Para una biblioteca infantil se dispone de$\$150.000$ que alcanzan para comprar 120 libros de cuentos. Si se recibe una donación de $\$375.000$, ¿cuántos libros más, del mismo tipo, se pueden comprar?

10. Se sabe que 12 operarias confeccionan 192 abrigos en 20 días trabajando 8 horas diarias. ¿Cuántas horas deben trabajar diariamente 18 mujeres para confeccionar 270 abrigos en 25 días?

11. Se necesitan 18 máquinas para construir un dique trabajando 9 horas diarias durante 15 días. ¿Cuántos días deberán funcionar 27 máquinas en el mismo tipo de trabajo si lo hacen durante 10 horas diarias?

12. Un grupo de 10 jóvenes realizó una excursión ciclística por 20 días, el costo total resultó ser $\$300.000$. ¿Cuánto dinero gastarán 8 muchachos en una excursión similar cuya duración será de 25 días?

13. Un fabricante de detergente introduce al azar tres premios de $100.000 por cada 5.000 cajas de detergente.

a) ¿Cuántos premios deberá introducir en una producción de 2 millones de cajas? ¿Cuánto dinero es la suma de los premios en este caso?
b) ¿A qué producción corresponde un total de premios equivalente a $\$600.000$?

14. Los tres integrantes de un grupo de rock se reparten las ganancias y los gastos en partes proporcionales a 3, 5 y 2. Calcula en cada caso lo que corresponde a cada uno sabiendo que

Por un concierto obtuvieron $\$800.000$.
En viajes gastaron $\$300.000.$
El primer disco les ocasionó gastos por $\$1.000.000$ a ingresos por $\$1.760.000$.

15. Si en una casa se encienden 8 lámparas iguales entre las 8.00 y las 23.00 y esto produce un costo mensual de $\$12.000$:

  • ¿Cuál es el costo diario por encender las lámparas?
  • ¿Cuál sería el costo mensual por mantener encendidas 5 lámparas durante la misma cantidad de horas?
  • Si las 8 lámparas se encienden hasta las 22.00 todos los días, ¿cuál sería el costo mensual?

Si el número de lámparas disminuye en una y el número de horas diarias aumenta en una, ¿cuál sería el costo mensual?

16. Si tres secretarias tardan 21 días en escribir a máquina un texto, entonces, ¿cuántos días requieren 7 secretarias en escribir dos textos iguales al anterior, si trabajan a un ritmo similar?

17. Si 10 obreros se demoran 4 días en pavimentar una calle, ¿cuánto se demoran 15 obreros en hacer el trabajo, trabajando la misma cantidad de horas diariamente?

18. Tres obreros pintan en 2 días 400 $m^2$

  • ¿Cuánto demoran 4 obreros en hacer el mismo trabajo?
  • Si los 3 obreros pintan solamente 300 $m^2$, ¿en cuánto tiempo lo harán?
  • Si el número de obreros aumenta en uno y se quiere pintar 600 $m^2$, ¿cuánto tardarán?

19) Un campesino tiene alimento para 20 vacunos por 30 días. Si compra 10 vacas más, ¿Cuánto le durará el alimento ahora? ¿Más de 30 días o menos? Estima el resultado.

20) Un productor de vino de exportación ocupa 12 depósitos para guardar 660 litros. ¿Cuántos depósitos necesita para guardar tres veces esa cantidad?

21) Un contratista estima que con 10 trabajadores termina la obra en 60 días. ¿Cuántos trabajadores terminarán la obra en 30 días? Si la obra debe terminarse en la mitad del plazo, ¿en cuánto debe aumentarse el número de trabajadores?

22) Si 4 gallinas ponen 4 huevos cada una en 4 días, ¿Cuántos huevos ponen 12 gallinas en 12 días? Aumenta la cantidad de huevos al aumentar el número de días y de gallinas ponedoras? Estima el resultado.

23) Un agricultor ocupa 2 kilos de fertilizante cada 100 $m^2$.¿Cuántos kilos necesitará para cubrir diez veces esa cantidad de $m^2$.? ¿Cuánto fertilizante ocupará en 50 $m^2$?

24) Si una máquina logra etiquetar 520 productos en 4 minutos, ¿cuántas etiquetas serán puestas en 1 hora?

25) Un auto que viaja a una velocidad promedio de 60 km/h recorre 240 km en 4 horas. A qué velocidad promedio debe ir para hacer el mismo recorrido en 2 horas? ¿Es posible? Explica por qué.

26) Una fotocopiadora saca 50 hojas por minuto. Elabora una tabla de datos para registrar la cantidad de copias en 5, 10, 15, 20, 25 y 30 minutos.
¿Cuántas copias sacará en 1 hora?

27) Una familia de 8 personas consume 24 m3 de agua diariamente. ¿Cuánto consumirá una familia de 12 personas si las condiciones de consumo individual son las mismas?

28) Para una red de alcantarillado se necesitan 5.000 tubos de 3,20 m ¿Cuántos tubos de 4 metros se ocuparían para la misma obra?

29) Para tejer un chaleco de bebé se necesitan 80 gramos de lana. ¿Cuántos chalecos se tejerán con 1 kilo 280 gramos de lana?

Razones

1. Una prueba de matemática tiene 10 preguntas. Un alumno responde correctamente 6 de estas preguntas y omite una. Escribe la razón entre:

  • el número de preguntas correctas y el número total de preguntas,
  • el número de preguntas incorrectas y el número de preguntas correctas, el número de preguntas omitidas y el número total de preguntas.

2. En un curso de 50 alumnos, 10 fueron reprobados. ¿Cuál es la razón entre el número de reprobados y el número de alumnos del curso?

3. En una casa, el área construida es de 120 $m^2$ y el área libre es de 80 $m^2$ .¿Cuál es la razón entre el área construida y el área del terreno total?

4. Los lados de dos terrenos cuadrados miden, respectivamente, 10 m y 20 m . ¿En qué razón están sus áreas?

5. Las aristas de dos cubos miden, respectivamente, 2 cm y 4 cm ¿En qué razón están sus volúmenes?

6. La escala de un diseño es la razón entre la longitud representada en el dibujo y la correspondiente longitud real, expresadas ambas en la misma unidad. ¿Cuál fue la escala utilizada en el diseño de una casa, si una longitud de 6 m fue representada por una longitud de 3 cm?

7. En un curso, la razón entre el número de niños y de niñas es 3 : 2 . Si el número de niños es 18, ¿Cuál es el número de niñas?

8. En una residencia, la razón entre el área construida y el área libre es 2 : 3. Si el área construida es de 140 m2, ¿cuál es el área libre?

9. La razón entre las velocidades de un avión y de un tren es de 15 : 2. Si la velocidad del avión es de 600 km/h, ¿ cuál es la velocidad del tren?

10. La razón de las longitudes de los lados de un rectángulo es 3 : 4. Si el lado menor mide 15 cm, ¿cuánto mide el perímetro del rectángulo?

11. El perímetro de un rectángulo mide 54 cm . Si uno de sus lados mide 15 cm, ¿en qué razón están las longitudes de los lados?

12. El plano de una ciudad está dibujado a escala 1 : 10 000 . ¿Qué longitud en el plano representa una distancia de 5 000 m?

13. Un mapa está dibujado a una escala tal que 2,5 cm corresponde a 40 km .

  • -Expresa esta escala como una razón.
  • -¿Cuántos km separan dos ciudades A y B, cuyos puntos en el mapa están separados 10 cm?
  • -La distancia entre dos unidades C y D es 240 km . ¿A qué distancia están los puntos que representan esas ciudades en el mapa?

14.  Un avión vuela 4 000 km en 5 horas y otro vuela 1 000 km en 75 minutos.

  • -¿Cuál es la razón entre las distancias recorridas por los aviones?
  • -¿Cuál es la razón entre los tiempos de vuelo de los aviones?
  • -¿Cuál es la velocidad de cada avión, en km/h ?
  • ¿En qué razón están las velocidades de los aviones?

15.  El tío Jaime fue a visitar a sus sobrinos de 7 y 5 años. Les llevó una bolsa de dulces de regalo y le dijo a la mamá “repárteles los dulces en la misma razón que están sus edades”. Si la bolsa tenía 60 dulces, ¿cuánto debería recibir cada niño? (Suponiendo que la mamá siguió las instrucciones del tío).

16. Patricio vende empanadas los domingos. Él ha observado que la razón entre las empanadas de pino y las empanadas de queso que vende es aproximadamente de 5 es a 2. El último domingo Patricio vendió un total de 259 empanadas. ¿Cuántas empanadas de queso calculas tú que vendió ese día?

17. Los ángulos agudos de un triángulo rectángulo están en la razón de 1 : 5. ¿Cuánto mide el mayor de ellos?

18. Renato desea cortar un pedazo de madera que mide 2,8 metros de largo en tres pedazos en la razón de 1 : 2 : 4. ¿Cuántos centímetros medirá cada pedazo?

19. Un parque cuya superficie es de 630 m2 debe ser diseñado de tal manera que las áreas de las flores, prados y juegos de niños estén en la razón de 2 : 4 : 3. Determina el área de cada uno de los sectores en que queda dividido el parque.

20. Se desea preparar 20 litros de jugo para un paseo. Para esto se usará un jugo de naranja concentrado que debe disolverse en la razón de 1 : 3 (1 litro de jugo concentrado por 3 litros de agua). ¿Cuántos litros de jugo de naranja concentrado deben usarse?

21. La razón entre el largo y el ancho de una fotografía rectangular es de 5 : 3. a) Calcula el largo de la fotografía si el perímetro es 72 cm. b) Calcula el largo y el ancho de la fotografía si el área es 60 cm2.

22. Luis tiene 5 kg de un detergente en polvo para limpiar alfombras. Debe limpiar 2 piezas, una de 72 $m^2$ y la otra de 48 $m^2$. ¿Cómo debe dividir el detergente de tal manera que cada alfombra se limpie con la misma cantidad de kilogramos por metro cuadrado?

23 Un basquetbolista encesta 12 veces en 20 intentos. ¿Cuál es la razón? R: 3/5
24 Un albañil siempre mezcla cada balde de cemento con 2 baldes de arena, ¿cuál es la razón de la arena a la cal en la mezcla que prepara? R: 2/1

25 Un barril contiene 180 kg de agua. Si el área del barril es de 1.500 cm2, ¿cuál es la razón del peso del agua al área del barril?

26 Una molécula de agua se forma con 2 átomos de hidrógeno y 1 de oxígeno. ¿Cuál es la razón de la cantidad de oxígeno a la de hidrógeno en cualquier número de moléculas de agua?

27 El rendimiento de un automóvil es la razón de la distancia recorrida a la cantidad de combustible consumido. Si un automóvil recorre 196,85 km y consume 15,5 litros de bencina, ¿cuál es su rendimiento?

28. Un rayo de luz recorre aproximadamente una distancia de 1.290.000 km en 4,3 segundos. ¿Cuál es la razón de la distancia recorrida al tiempo que tarda en hacerlo?

29 Si una circunferencia mide aproximadamente 4,71 cm y su diámetro es de 1,5 cm, ¿cuál es la razón de la circunferencia al diámetro?

30. Las edades de Carolina y Marcela están en la razón 3 : 2. ¿Qué edad tiene cada una si la suma de sus edades es 80 años?

31 La suma de dos números es 91 y están en la razón 4 : 3. Calcula el valor de cada número.

32. La diferencia entre la tara (masa) de dos vehículos es 1.200 kg y están en la razón 7 : 4. Calcula la tara de cada vehículo.

33. El perímetro de un rectángulo es 128 cm y la razón entre las medidas de sus lados es 5 : 3. Calcula su área.

34 Dos amigos deben repartirse $\$27.000$. Las cantidades respectivas están en la razón 5 : 4. ¿Cuánto dinero recibirá cada uno?
35.Dos montañistas están subiendo un cerro de 4.000 m de altura. ¿Cuántos metros les quedan por subir si ya han recorrido 5/8 del total?

36.El auto de Gabriel tiene un estanque de bencina con una capacidad de 40 litros. Como se va de paseo, llena el estanque, por lo que paga $\$ 5.000$. Si el litro de bencina vale $\$ 246$, ¿qué parte del estanque estaba con bencina?

37.La relación entre dos números es 4 es a 9. Si su diferencia es 95, ¿cuáles son los números?

38 En un curso la cantidad total de alumnas y de alumnos es 24. Si se sabe que la razón entre el número de mujeres y el de hombres es 5 : 7, ¿cuántas mujeres hay?

39.La razón entre las edades de dos hermanos es 6 : 7. Si la suma de sus edades es 39 años, ¿cuál es la edad de cada uno?

40.Cuatro cuadernos universitarios valen $\$2.520$. Una señora necesita comprar dos docenas de esos mismos cuadernos para sus hijos, ¿cuánto dinero tendrá que gastar?

( en desarrollo )

LEAVE A COMMENT