Ecuaciones diferenciales

  Cálculo

Corresponden a cualquier ecuación en la que intervienen una variable dependiente y sus derivadas con respecto a una o más variables independientes.

Ya hemos visto que si $y = f (x)$ es una función dada, su derivada se puede interpretar como la razón de cambio de y con respecto a x. Por ejemplo, de acuerdo con la segunda ley de Newton, la aceleración $\vec{a}$ de un cuerpo de masa $m$ es proporcional a la fuerza total $\vec{F}$ aplicada sobre ella, con $\frac{1}{m}$ como constante de  proporcionalidad, de modo que $\vec{a}=\frac{1}{m}\vec{F}$.

Supongamos que un cuerpo de masa M cae bajo efecto de la influencia de la gravitación. En tal caso, la única fuerza que actúa sobre dicha masa es $m\vec{g}$ , donde $\vec{g}$ denota la aceleración de gravedad. Si y es la altura medida hacia abajo desde cierta posición prefijada, entonces su velocidad $\vec{v}=\frac{dy}{dt}$  es el ritmo de cambio de su posición y su aceleración  $\vec{a}=\frac{d\vec{v}}{dt}=\frac{d^2y}{dt^2}$  es el ritmo de cambio de la velocidad. Con esta notación se tendrá que

$$m\frac{d^2y}{dt^2}=mg\rightarrow \frac{d^2y}{dt^2}=\vec{g} $$

Si admitimos que el aire ejerce una fuerza de resistencia proporcional a la velocidad, la fuerza total que actúa sobre el cuerpo es

$$m\frac{d^2y}{dt^2}= mg -k \frac{dy}{dt} $$

Ambas expresiones son las ecuaciones diferenciales que expresan los atributos esenciales de dos procesos físicos bajo consideración.

Generalidades

La ecuación diferencial ordinaria ( E.D.O ) general de orden n es

$$F \left(x, y, y’, y”, y”’,…, y^{(n)} \right)= 0$$

La cual también se suele escribir de forma

$$F \left (x,y,\frac{dy}{dx}, \frac{d^2y}{dx^2}, \frac{d^3y}{dy^x},…, \frac{d^ny}{dx^n} \right)=0$$

Suele ser bastante sencillo comprobar que una función dada $y = y(x)$ es una solución de una ecuación. Bastara calcular las derivadas de la ecuación y mostrar que cuando se sustituyen en la ecuación diferencial, la reducen a una igualdad. Por ejemplo $y=e^{2x}$ e $y=e^{3x}$ son ambas soluciones de $y”−5y’+6y=0$

De hecho si $y=e^{2x}$ entonces $y’=2e^{2x}$ e $y”=4e^{2x}$ .

Evaluando se tendrá que

$$y”-5y’+6y=0\\=4e^{2x}-5(2e^{2x})+6(e^{2x})\\=4e^{2x}-10e^{2x}+6e^{2x}\\=0$$

Y si $y=e^{3x}$ entonces $y’=3e^{3x}$ e $y”=9e^{3x}$ entonces al evaluarse llegara a que

$$y”-5y’+6y=0\\=9e^{3x}-5(3e^{3x})+6(e^{3x})\\=9e^{3x}-15e^{3x}+6e^{3x}\\=0$$

De modo mas general se tendrá que $y = c_1e^{2x} + c_2e^{3x}$  también lo es para toda elección arbitraria de $c_1$ y $c_2$.

De hecho

$$y’=2c_1e^{2x} +3c_2e^{3x}\text{  , e   } y”=4c_1e^{2x} +9c_2e^{3x}$$

Evaluando

$$y”-5y’+6y=0\\=4c_1e^{2x} +9c_2e^{3x}-5(2c_1e^{2x} +3c_2e^{3x})+6(c_1e^{2x} + c_2e^{3x})\\=4c_1e^{2x} +9c_2e^{3x}-10c_1e^{2x} -15c_2e^{3x}+6c_1e^{2x} + 6c_2e^{3x}\\=4c_1e^{2x} -10c_1e^{2x}+6c_1e^{2x}+9c_2e^{3x}-15c_2e^{3x}+ 6c_2e^{3x}\\=0$$

Lo cual evidencia la identidad.

Con frecuencia aparecen soluciones de ecuaciones diferenciales definidas implícitamente y, a veces, es difícil o inclusive imposible expresar la variable dependiente en forma explicita en términos de la variable independiente. Así por ejemplo $\frac{dy}{dx}=\frac{y^2}{1-xy}$ para todo valor de la constante C , como se puede comprobar tras simplemente derivar y reordenar el resultado. La más simple de las ecuaciones será

$$\frac{dy}{dx}=f(x)\rightarrow dy=f(x)dx\rightarrow\int{}dy=\int{f(x)}dx+C$$

En ciertos casos la integral indefinida puede hallarse por los métodos de cálculo; en otros casos puede ser difícil o realmente imposible hallar una forma para tal. Pese a ello siempre habrá alternativas.

Las llamadas ecuaciones separables, o ecuaciones con variables separables, están al mismo nivel de dificultad. Son aquellas ecuaciones que se pueden escribir de la forma, donde los términos a la derecha corresponden a un producto de dos funciones, cada una independiente de solo una de las variables. En tales circunstancias podemos separar las variables y resolver la ecuación original por integración.

$$\frac{dy}{dx}=f(x)g(y)$$

$$\frac{dy}{g(y)}=f(x)dx\rightarrow \int{\frac{dy}{g(y)}}=\int{f(x)}dx+C$$

Estas son ecuaciones diferenciales muy sencillas en el sentido de que su resolución se reduce a un problema de integración, aún cuando es posible que las integrales obtenidas sean…”complicadas”.

Casos de Estudio

  1. Solucionar $\frac{dy}{dx}=\frac{x+1}{y}$

$$ydy=(x+1)dx\rightarrow \int{y}dy=\int{x+1}dx\rightarrow \frac{y^2}{2}=\frac{x^2}{2}+x+C_1$$

Ordenando

$$\frac{y^2}{2}=\frac{x^2}{x}+\frac{2x}{2}+\frac{C_2}{2}= y^2=x^2+2x+C_2\rightarrow y=\sqrt{x^2+2x+C_2}$$


2.  Solucionar $x\frac{dy}{dx}=2y$

Desarrollo

$$\frac{dy}{2y}=\frac{dx}{x}\rightarrow\frac{1}{2}\int\frac{dy}{y}\rightarrow\frac{1}{2}ln(y)=ln(x)+C_1\\\rightarrow\frac{1}{2}ln(y)=ln(x)+ln(C)\\\rightarrow ln\left( y^{1/2}\right)=ln(Cx)$$

Exponenciando

$$y^{1/2}=(Cx)\rightarrow y=\left(Cx\right)^2$$


3.   Solucionar $x^2dx+(y+1)^2 dy=0$

Desarrollo

$$\int{x^2}dx+\int{(1+y)^2}dy=\frac{x^3}{3}+\frac{(1+y)^3}{3}+C_1=0\\\rightarrow \frac{x^3}{3}+\frac{(1+y)^3}{3}+\frac{C_2}{3}=0\\\rightarrow x^3+(y+1)^3+C_2=0$$

Despejando y en relaciona la variable x se tendrá que

$$(y+1)^3=-C_2-x^3\\ \rightarrow (y+1)^3=C_3-x^3\\ \rightarrow y+1= \sqrt[3]{C_3-x^3}\\ \rightarrow y= \sqrt[3]{C_3-x^3}-1$$


4.   Solucionar la siguiente ecuación diferencial $dy = −4xdx$ sabiendo que $x=0$ cuando $y=1$

Desarrollo

$$\int{}dy=\frac{x}dx\rightarrow y=-4\frac{x^2}{2}+C \rightarrow y=-2x^2+C$$

Pero sabemos que $x=0$ cuando $y=1$, luego podemos evaluar

$$y=-2x^2+C\rightarrow 1=0+C \rightarrow C=1$$

Entonces la Ecuación buscada será

$$y=-2x^2+1$$


5.-   Determina la solución de $\frac{d^2y}{dx^2}=x+cos(x)$

Sea

$$u=\frac{dy}{dx}\rightarrow \frac{du}{dx}=\frac{d^2y}{dx^2}$$

sustituyendo se tendrá que

$$\frac{du}{dx}=x+cos(x) \rightarrow du=x+cos(x) dx \\ \rightarrow \int{}du=\int{x+cos(x)}dx \\ \rightarrow u=\frac{x^2}{2}+sen(x) +C_1$$

Y reemplazando nuevamente

$$\frac{dy}{dx}=\frac{x^2}{2}+Sen(x)+C_1 \rightarrow  dy=\left( \frac{x^2}{2}+ sen(x)+ C_1 \right  ) dx \\ \rightarrow \int{}dy=\int {\left( \frac{x^2}{2}+ sen(x)+ C_1 \right  ) dx} \\ \rightarrow y= \frac {x^3}{6}- cos(x) +C_1x+C_2$$


6.-   Determinar la solución de la ecuación diferencial $\frac{d^2y}{dx^2}=-2$, sabiendo que  cuando $x=0$, $y=2$ e $\frac{dy}{dx}=1$

Sea

$$u=\frac{dy}{dx} \rightarrow \frac{du}{dx}=\frac{d^2y}{dx^2}$$

Entonces

$$\frac{du}{dx}=-2 \rightarrow du=-2dx \rightarrow \int{}du=-2\int{dx} \rightarrow u=-2x+C$$

Entonces, sabiendo al condiciones iniciales tendremos que

$$u=-2x+C \rightarrow \frac{dy}{dx}=-2x+C \rightarrow 1=0+C \rightarrow C=1$$

Luego

$$\frac{dy}{dx}=-2x+1$$

Integrando nuevamente y evaluando

$$dy=(-2x+1)dx \rightarrow \int{}dy=\int{(-2x+1}dx \\ \rightarrow y=-2 \frac{x^2}{2}+x+C_2 \\\rightarrow 2=0+0+C_2 \\ \rightarrow C_2=2$$

Luego

$$y=x^2+x+2$$


7.  Determinar la solución de la ecuación diferencial $\frac{d^2y}{dx^2}=-3x$, sabiendo que cuando $x=1, y=4 $ e $\frac{dy}{dx}=2$

Sea

$$u=\frac{dy}{dx}\rightarrow \frac{du}{dx}=\frac{d^2y}{dx^2}$$

Entonces

$$\frac{du}{dx}=-3x\rightarrow du=-3xdx \\ \rightarrow \int{}du=-3 \int{x}dx \\ \rightarrow u= -3 \frac {x^2}{2}+C_1$$

Evaluando tendremos que

$$\frac{dy}{dx}=-3 \frac {x^2}{2}+C_1\rightarrow \frac{-3}{2}+ C_1= 2+  \frac{3}{2}=\frac{7}{2}$$

Entonces

$$ \frac{dy}{dx}= -3 \frac{x^2}{2}+ \frac{7}{2}  \rightarrow du= -\left( 2 \frac{x^2}{2}+\frac{7}{2} \right) dx \\ \rightarrow \int {}dy= \int {\left( 2 \frac{x^2}{2}+\frac{7}{2} \right)}dx \\  \rightarrow y= \frac{-3}{2} \frac{x^3}{3}+\frac{7}{2} x+ C_2  \\ \rightarrow y= \frac{-x^3}{2}+ \frac{7}{2} x+ C_2$$

Evaluando según las condiciones iniciales tendremos que

$$y= \frac{-x^3}{2}+ \frac{7}{2} x+ C_2 \\ \rightarrow 4=\frac{-1}{2}+ \frac{7}{2}+C_2 \\ \rightarrow 4=3+c_2  \\ \rightarrow c_2=1$$

De donde finalmente, la ecuación correspondiente será

$$y=-\frac{x^3}{2}+ \frac{7}{2}x +1$$

8.  Resolver $(x+1)\frac{dy}{dx}=x(y^2+1)$

Por variables separables

$$\frac{dy}{y^2+1}=\frac{x}{x+1}dx=\rightarrow \int{\frac{dy}{y^2+1}}=\int{\frac{x}{x+1}}dx$$

La integral de la izquierda no presenta dificultad, sin embargo la derecha ha de estudiarse un momento

Sea $u=x+1$,entonces $x=u−1$ y $dx=du$,por lo tanto

$$\int{\frac{x}{x+1}}dx=\int {\frac{u-1}{u}}=\int{du}-\int{\frac{du}{u}}=u-ln(u)+C_1$$

Y reescribiendo la estructura se tendrá que

$$Arctan (y) =u -ln (u)+ C_1 \\ \rightarrow   Arctan (y) =(x+1) -ln (x+1)+ C_1  \\ \rightarrow y=tan \left((x+1) -ln (x+1)+ C_1\right) $$


Ejercicios

Verificar que la siguiente funciones son soluciones de las correspondientes ecuaciones diferenciales

Solución Ecuacion
$$y=x^2+C$$ $$y’=2x$$
$$y=Cx^2$$ $$xy’=2y$$
$$y^2=e^{2x}+C$$ $$yy’=e^{2x}$$
$$y=Ce^{kx}$$ $$y’=ky$$
$$y=C_1sen(2x)+C_2cos(2x)$$ $$y”+4y=0$$
$$y=C_1e^{2x}+C_2e^{-2x}$$ $$y”-4y=0$$
$$y^2=x^2-Cx$$ $$2xyy’=x^2+y^2$$
$$y=C^2+\frac{C}{x}$$ $$y+xy’=x^4(y’)^2$$
$$y=Cx^{y/x}$$ $$y’=\frac{y^2}{xy-x^2}$$

 

Determinar la solución general de cada una de las siguientes diferenciales

$$y’=e^{3x}-x$$ $$y’=2xy$$
$$xy’=1$$ $$y’sen)y)=x^2$$
$$y’=xe^{x^2}$$ $$y’sen(y)=1$$
$$(1+x)y’=x$$ $$y’+ytan(x)=0$$
$$(1+x^3)y’=x$$ $$yln(y)dx-xdy=0$$
$$xyy’=y-1$$ $$(1+x^2)dy+(1+y^2)dx=0$$
$$x^5y’+y^5=0$$

 

Para cada una de las ecuaciones diferenciales calcular la solución particular que satisface la condición inicial.

  1. $y’ = xe^{x} $, si $y = 3$ cuando $x = 1$
  2. $y’=2sen(x)cos(x)$ si $y=1$ cuando $x=0$
  3. $y’=ln(x)$ , si $y=0$ cuando $x=e$
  4. $(x2 −1)y’=1$,si $y=0$ cuando $x=2$
  5. $ x(x2 −4)y’=1$,si $y=0$ cuando $x=1$
  6. $(x+1)(x^2 +1)y’=2x^2 +x$,si $y=1$ cuando $x=0$

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