Elementos Básicos de Geometría : La Circunferencia – El Círculo 

  Geometria

CAPITULO I. – La Circunferencia – El Círculo 

  1.       –  Propiedades de los ángulos del centro de las cuerdas, de los arcos y de las tangentes
  2.       –  Relación entre las cuerdas y sus distancias al centro
  3.       –  Propiedades de la tangente a una circunferencia
  4.       –  1er. Grupo de Ls. Gs referente a la circunferencia
  5.       –  Normal de una curva

Capitulo I

La circunferencia  – El circulo

Circunferencia es la linea. curva, plana y cerrada, cuyos puntos equidistan de un punto interior llamado centro (figura 1)

Círculo es la superficie o parte del plano encerrado por la circunferencia.

Radio es el trazo que une el dentro de la $\bigcirc$ con un punto cualquiera de ella. Se designa por r

Ejemplo: OA en la Figura 1

Arco de una  $\bigcirc$  es cualquiera parte de ella.

Ejemplo ARCO BH en la figura 1

Cuerda es el trazo que une dos puntos cualesquiera de la circunferencia

Ejemplo CD en la figura 1

Secante es una cuerda prolongada

Ejemplo: FG, en la figura 1

Sagita o flecha de un arco es la $ \perp $ media de una cuerda que divide en dos partes iguales el arco comprendido entrte los extremos de dicha cuerda

El trazo que une dos puntos de la circunferencia  pasando por el centro, se llama Diámetro.

El diametro es la cuerda máxima de una circunferencia y equivale a dos radios $d=2r$

El angulo formado por dos radios y cuyo vértice esta en el centro de la circunferencia, se llama ángulo del centro ó central. $\angle AOT$, en figura 1

La parte del circulo comprendida entre dos radios y el arco que une los extremos de esos radios se designa sector circular

La parte del circulo comprendida entre una cuerda y el arco correspondiente, se designa segmento circular

Propiedades de los ángulos del centro, de las cuerdas, de los arcos y de las tangentes

Teorema I

En una misma circunferencia o en circunferencias congruentes, a ángulos de centro iguales, corresponden arcos, cuerdas, sectores y segmentos iguales

Hipotesis. $\alpha =\beta$

Tesis

  1. Arc (AB) =Arc (CD)
  2. Cuerda (AB) =Cuerda (CD)
  3. Sect AOB= Sec COD
  4. Segmento ASB = Segmento CRD

Demostracion

Se hace girar el angulo $\beta$ en torno del centro O ( en el sentido de las manecillas del reloj) hasta que el lado OC coincida con OA. Entonces $\beta$ coincidirá con su igual $\alpha$

Como el punto C coincide con A y D con B, y entre dos pintos no se puede trazar mas de una recta, la cuerda DC coincide con AB. También coinciden  los Arcos, Sectores y Segmentos

Luego la tesis

El teorema I admite cuatro proposiciones o teoremas recíprocos

Por ejemplo, al referirlo a una cuerda se mira:

En una misma $\bigcirc$ o en $\bigcirc s$ congruentes, a cueras iguales, corresponden ángulos del centro, arcos sectores y segmentos iguales

Siempre que se hable de ángulos del centro menores que un ángulo extendido, resulta exacto el corolario siguiente y sus recíprocos

Corolario

En una misma $\bigcirc$ o en $\bigcirc s$ congruentes a mayor ángulo del centro corresponde  mayor arco, mayor cuerda, mayor sector y mayor segmento.

Este resultado o deducción se suele expresar en matemática diciendo que el arco, la cuerda, el sector y el segmento son funciones del ángulo del centro

Observaciones:

De lo expuesto anteriormente  se desprende que:

a) Para comparar dos ángulos , bata comparar sus arcos correspondientes descritos desde el vértice, con u mismo radio.

b)Para dividir un angulo en dos partes iguales, bastara dividir en partes iguales el aro de la circunferencia comprendido entre sus lados, descrito desde el vértice y unir los puntos de división con el mismo vértice.

Teorema II

La $\perp$ bajada desde el centro de una $\bigcirc$ a una cuerda

1.- Es simetral de la cuerda

2.- Es bisectriz del angulo del centro que tiene por arco correspondiente el arco subtendido por la cuerda

3.- Dimidia los dos arcos subtendido por la cuerda

Hipotesis. $OD\perp AB$

Tesis

  1. DA=DB
  2. $\angle 1= \angle 2$
  3. $\widehat {AE}$= $\widehat {EB}$
  4. $\widehat {AC}$ = $\widehat {CB}$

Demostración

Sea la cuerda AB mostrada en la figura

se tiene que

$$A(\leftrightarrow)O(\leftrightarrow)B$$

Como $\triangle ABO$ es isosceles las tesis 1 y 2 se demuestran directamente aplicando los teoremas sobre el $\triangle$

Siendo $\angle 1=\angle 2$,  $\widehat {AB}$ = $\widehat {EB}$ ( teorema 1)

Corolario

De una $\odot$ la simetral de cualquier cuerda pasa por el centro.

Del corolario del teorema II se deduce la solución para determinar  el centro  de una $\odot$, o de un  arco de circunferencia, y el método para construir la $\odot $ que pasa por tres puntos dados.

PROBLEMA FUNDAMENTAL

Construir la $\bigcirc$ que pasa por tres puntos dados A,B y C, y que no están en linea recta.

Solución

  1. Se traza la simetral DG de A y B
  2. Se traza la simetral EF de B y C
  3. Estas simetrales concurren en O
  4. O es el centro de la $\bigcirc$ pedida.

quedan tres puntos a discutir

¿Qué pasa si  tenemos que construir la $\bigcirc$ para los casos en que?

  1. Los puntos estan en linea recta
  2. Dos puntos coinciden
  3. Tres puntos coinciden

Corolarios

  1. Por tres puntos no situados en linea recta puede pasar una circunferencia y solo una
  2. Dos circunferencias no pueden cortarse en mas de dos puntos
  3. Una recta y una circunferencia no pueden tener mas de dos puntos comunes, salvo el caso en que coinciden, es decir , si $r=\infty$

Relación entre las cuerdas y sus distancias al centro

a) Las cuerdas iguales

TEOREMA III

En una misma $\bigcirc$, o en $\bigcirc s$ congruentes, cuerdas iguales equidistan del centro.

Hipotesis  AB=CD

Tesis OM =ON

Demostración

$$B(\leftrightarrow)O(\leftrightarrow)C$$

Resulta

$$\triangle{OMB}\cong \triangle {ONC}$$

por tener

$$OB=OC \text{= Radio}$$

$$B=NC \text{ M y N son puntos medios de AB y CD}$$

$$\angle{OMB}=\angle{ONC}=90º$$

$$\therefore OM=ON$$

Demostración del teorema III

Si es necesario se traslada una de las cuerdas hasta que ambas tengan un extremo común en B.

$$M\leftrightarrow N$$

$$MN=NB\text{Mitades de cuerdas iguales}$$

$$\therefore \triangle MBN \text{ isosceles}$$

$$\therefore \alpha =\beta \text{ ángulos basales}\triangle\text{isosceles}$$

$$\therefore \gamma =\delta \text{ Por tener complementos iguales}$$

$$\therefore\triangle{MNO} \text{ Isosceles}$$

Luego $\mathbf{OM}=\mathbf{ON}$ (Q.E.D)

b) Las cuerdas son desiguales

Teorema IV

En una misma circunferencia o en circunferencias congruentes, de dos cuerdas desiguales , la mayor dista menos del centro

Hipotesis.)   CD>AB

Tesis.)  OF<OI

Demostración

se traza CE=AB

Resulta OG=OI

En $\triangle \text{ recto HFO} $

OF < OH ( En un $\triangle $ a mayor $\angle$ se opone mayor lado)

Entonces OF<OG

Luego OF<OI Q.E.D

2ª Demostracion del teorema IV

Hipotesis.-  $\overline {AB}>\overline{BC}$

Tesis.- OE<OD

Demostración

$$ED\leftrightarrow D \text{ Puntos medios}$$

Resulta$$EB>BD \text{ Mitades de cuerdas desiguales}$$

$$\therefore \beta > \alpha$$

En un $\triangle$ a mayor lado se opone un mayor ángulo.

$$\delta<\gamma \text{  Complementos desiguales}$$

Luego OE<OD

En un $\triangle$ a menos ángulo se opone menor lado.

Nota: Se puede observar que la magnitud  de una cuerda de una circunferencia depende de su distancia al centro. si esta crece pasando por todos los valores entre sus limites extremos, de cero a r, la cuerda decrece pasando por todos los valores desde su máximo valor, 2r, a un valor mínimo , cero, el cual es un simple punto.

Teorema V

En una misma circunferencia los arcos comprendidos entre paralelas son iguales

Hipótesis $AB\parallel DE$

Tésis $\widehat{ AD}=\widehat {BE}$

Demostración

Se hace $$OH\perp AB$$

resulta $$OC\perp DE$$

$$\widehat{ AH}=\widehat {BH}$$

$$\widehat{ AH}=\widehat {EH}$$

restando miembro a miembro

$$\widehat{ AH}-\widehat {DH}=\widehat{ BH}-\widehat {EH}$$

luego

$$\widehat{ AD}=\widehat {BE}$$

Observación

Resultaria interesante demostrar el teorema V en el caso en que $AB\parallel FI \text{ una secante y otra tangente}$ y en el caso en que $MN\parallel FI \text{  las dos }\parallel ‘s\text{ son tangentes }$.

Teorema VI (Reciproco del V)

Dos cuerdas de una circunferencia  que unen los extremos homólogos de dos arcos iguales son paralelas.

Hipotesis $\widehat {AD}=\widehat {BE}$

Tesis $AB \parallel DE$

Demostración

Se traza $$OH\perp AB$$

se tiene que

$$D\leftrightarrow O \leftrightarrow E$$

Resulta

$$\widehat {AH}=\widehat {BH}$$

y

$$\widehat {DH}=\widehat {EH}$$

$$\angle 1=\angle 2 \text{ Teorema 1 , reciproco}$$

Tambien $OH \perp DE$ (OC = bisectriz de $\triangle$ isosceles DEO)

Luego $AB \parallel DE$ ( dos ó mas $\perp$ a una misma recta).

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

( en proceso)

 

 

 

 

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