PROGRAMACIÓN LINEAL (ejercicios)

  Álgebra

1.-Determine el intervalo en que se cumple la siguiente inecuación

$\frac{x-1}{4}<\frac{x+3}{3}+\frac{x-5}{2}$

Desarrollo

$$\frac{x-1}{4}<\frac{x+3}{3}+\frac{x-5}{2}\\3x-3<4x+12-6x+30\\5x<45\\x<9\\x\in (-\infty,9)$$


2.- A un vendedor de coches le ofrecen en un concesionario 1200 Euros de sueldo fijo más 190 Euros por coche vendido. En otro concesionario le ofrecen 1600 Euros de fijo más 110 Euros por coche vendido. ¿cuantas maquinas debe vender para considerar la segunda opción como más rentable?

Planteando por ecuaciones

$$1200+190x=1600+110x\\80x=400\\x=5$$

Esto implica que en x=5 unidades ambas ofertas le reportan el mismo ingreso, sin embargo al vender menos de 5 unidades la segunda opción le es mas rentable, por ende $x\in [1,4]$


3.- Se tiene un presupuesto de $\$300.000$ para comprar dos tipos de queso. El queso A cuesta $\$7.000$ el kilo, el queso B cuesta $\$5.000$. ¿Cuántos kilos como máximo  hay que comprar de tipo A para no exceder el presupuesto, si se impone la condición que la cantidad a comprar de tipo B sea el doble que la cantidad a comprar de tipo A?

Considerando el enunciado el contexto del problema se reduce a dos condiciones.

$$7000A+5000B \leq 300000  \\B=2A$$

De donde

$$7000A+10000B\leq 300000\\27000A\leq 300000\\a\leq 11,11 \text{ entonces} \\B\leq 22,22$$


4.- Una compañía elabora un producto a un costo variable por unidad de $\$20.000$ y lo vende por $\$32.000$. Los costos fijos mensuales son de $\$25.000.000$

a) ¿Cuántas unidades debe elaborar y vender al mes con el fin que la compañía obtenga alguna utilidad?

Por inecuación

$$25.000.000+20.000 \geq 32.000 \\ 12.000 x \geq 25.000 \\ x \geq 2084$$

Es decir debe producir,  a lo menos, 2085 unidades para tener alguna utilidad. Si produce 2084 unidades solo recupera lo invertido. $x\in [2085, \infty]$

b) ¿Cuántas unidades debe elaborar y vender al mes con el fin que la compañía tenga utilidades de al menos $\$20.000.000$ al mes?

$$Ingresos-Costos=Utilidad$$

$$32000x-(25000000+20000x) >20000000\\32000x- 25000000-20000x) >2000000\\32000x-20000x>20000000+25000000\\12000>45000000\\x>3750$$

Por ende debe producir, al menos 3751 unidades para tener utilidades de al menos $20.000.000.


5.- Por fabricar un producto la compañía gasta 20UM por concepto de mano de obra y 12 UM por concepto de material. Los costos fijos mensuales de la fábrica que elabora este único producto son de 12.000 UM. ¿Cuántas unidades debe elaborar al mes para que el costo total no pase 24.000UM en el mes?

$$32x+12000 \leqslant 24000\\x\leqslant 375$$

Por ende debe elaborar 375 unidades. No más.


6.- Una empresa donde produce sillas y mesas, tiene una ganancia por mesa de tres (3) dólares, para construir una necesita invertir dos (2) horas maquina y una (1) hora hombre. Para la empresa producir una silla necesita invertir seis (6) horas maquina y cuatro (4) horas hombre donde tiene una ganancia de cinco (5) dólares por silla. Nuestro máximo disponible por horas maquinas será de dos (2) y el máximo disponible para horas hombre será́ de seis (6)

Artículo Ganancias Horas Máquina Horas hombre
Mesas $\$3$ 2 1
Sillas $\$5$ 6 4

 

Para obtener nuestra ecuación llamaremos a las mesas con X y las sillas con Y.

Ecuación

$$2X + 6Y ≤ 12 \\X+4Y\leqslant 7 $$ Función Objetiva $$ F = 3X + 5Y $$

A continuación veremos el resultado de Y cuando igualamos X a cero (0) y el resultado de X cuando igualamos Y a cero (0) en ambas Primera ecuación para Horas Máquina:
$$2X + 6Y \leqslant 12\\2(0) + 6Y \leqslant 12\\6Y\leqslant12\\Y\leqslant2$$ $$2X + 6Y \leqslant 12\\2 + 6(0) \leqslant 12\\2x\leqslant12\\x\leqslant6$$

 

Segunda ecuación para Horas Hombre:

$$X’ + 4Y’ \leqslant 7\\(0) + 4Y’ \leqslant 7\\6Y\leqslant7\\Y’\leqslant1,75$$ $$X’ + 4Y’ \leqslant 7\\X + 4(0) \leqslant 17\\X’\leqslant12\\x\leqslant7$$

 

de donde se deduce que

Descripción X Y X’ Y’
Horas Máquina 0 2 0 1,75
Horas Hombre 6 0 7 0

 

La gráfica correspondiente permite establecer una relación

Puntos para Horas Máquina, A = (0, 2) y B = (6, 0)
Puntos para Horas Hombre , C = (0, 1.75) y D = (7, 0)
El punto donde se cortan las lineas lo llamaremos punto, E = (3, 1).

 

De esta forma podemos tener nuestros puntos factibles necesarios para así determinar la función objetiva. Nuestros puntos factibles son CEB, donde C = (0, 1.75), E = (3, 1) y B = (6, 0).Solución: F = 3X + 5YFunción objetiva para el punto C, donde se producen sillas; C = 3(0) + 5(1.75) = 8.75Función objetiva para el punto E, donde se producen sillas y mesas; E = 3(3) + 5(1) = 14Función objetiva para el punto B, donde se producen mesas; B = 3(6) + 5(0) = 18Luego de realizar estos cálculos podemos ver que para que la empresa reciba un mayor beneficio debe producir solamente mesas.


7.- Una compañía de química programa la producción de ciertos tipos de mezclas, donde el material M es igual a 8 dólares por paquete y con un peso de 4 kilos, el material N es igual a 5 dólares por paquete con un peso de 2 kilos. Se requiere 100 kilos de la mezcla y se necesita emplear no menos de 20 paquetes de N para hacer la mezcla. ¿Cuántos paquetes se debe usar para minimizar los costos?Tenemos para M = X y para N = Y, donde M = $\$8.00$ por paquete con un peso de 4kilos y donde N = $\$5.00$ por paquete con un peso de 2kilos. También tenemos 100kilos por lo menos 20 paquetes de N.

Ecuaciones;

4X = 2Y ≥ 100  Y ≥ 20 X ≥ 0

Función Objetiva;

F=8X + 5Y

 

Solución:

$$4x+2y\leq100\\4(0)+2y\leq100\\2y\leq100\\y\leq50$$ $$4x+2y\leq100\\4x+2(0)\leq100\\4x\leq100\\x\leq25$$

 

y la correspondiente grafica

Luego de conocer nuestros puntos factibles, procedemos a determinar la función objetiva. Los puntos factibles son A y D, donde A = (0, 50) y D = (15, 20).Solución: F = 8X + 5Y A = 8(0) + 5(50) = 250D = 8(15) + 5(20) = 220Luego de obtener estos cálculos podemos determinar que el punto donde mejor minimizamos los costos es en el punto (15,20).


Problemas propuestos

 

8.- Un fabricante de alfombras dispone de las siguientes existencias de lana: 500 kg de color azul, 400 kg de color verde y 225 kg de color rojo. Desea fabricar alfombras de dos tipos que llamaremos A y B. Las del tipo A llevan 1 kg de lana azul y 2 kg de lana verde. Las del B, 2 kg de lana azul, 1 kg de verde y 1 kg de roja. Por cada alfombra del tipo A obtiene un beneficio de 2000 pts y 300 pts por cada una del tipo B. ¿Cuántas debe fabricar para que la ganancia sea máxima? ¿Qué cantidad de lana de cada clase quedará después de fabricar las 100 alfombras A y las 200 B?


9.- Un taller puede fabricar piezas de dos tipos: A y B. hay que considerar estos factores de producción: mano de obra, materias primas y equipo, con las limitaciones que aparecen en la fila inferior del siguiente cuadro:

Pieza Mano de obra Materia prima Equipo Beneficios
A 4 1 1 2
B 1 1 2 1
Limitación 17 5 10 Máximo

 

Determinar cuántas piezas se pueden fabricar de cada tipo para obtener el máximo beneficio.


10.- Una fábrica produce neveras utilitarias y de lujo. La fábrica está dividida en dos secciones: montaje y acabado. Los requerimientos vienen dados por la siguiente tabla:

Montaje Acabado
Utilitaria 3 horas 3 horas
Lujo 3 horas 6 horas

 

y el máximo número de horas de trabajo disponibles son de 120 en montaje y 180 en acabado diariamente debido a las limitaciones de operarios.

Si el beneficio es de 30000 pesetas por cada nevera utilitaria y 40000 pesetas por cada nevera de lujo, ¿cuántas deben fabricarse diariamente de cada una para obtener un máximo beneficio?


11.- Una universidad encarga a un profesor la confección de los exámenes de Selectividad de Matemáticas I y Matemáticas II, indicándole según refleja la tabla adjunta, el número de ejercicios de cada parte de la materia que debe poner en cada opción.

Matemáticas I Matemáticas II
Análisis 3 3
Álgebra. Geometría 2 1
Estadística 1 2

 

El profesor dispone de una colección de 36 ejercicios de Análisis, 20 de Álgebra y otros 20 de Estadística. La universidad le abonará 3000 pts y 5000 pts por cada examen propuesto de Matemáticas I y Matemáticas II, respectivamente. ¿Cuántos debe proponer de cada opción para obtener unos ingresos máximos?


12.-  Se desea fabricar dos tipos de bombones que llamaremos A y B. Las cajas del tipo A contienen 1 kg de chocolate, 2 kg de cacao; las del tipo B contienen 2 kg de chocolate, 1 kg de cacao y 1 kg de almendras. Disponemos de 500 kg de chocolate, 400 kg de cacao y 225 kg de almendras. Por cada caja del tipo A se ganan 200 pts y por cada caja del tipo B 300 pts. ¿Cuántas cajas de cada tipo hay que fabricar para que la ganancia sea máxima?


13.- Un afamado peluquero unisex atiende diariamente, previa cita telefónica, a señoras y caballeros. Los productos que utiliza los elabora artesanalmente (de ahí su fama), siendo su producción diaria de 24 dosis de champú, 16 de loción capilar tonificante y 10 de tinte.

Arreglando a una señora utiliza 3 dosis de champú, 1 de loción y 1 de tinte, mientras que en un caballero emplea 1 dosis de champú, 2 de loción y 1 de tinte.

¿A cuántos individuos de cada sexo habrá que citar diariamente para maximizar sus ingresos, si los precios que tiene establecidos son 1800 y 1500 para el arreglo capilar de señoras y caballeros, respectivamente


14.- Una fábrica de quesos tiene almacenados 5000 litros de leche de vaca, 1000 de oveja y 850 de cabra. Produce dos tipos de queso:

Tipo A: necesita        30 litros de leche de vaca

10 litros de leche de oveja

10 litros de leche de cabra

Tipo B: necesita        20 litros de leche de vaca

15 litros de leche de oveja

10 litros de leche de cabra

Se vende el tipo A a 1300 pts y el tipo B a 1350 pts. ¿Cuántos quesos de hay que fabricar de cada clase para que la venta sea máxima?

 

15.- Un veterinario ha recomendado que durante un mes, un animal enfermo tome diariamente para su recuperación, al menos 4 unidades de hidratos de carbono, 23 de proteínas y 6 de grasa. En el mercado se encuentran dos marcas de pienso A y B con la siguiente composición:

Marca Hidratos Proteínas Grasa Precio
A 4 6 1 100 pts
B 1 10 6 160 pts

 

¿Cómo deben combinarse ambas marcas para obtener la dieta deseada al mínimo precio?

16.- Minimizar la funciónsujeta a las restricciones:

$$y\leqslant0$$ $$3y-2x-5\leqslant 0$$ $$y+x-5$\leqslant 0$$ $$x+y-5\leqslant 0$$ $$3y+x-2$$

 

 

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