Vamos por partes y ordenemos las ideas
1. DEFINICIÓN DE LA DERIVADA DE UNA FUNCIÓN
Supongamos que usted tiene dos puntos en el plano y desea calcular la pendiente de la recta que pasa por ellas. Por ejemplo entre los puntos (2,3) y (7, 6).
Para obtener la pendiente usted solo necesita determinar la razón entre las variaciones de x e y, y para ello solo debe determinar la medida entre x e y,
Tal como muestra la figura
Es decir que la pendiente se puede calcular como
$$m=\frac{\Delta y}{\Delta x}=\frac{6-3}{7-2}=\frac{3}{5}$$
Esto es, la recta crece a razón de 3 por cada 5.
Entonces ¿Cómo podemos llevar esto al formato de ecuación en la que queramos establecer la pendiente de una recta que pasa por dos puntos de ella?
Misma idea
En este caso
$$m=\frac{\Delta y}{\Delta x}=\frac {f(10)-f(2)}{10-2}=\frac {f(10)-f(2)}{8} $$
¿Y en forma general?
La pendiente de la recta que pasa por los puntos $(x,f(x)),(x+h,f(x+h))$ estará dada por
$$m=\frac{\Delta y}{\Delta x}=\frac {f(x+h)-f(x)}{x+h-x}$$ $$=\frac{f(x+h)-f(x)}{h}$$
Por consiguiente la idea de la derivada es determinar la pendiente de la recta que toca a la curva en un único punto, es decir cuando la medida de h sea prácticamente cero. De aquí la interpretación del límite para definir la derivada.
$$f'(x)=\lim_{h\to 0} \frac{f(x+h)-f(x)}{h}$$
Veamos un ejemplo concreto. Dada la función$y=x^2+5x+6$ ¿Cuál será el valor de la pendiente de la recta tangente para cualquier valor de x?
$$f'(x)=\lim_{h\to 0} \frac{f(x+h)-f(x)}{h} $$ $$ =\lim_{h\to 0} \frac{(x+h)^2+5(x+h)+6 -(x^2+5x+6)}{h} $$ $$ =\lim_{h\to 0} \frac{x^2+2xh+h^2+5x+5h+6 – x^2-5x-6}{h}. $$ $$=\lim_{h\to 0} \frac{2xh+h^2+5h}{h} $$ $$ =\lim_{h\to 0} \frac{h(2x+h+5)}{h} $$ $$ =\lim_{h\to 0} (2x+h+5)$$ $$=2x+5$$
Entonces…
¿Cuál es el valor de la derivada en x=3?
$$f'(x)=2x+5 $$ $$ f'(3)=2(3)+5=11$$
¿Y en que punto será cero?
$$f'(x)=0\Rightarrow 2x+5=0 \Rightarrow x=\frac{-5}{2}$$
Y eso nos permite fácilmente obtener los puntos donde la curva tiene su punto mas alto o su punto mas bajo. A eso proceso le llamaremos análisis de máximos, mínimos y puntos de inflexión.
Ejercicios
Calcula la derivada con respecto a $x$ de $f(x)=x$
Calcula la derivada con respecto a $x$ de $f(x)=x^2$
Calcula la derivada con respecto a $x$ de $f(x)=2x+1 $
Calcula el valor de $f(x+h)-f(x)$ si $f(x)=x^2+x$
Calcula el valor de $g(x+h)-g(x)$ si $g(x)=\frac {1}{x^2}$
Calcula el valor de $f(x+h)-f(x)$ si $f(x)=1-x^3$
Calcula el valor de $\frac {f(x+h)-f(x)}{h}$ si $f(x)=x+2$
Calcula el valor de $\frac {f(x+h)-f(x)}{h}$ si $f(x)=-x+3$
Calcula el valor de $\frac {f(x+h)-f(x)}{h}$ si $f(x)=x^2+1$
Calcula el valor de $\lim_{h\to 0}\frac {f(x+h)-f(x)}{h}$ si$f(x)=2x^2+2$
Calcula el valor de $\lim_{h\to 0}\frac {f(x+h)-f(x)}{h}$ si $f(x)=x^3+2$
Calcula el valor de $\lim_{h\to 0}\frac {f(x+h)-f(x)}{h}$ si $f(x)=-2x^2$
Calcula el valor de $\lim_{h\to 0}\frac {f(x+h)-f(x)}{h}$ si $f(x)=\frac{3}{5}x$
2. DERIVADA DE UNA CONSTANTE
Sea $f(x)=a$ una constante, entonces $\frac{da}{dx}=0$; es decir, la derivada de una constante siempre es cero.
Si $h(x)=5$ entonces $\frac{d}{dx} 5=0$
Si $f(x)=\frac{1}{2}$ entonces $\frac{d}{dx} \frac{1}{2}=0$
Si $g(x)=\pi$ entonces $\frac{d}{dx} \pi=0$
Si $h(x)=e^{5}$ entonces $\frac{d}{dx} e^{5}=0$
Si $f(x)=\frac{1}{2}$ entonces $\frac{d}{dx} \frac{1}{2}=0$
3. DERIVADA DE $f(x)=x$
Sea $f(x)=x$, entonces la derivada de la función $f$ con respecto a $x$ es uno.
La derivada de $f(x)=2x$ es $f'(x)=2$
La derivada de $f(x)=-3x$ es $f'(x)=-3$
La derivada de $f(x)=\frac{3}{4}x$ es $f'(x)=\frac{3}{4}$
La derivada de $f(x)=bx$ es $f'(x)=b$
La derivada de $f(x)=\pi x$ es $f'(x)=\pi$
Ejercicios
Determina la derivada de $f(x)=5x$
Determina la derivada de $f(x)=-8x$
Determina la derivada de $f(x)=(a+b)x$
Determina la derivada de $f(x)=\frac{3}{5}x$
4. DERIVADA DE UNA SUMA
Si $f$ y $g$ son funciones de x entonces $\frac{(f+g)}{dx}=\frac{d}{dx}f+\frac{d}{dx}g$, es decir:
la derivada de una suma es igual a la suma de las derivadas.
Por ejemplo si $f(x)=ax+bx+cx/ a,b,c \in R $, entonces $$\frac {f(x)}{dx}=\frac {f(x)}{dx}=\frac {d(ax+bx+cx)}{dx}=\frac {ax}{dx}+\frac {bx}{dx}+\frac {cx}{dx}=a+b+c$$
Ejemplos
La derivada de $f(x)=5x+2$ es $\frac{d(5x+2)}{dx}=\frac{d(5x)}{dx}+\frac{d(2)}{dx}=5+0=5$
La derivada de $f(x)=3x+7x$ es $\frac{d(3x+7x)}{dx}=\frac{d(3x)}{dx}+\frac{d(7x)}{dx}=3+7=10$
La derivada de $f(x)=-4x+\frac{5}{2}x$ es $\frac{d(-4x+\frac{5}{2}x)}{dx}=\frac{d(-4x)}{dx}+\frac{d(\frac{5}{2}x)}{dx}=-4+\frac{5}{2}=\frac{-3}{2}x$
La derivada de $f(x)=6x-3x+10$ es $\frac{d(6x-3x+10)}{dx}=\frac{d(6x)}{dx}+\frac{d(-3x)}{dx}+\frac{d(10)}{dx}=6-3+0=3$
Ejercicios
Determina la derivada de $f(x)=3x+2$
Determina la derivada de $f(x)=\frac{x}{4}+6x$
Determina la derivada de $f(x)=5+4x$
Determina la derivada de $f(x)=3+\frac{x}{2}$
Determina la derivada de $f(x)=\frac{-3x}{5}+6x+1$
Determina la derivada de $f(x)=\frac{x}{4}+3x+2$
Determina la derivada de $f(x)=5x-3x+2$
Determina la derivada de $f(x)=ax+b$
Determina la derivada de $f(x)=3x+a$
Determina la derivada de $f(x)=\frac{a}{2}x+x$
5. DERIVADA DE UNA FUNCIÓN DEL TIPO $f(x)=ax^n$
Sea $f(x)=ax^n$, en donde a y n son constantes entonces $\frac{d}{dx}ax^n=nax^{n-1}$
Ejemplos
La derivada de $f(x)=3x^2$ es $\frac{d(3x^2}{dx}=2(3)x^{2-1}=6 x^{1}=6x$
La derivada de $f(x)=5x^4$ es $\frac{d(5x^4}{dx}=4(5)x^{4-1}=20 x^{3}$
La derivada de $f(x)=3x^{\frac{2}{3}}$ es $\frac{d\left(3x^{\frac{2}{3}}\right)}{dx}=\frac{2}{3}\cdot(3)x^{\frac{2}{3}-1}=2 x^{\frac{-1}{3}}$
La derivada de $f(x)=2x^\sqrt{2}$ es $\frac{d\left(2x^\sqrt{2}\right)}{dx}=\sqrt{2}(2)x^{\sqrt{2}-1}=2\sqrt{2} (x)^{\sqrt{2}-1}$
Ejercicios
Determina la derivada de $f(x)=5x-2$
Determina la derivada de $f(x)=x^2$
Determina la derivada de $f(x)=2x^2$
Determina la derivada de $f(x)=-3x^2$
Determina la derivada de $f(x)=ax^4$
Determina la derivada de $f(x)=\frac{1}{2}-2x$
Determina la derivada de $f(x)=x^{\frac{2}{3}}$
Determina la derivada de $f(x)=3x^2+2x+1$
Determina la derivada de $f(x)=3x^{\frac{1}{5}}-3x^3+x$
Determina la derivada de $f(x)={\frac{3}{5}}x^5+2x$
Determina la derivada de $f(x)={\frac{1}{3}}x^3+2a$
Determina la derivada de $f(x)={\frac{2}{5}}x^5+x$
Determina la derivada de $f(x)={\frac{1}{a}}x^n$, tal que a es una constante.
Determina la derivada de $f(x)={\frac{1}{x^2}}+x$
Determina la derivada de $f(x)={\frac{3}{x^3}}+x$
Un poquito más avanzados
Determina la derivada de $f(x)=\sqrt{x}$
Determina la derivada de $f(x)=2\sqrt{x}+5$
Determina la derivada de $f(x)=\sqrt[3]{x}$
Determina la derivada de $f(x)=\sqrt[3]{x^2}$
Determina la derivada de $f(x)=\sqrt[4]{x^3}-3$
Determina la derivada de $f(x)=\frac{1}{\sqrt {x}}$
Determina la derivada de $f(x)=\frac{1}{\sqrt [3]{x}}$
posteriormente agregare mas ejercicios, y sus correspondientes desarrollos.
Buenos dias/tardes/ noches, según corresponda.
Eduardo.
