6. DERIVADA DE UN PRODUCTO
Sea $h(x)=f(x)\cdot g(x)$ tal que $f(x)$ y $g(x)$ son dos funciones continuas en un mismo intervalo dado, entonces $$\frac {d}{dx}(h)=f \frac {d}{dx}(g)+g \frac {d}{dx}(f)$$
Es decir: “la derivada de un producto de dos funciones es la primera por la derivada de la segunda, más la segunda por la derivada de la primera”. Obviamente esto es genérico para el producto de 3 ó más funciones, pero inicialmente lo consideraremos para 2.
La demostración suele ser saltada en muchos textos, razón por la me tomare la libertad de explicarla aquí buscado la forma de simplificarla en base a lo visto al capitulo I.
Sabemos que $$f'(x)=\frac{d}{dx}f(x)=\lim_{h\to 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}$$
entonces ampliemos para un producto de dos funciones $f(x)$ y $g(x)$
$$\frac{d}{dx}f(x)g(x)=\lim_{h\to 0}\frac{f(x+h)g(x+h)-f(x)g(x)}{h}$$
sumemos un cero al numerador, en este caso $f(x)g(x+h)-f(x)g(x+h)$.
Se tendrá entonces que
$$\frac{d}{dx}f(x)g(x)=\lim_{h\to 0}\frac{f(x+h)g(x+h)-f(x)g(x)+f(x)g(x+h)-f(x)g(x+h)}{h}$$
y reordenemos la idea
$$\frac{d}{dx}f(x)g(x)=\lim_{h\to 0}\frac{f(x+h)g(x+h)-f(x)g(x)+f(x)g(x+h)-f(x)g(x+h)}{h}$$
$$\frac{d}{dx}f(x)g(x)=\lim_{h\to 0}\frac{f(x+h)g(x+h)-f(x)g(x+h)-f(x)g(x)+f(x)g(x+h)}{h}$$
y factorizar adecuadamente los primeros dos términos por $g(x+h)$ , y en los demás por $f(x)$
$$\frac{d}{dx}f(x)g(x)=\lim_{h\to 0}\frac{g(x+h)\left(f(x+h)-f(x)\right)-f(x)\left(g(x)+g(x+h)\right)}{h}$$
Ordenemos un poco más
$$\frac{d}{dx}f(x)g(x)=\lim_{h\to 0}g(x+h)\frac{f(x+h)-f(x)}{h}+\lim_{h\to 0}g(x+h)\frac{g(x)-g(x+h)}{h}$$
además, sabemos que $$\lim_{h\to 0}f(x)g(x)=\lim_{h\to 0}f(x)\cdot \lim_{h\to 0}g(x)$$
entonces se tendrá que
$$\frac{d}{dx}f(x)g(x)=\lim_{h\to 0}g(x+h)\cdot \lim_{h\to 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}-\lim_{hx\to 0}f(x+h) \cdot \lim_{h\to 0}\frac{g(x)+g(x+h)}{h}$$
por lo tanto al evaluarlo se tendra que
$$\frac{d}{dx}fg(x)=g\frac{d}{dx}f(x)+f\frac{d}{dx}g(x)$$
Ordenemos para ser coherentes con la definición, dado que la adición es conmutativa.
$$\frac{d}{dx}fg(x)=f\frac{d}{dx}g(x)+g\frac{d}{dx}f(x)$$
Ejemplos
Determine la derivada de $f(x)=(x+2)(x+1)$
$$\frac{d}{dx}f(x)=(x+2)\frac{d}{dx}(x+1)+(x+1)\frac{d}{dx}(x+2)\\=(x+2)(1)+(x+1)(1)\\=(x+2)+(x+1)\\=2x+3$$
Determine la derivada de $f(x)=(x+5)(3-x)$
$$\frac{d}{dx}f(x)=(x+5)\frac{d}{dx}(3-x)+(3-x)\frac{d}{dx}(x+5)\\=(1)(3-x)+(-1)(x+5)\\=3-x-x-5\\=-2x-2$$
Determine la derivada de $f(x)=(3x+5)(3-2x)$
$$\frac{d}{dx}f(x)=( 3x+5 )\frac{d}{dx}( 3-2x )+( 3-2x. )\frac{d}{dx}( 3x+5. )\\=( 3 )( 3-2x )+( -2 )( 3x+5 )\\= 9-6x-6x-10\\=–12x-1$$
Ahora a trabajar
Ejercicios
Determine la derivada de $(2x-5)(3-x)$
Determine la derivada de $(a+x)(a-x)$
Determine la derivada de $x(x+1)$
Determine la derivada de $2x(x+3)$
Determine la derivada de $x+4)(3-x)$
Determine la derivada de $3(x+1)(2x+4)$
Determine la derivada de $5(2-x)(3x+7)$
Determine la derivada de $-2(2x+4)(6x+1)$
Determine la derivada de $-3(3x+1)(2-2x)$
Determine la derivada de $(2+x)(3+x)(5+x)$
Determine la derivada de $(3-x)(2-x)(5-x)$
Determine la derivada de $(x^{1/2}+2)(x-1)$
Determine la derivada de $x^2(x+1)$
Determine la derivada de $(2-x^2)(1-x)$
