¿Qué es una Derivada? – Capitulo III

  Cálculo

7. DERIVADA DE UN COCIENTE. (demostración)

Sea $h(x)=\frac {f(x)}{g(x)}$ una función compuesta por el cociente entre dos funciones $f(x)$ y $g(x)$ continuas en un mismo intervalo y tales que $g(x)$ no es cero en ningún punto del mismo. Se define entonces

$$\frac{d}{dx}h(x)=\lim_{h\to 0}\frac{\frac{d}{dx}f(x)\cdot g(x)- \frac{d}{dx}g(x)\cdot f(x) }{(g(x))^2}$$

o, escrito en la notación de Newton

$$h'(x)=\frac{f'(x)\cdot g(x)-g'(x)\cdot f(x)}{[g'(x)]^2}$$

Es decir que: “La derivada de un cociente de funciones es la de abajo por la derivada de la de arriba menos la de arriba por la derivada de la de abajo, todo dividido por la de abajo al cuadrado”.

Una forma burda de expresar la idea, pero funcional para memorizar.

¿Y la demostración?

Hay al menos dos formas de hacerla.  Primero apliquemos una regla de potencias.

Sabemos que todo exponente negativo implica un denominador, entonces podemos cambiar la expresión de cociente a un producto.

$$y’=f'(x)\cdot [g(x)]^{-1} + f(x)\cdot \left({[g(x)]^{-1}}\right)’$$

entonces

Aplicamos la fórmula de la derivada de una potencia, vista en el capitulo anterior:

$$\displaystyle y’=f'(x)\cdot [g(x)]^{-1} + f(x)\cdot [-g(x)]^{-2}\cdot g'(x)$$

Y procedemos a aplicar la regla:

$$\displaystyle y’=\frac{f'(x)}{g(x)} – \frac{f(x) \cdot g'(x)}{[g(x)]^2}$$

Restando las fracciones, tal como sabemos hacerlo :

$$\frac {a}{b}-\frac{c}{d}=\frac{ad-bc}{bd}$$

Quedará

$$\displaystyle y’=\frac{f'(x) \cdot g(x) – f(x) \cdot g'(x)}{[g(x)]^2}$$

Por este método queda demostrada la primera ecuación.

Pero…  hay otra forma de hacer la misma demostración

Por este segundo método, un tanto más formal, utilizaremos el concepto de límite, y la definición de derivada.

Recordemos que podemos definir a la derivada de la siguiente manera:

$$\displaystyle \boxed{y’= \lim_{\Delta x\to 0}\; \frac{f(x+\Delta x) – f(x)}{\Delta x}}$$

Procedamos a demostrar la fórmula de la derivada del cociente mediante la definición de derivada.

Al cociente de funciones lo escribiremos como la función cociente:

$$\displaystyle y=\frac{f(x)}{g(x)}=\left({\frac{f}{g}}\right)(x)$$

Si sustituimos esta función en la definición de derivada, nos queda:

$$\displaystyle y’= \lim_{\Delta x\to 0}\; \displaystyle \frac{\displaystyle \left({\frac{f}{g}}\right)(x+\Delta x) – \left({\frac{f}{g}}\right)(x)}{\Delta x}$$

Ahora volvemos a descomponer nuestra función cociente en el cociente de funciones, de tal modo que:

$$\displaystyle y’= \lim_{\Delta x\to 0}\; \frac{\displaystyle \frac{f(x+\Delta x)}{g(x+\Delta x)}-\frac{f(x)}{g(x)}}{\Delta x}$$

Simplificando:

$$\displaystyle y’= \lim_{\Delta x\to 0}\; \displaystyle \left[ \frac{f(x+\Delta x)}{g(x+\Delta x)\cdot \Delta x}-\frac{f(x)}{g(x)\cdot \Delta x} \right]$$

Ahora, al término $\displaystyle f(x+\Delta x)$ vamos a restarle $f(x) $.

El problema es que al hacer esto modificaríamos la expresión, por tanto también vamos a sumárselo. La idea es Hacer un cero convenientemente anotado, es decir $-f(x)+f(x)$

$$\displaystyle y’= \lim_{\Delta x\to 0}\; \displaystyle \left[ \frac{f(x+\Delta x)-f(x)+f(x)}{g(x+\Delta x)\cdot \Delta x}-\frac{f(x)}{g(x)\cdot \Delta x} \right]$$

Ahora separando los términos en una forma conveniente y sin modificar la expresión:

$$\\displaystyle y’= \lim_{\Delta x\to 0}\; \displaystyle \left[ \frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{g(x+\Delta x)\cdot \Delta x}+\frac{f(x)}{g(x+\Delta x)\cdot \Delta x}-\frac{f(x)}{g(x)\cdot \Delta x} \right]$$

Operando con cuidado se llega a que :

$$\displaystyle y’= \lim_{\Delta x\to 0}\left[ \frac{\displaystyle \left[{\frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}}\right]}{g(x+\Delta x)} +\frac{f(x)}{g(x+\Delta x)\cdot \Delta x}-\frac{f(x)}{g(x)\cdot \Delta x} \right]$$

Ahora restando las fracciones:

$$\displaystyle y’=\lim_{\Delta x\to 0} \left[ \frac{\displaystyle \left[{\frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}}\right]}{g(x+\Delta x)}+\displaystyle \frac{f(x)\cdot g(x) – f(x) \cdot g(x+\Delta x)}{g(x)\cdot g(x+\Delta x) \cdot \Delta x} \right]$$

Luego sacamos factor común.

$$\displaystyle y’=\lim_{\Delta x\to 0} \left[ \frac{\displaystyle \left[{\frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}}\right]}{g(x+\Delta x)}+\displaystyle \frac{f(x)\left[{ g(x) -g(x+\Delta x)}\right]}{g(x)\cdot g(x+\Delta x) \cdot \Delta x} \right]$$

Ahora vamos a multiplicar a la segunda fracción por $(-1)$. Obviamente para no alterar la expresión, multiplicaremos numerador y denominador:

$$\displaystyle y’= \lim_{\Delta x\to 0} \left[ \frac{\displaystyle \left[{\frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}}\right]}{g(x+\Delta x)}+\displaystyle \frac{-f(x)\left[{ g(x) -g(x+\Delta x)}\right]}{-g(x)\cdot g(x+\Delta x) \cdot \Delta x} \right]$$

Reescribiendo la idea:

$$\displaystyle y’= \lim_{\Delta x\to 0} \left[ \frac{\displaystyle \left[{\frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}}\right]}{g(x+\Delta x)}-\displaystyle \frac{f(x)\left[{g(x+\Delta x) – g(x) }\right]}{g(x)\cdot g(x+\Delta x) \cdot \Delta x} \right]$$

Y ahora volvemos a separar los términos convenientemente, sin modificar la expresión, de tal que

$$y’= \frac{\displaystyle \lim_{\Delta x\to 0}{\left[{\frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}}\right]}}{\displaystyle \lim_{\Delta x\to 0}{g(x+\Delta x)}} – \displaystyle \lim_{\Delta x\to 0}{\left[{\frac{g(x+\Delta x)-g(x)}{\Delta x}}\right]}\cdot \frac{\displaystyle \lim_{\Delta x\to 0}\;f(x)}{\displaystyle \lim_{\Delta x\to 0}{g(x+\Delta x)\cdot \displaystyle \lim_{\Delta x\to 0}{g(x)}}}$$

Conociendo los teoremas fundamentales de los límites, desarrollaremos la expresión:

$$y’= \frac{\displaystyle \lim_{\Delta x\to 0}{\left[{\frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}}\right]}}{\displaystyle \lim_{\Delta x\to 0}{g(x+\Delta x)}} – \displaystyle \lim_{\Delta x\to 0}{\left[{\frac{g(x+\Delta x)-g(x)}{\Delta x}}\right]}\cdot \frac{\displaystyle \lim_{\Delta x\to 0}\;f(x)}{\displaystyle \lim_{\Delta x\to 0}{g(x+\Delta x)\cdot \displaystyle \lim_{\Delta x\to 0}{g(x)}}}$$

Y analizamos  detalladamente esta última expresión.

Sabemos que $\displaystyle \lim_{\Delta x\to 0}{\left[{\frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}}\right]} $ es igual que la definición de derivada, por lo cual :

$$\displaystyle \lim_{\Delta x\to 0}{\left[{\frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}}\right]}=f'(x)$$

Y si sustituimos $\Delta x$ por 0 en la expresión: $ \displaystyle \lim_{\Delta x\to 0}{g(x+\Delta x)} $ , se obtiene:

$$\displaystyle \lim_{\Delta x\to 0}{g(x+\Delta x)}=g(x)$$

TAdemas sabemos que $\lim_{\Delta x\to 0}{\left[{\frac{g(x+\Delta x)-g(x)}{\Delta x}}\right]} $ es igual que la definición de derivada, salvo que con una g en lugar de con una f , por tanto:

$$\displaystyle \lim_{\Delta x\to 0}{\left[{\frac{g(x+\Delta x)-g(x)}{\Delta x}}\right]}=g'(x)$$

Y en la expresión $ \displaystyle  \lim_{\Delta x\to 0}{f(x)}$ , como no hay ningún $\Delta x$ que sustituir, se queda:

$$ \lim_{\Delta x\to 0} f(x)=f(x)$$.

Por lo tanto podemos decir lo mismo de $\lim_{\Delta x\to 0} {g(x)}$

$$\lim_{\Delta x\to 0} {g(x)=g(x)}$$

Y si sustituimos quedará:

$$\displaystyle y’=\frac{f'(x)}{g(x)}- g'(x) \cdot \frac{f(x)}{g(x) \cdot g(x)}$$

Reescribiendo esta expresión se llega a que :

$$\displaystyle y’=\frac{f'(x)}{g(x)}- \frac{g'(x) \cdot f(x)}{[g(x)]^2}$$

y simplificando convenientemente:

$$\displaystyle y’=\frac{f'(x)\cdot g(x) – g'(x) \cdot f(x)}{[g(x)]^2}$$

Por tanto, queda demostrado que:

$$\displaystyle \boxed{\boxed{\text{Si}\; y=\frac{f(x)}{g(x)} \Longrightarrow y’=\frac{f'(x)\cdot g(x) – g'(x) \cdot f(x)}{[g(x)]^2}}}$$

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