¿Y si me gano el kino ?

  Estadistica

Supongo que usted conoce el juego llamado Kino. Si así no fuere el explico que se trata de un juego de azar en que participan 25 bolitas numeradas de las cuales se seleccionan 14 para armar un cartón. Evidentemente gana quien tiene los 14 puntos, pero también son ganadores aquellos que tienen 13, 12, 11 y 10.

 

¿Cómo saber la cantidad de boletos que hay en juego? ¿Cuántos de esos boletos son premiados?¿Cuál es la probabilidad de ganar?¿Cuál es el mínimo puntaje que puede obtener?

 

Trataré de explicarlo en base a un juego similar.

El KeNo”

 

En este maravilloso juego de azar participan  10 bolitas numeradas de tal que se reparten cartones con 7 de ellos.  Pueden ganar aquellos que tengan 7 ó 6 puntos.

En la figura consideraremos buenos los puntos rojos y malos los grises, a modo de ejemplo.

La primera pregunta es

 

¿Cuál es el mínimo de puntos que pueden obtener al jugar?

 

La figura bastara para explicar esa pregunta.

 

Como se puede observar el primer boleto tiene todos los números ganadores, en tanto que el segundo tiene todos los números perdedores.

Claramente de los 10 puntos de juego  3 son perdedores, pero el cartón tiene 10 puntos. Por ende debe tener 4 de los ganadores por obligación, de otra forma no hay como completar el cartón.

Si lo llevamos a un modelo bastará con calcular la diferencia entre el doble de los puntos que aparecen en cada cartón  y el total de números en juego.

$${\text{puntaje}}_{\text{mínimo}}=2\cdot 7-10=14-10=4$$

Ahora al análisis:

Evidentemente solo puede haber un cartón con los 7 ganadores.

¿Cuántos cartones con 7 números diferentes puede haber?

Bastara aplicar una combinatoria de 10 sobre 7. Esto es, cuantos grupos diferentes de 7 elementos podemos armar con 10 elementos.

Sabemos que la formula que permite estos cálculos es

$$\binom{n}{k}=\frac{n!}{k!(n-k)!}$$

 

nota: ¿Quiere hacerlo con una calculadora Científica?  Use la tecla $_nC_k$ de la siguiente forma $10\,_nC_k\, 7$

 

por lo tanto, para 10 elementos agrupando solo 7 de ellos se tendrá que

$$\binom{10}{7}=\frac{10!}{7!(10-7)!}=\frac{10!}{7!(3)!}=\frac{10\cdot 9 \cdot 8\cdot 7!}{7!(3\cdot 2\cdot 1!)}=\frac{10\cdot9\cdot8}{3\cdot 2\cdot 1} =10\cdot 3\cdot 4 = 120 $$

Entonces, tenemos un total de $120$ cartones diferentes.

 

¿ A $\$1000$ cada uno, descontando los gastos de impresión y una comisión para el vendedor?…  No es malo.

 

Pero bueno. Ya sabemos que hay 120 posibles cartones, y solo un ganador.. pero

¿Cuántos cartones con 6 puntos puedo formar dados los 7 puntos ganadores?

Simplemente todas las agrupaciones de 6 puntos buenos que pueda armar con 7, y que tengan un punto malo de los 3.

esto es:

$$\binom{\text{total de buenos}}{\text{6 de ellos buenos}} \cdot \binom{\text{total de malos}}{\text{1 de ellos buenos}}$$

$$\binom{7}{6} \cdot \binom{3}{1}$$

$$\frac{7!}{6!(7-6)!}\cdot\frac{3!}{1!(3-1!}=7\cdot3=21 \text{ Cartones con 6 puntos}$$

¿y con 5 puntos?

5 de los 7 buenos, y 2 de los 3 malos.

$$\binom{\text{total de buenos}}{\text{5 de ellos buenos}} \cdot \binom{\text{total de malos}}{\text{2 de ellos buenos}}$$

$$\binom{7}{5} \cdot \binom{3}{2}$$

$$\frac{7!}{5!(7-5)!}\cdot\frac{3!}{2!(3-2!}=21\cdot 3=63 \text{ Cartones con 5 puntos}$$

¿y con 4 puntos?

4 de los 7 buenos, y 3 de los 3 malos.

$$\binom{\text{total de buenos}}{\text{4 de ellos buenos}} \cdot \binom{\text{total de malos}}{\text{4 de ellos buenos}}$$

$$\binom{7}{4} \cdot \binom{3}{3}$$

$$\frac{7!}{4!(7-4)!}\cdot\frac{3!}{3!(3-3!}=35\cdot 1=35 \text{ Cartones con 3 puntos}$$

¿y con tres puntos?

Ninguno… por que no se puede.

Usted, según se comprueba  en la imagen, jamas podrá tener menos de 4 puntos buenos.

Entonces, hagamos un análisis rápido y contemos.

Cartones con 7 puntos. 1
Cartones con 6 puntos. 21
Cartones con 5 puntos. 63
Cartones con 4 puntos. 35
Total 120 boletos

 

Como puede ver están considerados todos los casos. Están presentes los 120 cartones.

Pero ahora recuerde que en este juego solo puede ganar si saca 7 ó 6 puntos.

Esto implicaria que hay 22 boletos premiados, $(1+21)$, de un total de 120, por lo tanto las probabilidades de ganar serán:

 

$$P_{ganar}=\frac{\text{boletos con premio}}{\text{total de boletos}}$$

 

-De ganar el premio mayor $$\frac{1}{120}=0,00833 \rightarrow 0,83\%$$

-De ganar un precio secundario $$\frac{21}{120}=0,175 \rightarrow 17,5\%$$

por lo tanto

La probabilidad de ganar será $$\frac{22}{120}=0,18333 \rightarrow 18,33\%$$

Y la de perder será $$1-P_{ganar}=1-0,18333=0,816666 =81,67\%$$

 

¿Quiere jugar?  Juguemos

 

Ahora el caso del Kino. Tengo entendido que juegan 25 bolitas para cartones de 14 números.

Esto implica que hay

$$\binom{25}{14}=4457400 \text{  Boletos en juego}$$

En los cuales no se puede obtener menos de $3$ puntos

$$\text{Puntos mínimos}=2\cdot\text{números por cartón}-\text{total de números en juego}=2\cdot14-25=28-25=3$$

De ellos serán ganadores los que tengan 14, 13, 12, 11 y 10 puntos.

¿Cuántos hay de cada uno?

de 14 puntos $$\binom{14}{14}\cdot \binom{11}{0}=1 \text{ Cartones }$$
de 13 puntos $$\binom{14}{13}\cdot \binom{11}{1}=154 \text{ Cartones }$$
de 12 puntos $$\binom{14}{12}\cdot \binom{11}{2}=5005 \text{ Cartones }$$
de 11 puntos $$\binom{14}{11}\cdot \binom{11}{3}=60060 \text{ Cartones }$$
de 10 puntos $$\binom{14}{10}\cdot \binom{11}{4}=330330 \text{ Cartones }$$

 

Lo que arroja un total de $395550$ boletos premiados, de un total de  $4457400 $ boletos en juego, por ende las probabilidades de ganar se pueden calcular así.

$$P_{ganar}=\frac{\text{número de boletos con puntaje ganador}}{\text{total de boletos en juego}}$$

la probabilidad de obtener premio con será
14 puntos $$\frac{1}{4457400}= 0,000022\%$$
13 puntos $$\frac{154}{4457400}=0.00345\%$$
12 puntos $$\frac{5005}{4457400}=0,11229%$$
11 puntos $$\frac{60060}{4457400}=1,34742\%$$
10 puntos $$\frac{330330}{4457400}=7,41082\%$$

 

Entonces la probabilidad de recibir un premio, cualquiera, con un boleto comprado al azar será de

$$P_{ganar}=\frac{\text{boletos que reciben premio}}{\text{total de boletos en juego}}=\frac{395550}{4457400}=0,0887401$$

 

$$P_{ganar}=8,87401\%$$

¿y la de perder?

 

$$P_{perder}=1-\,P_{ganar}=1\,-\,0,0887401\%=0,91126$$

 

$$P_{perder}=91,126\%$$

¿Cuál es el valor de cada boleto?

Simple e inocente curiosidad de mi parte.

¿Qué opinan?

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