¿Cómo construir una tabla de frecuencia para variable continua?

  Estadistica

Aplicando en variable continua

Considere los siguientes 25 datos

\begin{array}{c|c|c|c|c} 1,7 & 8,2 & 9,6 &4,1 & 6,0 \\ \hline 0,9 & 2,0 & 9,0 &7,9 & 9,7\\ \hline 4,7 & 2,1 & 4,3 & 7,9 & 4,4\\ \hline 9,4 & 7,5 & 9,9 & 2,8 &1,2\\ \hline 9,5 & 6,9 & 3,5& 1,6& 9,6 \\  \end{array}

Para la elaboración de la tabla de frecuencia debe primeramente determinar los valores mínimo y máximo. En este caso $\text{Mínimo} = 0,9$ y $\text{máximo} =9.9$. Su diferencia entregara el tramo

En este caso el tramo será $9.9-0,9=9$

La cantidad de clases está dada por la ley de sturgues, según la cual indica que dicho número corresponde a la parte entera de $1+3.3$ por el logarítmo del número de datos. En nuestro caso
$$\text{Número de Clases}=\text{valor entero de} \left[1+3,3 \cdot (25)\right]=\text{valor entero de} \left[5,6132\right]=5$$

La longitud de clase corresponde al cociente entre el tramo y el número de clases

$$\text{longitud de clase}=\frac{\text{tramo}}{\text{Número de clases}}=\frac{9}{5}=1,8$$

Este valor es un aproximado, pero en su calculadora puede trabajar con más precisión.

Escriba en su calculadora $9/6=$

y presione la siguiente combinación de botones

Ahora la longitud de clases está guardada en la variable a y podrá trabajar con ella usando mas decimales sin tener que volver a escribirlos
Ahora implementemos la tabla de frecuencia.
Le primer dato es el limite inferior, que corresponde al mínimo valor de los datos a trabajar.

$$\begin{array}{c|c|c|c|c} \text{límite inferior} & \text{límite superior} & \text{marca de clase}\\ 0,9 \end{array}$$

El límite superior correspondera al limite inferior sumado a la longitud del tramo. Esto es $0,9 +1,8=2,7$
$$\begin{array}{c|c|c|c|c} \text{límite inferior} & \text{límite superior} & \text{marca de clase}\\ 0,9 &2,7\end{array}$$
y la marca de clase correspondera al promedio entre estos dos datos

$$\begin{array}{c|c|c|c|c} \text{límite inferior} & \text{límite superior} & \text{marca de clase}\\ \hline 0,9 &2,7&1,8\end{array}$$
El segundo limite inferior corresponde al mismo valor que consideramos limite superior en la fila anterior. Esto es 2,7
$$\begin{array}{c|c|c|c|c} \text{límite inferior} & \text{límite superior} & \text{marca de clase}\\\hline 0,9 &2,7&1,8\\ 2,7\end{array}$$
y volvemos a sumar la longitud del tramo
$$\begin{array}{c|c|c|c|c} \text{límite inferior} & \text{límite superior} & \text{marca de clase}\\ \hline0,9 &2,7&1,8\\ 2,7&4,5\end{array}$$
y asi la nueva marca de clase

$$\begin{array}{c|c|c|c|c} \text{límite inferior} & \text{límite superior} & \text{marca de clase}\\\hline 0,9 &2,7&1,8\\ 2,7&4,5&3,6\end{array}$$
este proceso lo repetimos continuamente hasta completar los 5 tramos

$$\begin{array}{c|c|c|c|c} \text{límite inferior} & \text{límite superior} & \text{marca de clase} \\ \hline 0,9 &2,7&1,8\\ 2,7&4,5&3,6\\ 4,5&6,3&5,4\\ 6,3&8,1&7,2 \\ 8,1&9,9&9,0\end{array}$$

Ahora comencemos a completar la tabla anotando las respectivas frecuencias absolutas. Es importante dejar claro que si algún valor corresponde al del limite superior de cualquiera de los tramos debe ser anotado en el siguiente intervalo. Esto es por que en cada tramo estamos considerando cerrado el extremo izquierdo y abierto el extremo derecho. (A excepción del último tramo)

$$\begin{array}{c|c|c|c|c} L_{inf} & L_{sup} & M_{clase} & f_{abs} & F_{acum} & f\%_{rel} &F\%_{porc} \\ \hline 0,9 &2,7&1,8\\ 2,7&4,5&3,6\\ 4,5&6,3&5,4\\ 6,3&8,1&7,2 \\ 8,1&9,9&9,0\end{array}$$

entonces, en el primer tramo tenemos 6 elementos
$$\begin{array}{c|c|c|c|c} L_{inf} & L_{sup} & M_{clase} & f_{abs} & F_{acum} & f\%_{rel} &F\%_{porc} \\ \hline 0,9 &2,7&1,8& 6\\ 2,7&4,5&3,6\\ 4,5&6,3&5,4\\ 6,3&8,1&7,2 \\ 8,1&9,9&9,0\end{array}$$

En el segundo tramo tenemos 5 más

$$\begin{array}{c|c|c|c|c} L_{inf} & L_{sup} & M_{clase} & f_{abs} & F_{acum} & f\%_{rel} &F\%_{porc} \\ \hline 0,9 &2,7&1,8& 6\\ 2,7&4,5&3,6 & 5\\ 4,5&6,3&5,4\\ 6,3&8,1&7,2 \\ 8,1&9,9&9,0\end{array}$$

y completando

$$\begin{array}{c|c|c|c|c} L_{inf} & L_{sup} & M_{clase} & f_{abs} & F_{acum} & f\%_{rel} &F\%_{porc} \\ \hline 0,9 &2,7&1,8& 6\\ 2,7&4,5&3,6 & 5\\ 4,5&6,3&5,4 &2\\ 6,3&8,1&7,2 &4\\ 8,1&9,9&9,0&8\end{array}$$

la primera frecuencia Acumulada corresponde al mismo valor de la frecuencia absoluta

$$\begin{array}{c|c|c|c|c} L_{inf} & L_{sup} & M_{clase} & f_{abs} & F_{acum} & f\%_{rel} &F\%_{porc} \\ \hline 0,9 &2,7&1,8& 6 &6\\ 2,7&4,5&3,6 & 5\\ 4,5&6,3&5,4 &2\\ 6,3&8,1&7,2 &4\\ 8,1&9,9&9,0&8\end{array}$$

la segunda a la suma de la primera frecuencia acumulada y la segunda frecuencia absoluta $(6+5=11)$

$$\begin{array}{c|c|c|c|c} L_{inf} & L_{sup} & M_{clase} & f_{abs} & F_{acum} & f\%_{rel} &F\%_{porc} \\ \hline 0,9 &2,7&1,8& 6 &6\\ 2,7&4,5&3,6 & 5&11\\ 4,5&6,3&5,4 &2\\ 6,3&8,1&7,2 &4\\ 8,1&9,9&9,0&8\end{array}$$

y asi podemos completar

$$\begin{array}{c|c|c|c|c} L_{inf} & L_{sup} & M_{clase} & f_{abs} & F_{acum} & f\%_{rel} &F\%_{porc} \\ \hline 0,9 &2,7&1,8& 6 &6\\ 2,7&4,5&3,6 & 5&11\\ 4,5&6,3&5,4 &2&13\\ 6,3&8,1&7,2 &4&17\\ 8,1&9,9&9,0&8&25\end{array}$$

La ultima frecuencia acumulada debe coincidir con el número total de datos.

La primera frecuencia relativa %f\%$, se obtiene dividiendo la primera frecuencia absoluta con el numero total de datos $\frac{6}{25}=0,24$

$$\begin{array}{c|c|c|c|c} L_{inf} & L_{sup} & M_{clase} & f_{abs} & F_{acum} & f\%_{rel} &F\%_{porc} \\ \hline 0,9 &2,7&1,8& 6 &6 &0,24\\ 2,7&4,5&3,6 & 5&11\\ 4,5&6,3&5,4 &2&13\\ 6,3&8,1&7,2 &4&17\\ 8,1&9,9&9,0&8&25\end{array}$$

la segunda de igual manera

$$\begin{array}{c|c|c|c|c} L_{inf} & L_{sup} & M_{clase} & f_{abs} & F_{acum} & f\%_{rel} &F\%_{porc} \\ \hline 0,9 &2,7&1,8& 6 &6 &0,24\\ 2,7&4,5&3,6 & 5&11&0,20\\ 4,5&6,3&5,4 &2&13\\ 6,3&8,1&7,2 &4&17\\ 8,1&9,9&9,0&8&25\end{array}$$

y asi podemos completar

$$\begin{array}{c|c|c|c|c} L_{inf} & L_{sup} & M_{clase} & f_{abs} & F_{acum} & f\%_{rel} &F\%_{porc} \\ \hline 0,9 &2,7&1,8& 6 &6 &0,24\\ 2,7&4,5&3,6 & 5&11&0,20\\ 4,5&6,3&5,4 &2&13&0,08\\ 6,3&8,1&7,2 &4&17&0,16\\ 8,1&9,9&9,0&8&25&0,32\end{array}$$

La frecuencia porcentual $F\%$, se obtiene por el cociente de las frecuencias acumuladas y el total de datos, o bien como la suma sucesiva de las frecuencias relativas. Ambos valores deben coincidir, hasta llegar al $100\%$

$$\begin{array}{c|c|c|c|c} L_{inf} & L_{sup} & M_{clase} & f_{abs} & F_{acum} & f\%_{rel} &F\%_{porc} \\ \hline 0,9 &2,7&1,8& 6 &6 &0,24&0,24\\ 2,7&4,5&3,6 & 5&11&0,20&0,44\\ 4,5&6,3&5,4 &2&13&0,08&0,52\\ 6,3&8,1&7,2 &4&17&0,16&0,68\\ 8,1&9,9&9,0&8&25&0,32&1\end{array}$$

Ahora completemos la tabla a fin de calcular la media de los datos. ¿como se hace?  vamos a multiplicar el valor de la marca de clase con el valor de la frecuencia absoluta. Y después vamos a sumar.

$$\begin{array}{c|c|c|c|c} L_{inf} & L_{sup} & M_{clase} & f_{abs} & F_{acum} & f\%_{rel} &F\%_{porc} & M_{clase}\cdot f_{abs} \\ \hline 0,9 &2,7&1,8& 6 &6 &0,24&0,24&10,8\\ 2,7&4,5&3,6 & 5&11&0,20&0,44&18\\ 4,5&6,3&5,4 &2&13&0,08&0,52&10,8\\ 6,3&8,1&7,2 &4&17&0,16&0,68&28,8\\ 8,1&9,9&9,0&8&25&0,32&1&72\\ \hline  &&&&&& &140,4\end{array}$$

calculando el cociente entre este número obtenido y el total de datos obtendremos la media, que desde ya anotaremos como $\bar{x}$

$$\text{Media}=\bar{x}=\frac{140,4}{25}=5,616$$

En el siguiente paso calcularemos la diferencia entre esta media y cada una de las marcas de clase. Este valor será elevado posteriormente al cuadrado, sumado y finalmente dividido por el numero de datos usados a fin de obtener la varianza

 

$$\begin{array}{c|c|c|c|c} L_{inf} & L_{sup} & M_{clase} & f_{abs} & F_{acum} & f\%_{rel} &F\%_{porc} & M_{clase}\cdot f_{abs} &\bar{x}-M_{clase}\\ \hline 0,9 &2,7&1,8& 6 &6 &0,24&0,24&10,8&-3,9\\ 2,7&4,5&3,6 & 5&11&0,20&0,44&18&-2,1\\ 4,5&6,3&5,4 &2&13&0,08&0,52&10,8&-0,3\\ 6,3&8,1&7,2 &4&17&0,16&0,68&28,8&1,5\\ 8,1&9,9&9,0&8&25&0,32&1&72&3,3\\ \hline  &&&&&& &140,4\end{array}$$

y elevando al cuadrado

$$\begin{array}{c|c|c|c|c} L_{inf} & L_{sup} & M_{clase} & f_{abs} & F_{acum} & f\%_{rel} &F\%_{porc} & M_{clase}\cdot f_{abs} &\bar{x}-M_{clase}&\left[  \bar{x}-M_{clase}  \right]^2\\ \hline 0,9 &2,7&1,8& 6 &6 &0,24&0,24&10,8&-3,9&14,9\\ 2,7&4,5&3,6 & 5&11&0,20&0,44&18&-2,1&4,2\\ 4,5&6,3&5,4 &2&13&0,08&0,52&10,8&-0,3&0,1\\ 6,3&8,1&7,2 &4&17&0,16&0,68&28,8&1,5&2,4\\ 8,1&9,9&9,0&8&25&0,32&1&72&3,3&11,2\\ \hline  &&&&&& &140,4&&31,5\end{array}$$

$$\sigma^2=\text{Varianza}=\sum_{i=0}^n \frac{\left[\bar{x}-\text{Marca de clase}\right]^2}{n}=\frac{31,5}{25}=1,26$$

EL valor $1,26$  corresponde a la varianza real de los datos, y su raíz corresponderá a la desviación estándar entre ellos.

$$\sigma=\text{Desviación Estandar}=\sqrt{\sigma^2}=\sqrt{1,26}=1,1225$$

( En proceso)

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