Integración Mediante Fracciones Parciales

  Cálculo

Definición: Se llama función racional a toda función del tipo

$$f(x)=\frac{p(x)}{q(x)}$$
Donde $p(x)$ y $q(x)$ son polinomios con coeficientes reales y de grado $\ge 1$
por ejemplo

si $p(x)=x^2+3x+4$ , y $q(x)=x^3+x^2+x+4$, entonces

$$\frac{p(x)}{q(x)}=\frac{x^2+3x+4}{x^3+x^2+x+4}$$

cumplen la condición y podemos operar

¿Cómo descomponer una función racional en fracciones parciales?

Los siguientes casos explicaran por si mismos

Factores Lineales Distintos. 

A cada factor lineal, $ax+b$, del denominador de una fracción racional propia  que el denominador se puede descomponer, le corresponde una fracción de la forma $\frac{A}{ax+b}$, siendo A una constante a determinar.

Por ejemplo

$$\int \frac{dx}{x^2-9}=\int\left(\frac{A}{x-3}+\frac{B}{x+3} \right)dx$$

Si desarrollamos un poco quedaremos en que
$$1=A(x+3)+B(x-3)$$
lo cual puede ser ordenado como
$$1=(A+B)x+3A-3B$$

y esto da origen a un sistema

$$\begin{array}{r|r} A+B= 0 & \\  3A-3B=1&   \end{array}$$

de tal que la solución al mismo es

$A=1/6$  y $B=-1/6$

lo cual claramente quedara de la forma

$$\int \frac{dx}{x^2-9}=\int\left(\frac{1/6}{x-3}+\frac{-1/6}{x+3} \right)dx$$

lo cual es equivalente a

$$\int \frac{dx}{x^2-9}=\frac{1}{6}\int \frac{dx}{x-3}-\frac{1}{6}\int\frac{dx}{x+3}  $$

y cuya respuesta correcta es

$$\int \frac{dx}{x^2-9}=\frac{1}{6} \ln{|x-3|}-\frac{1}{6}\ln{|x+3|}+C$$

Factores Lineales Iguales.
A cada factor lineal, ax+b, que figure n veces en el denominador de una fracción racional propia, le corresponde una suma de n fracciones de la forma
$$\frac{A_1}{ax+b}+\frac{A_2}{(ax+b)^2}+\cdots+ \frac{A_n}{(ax+b)^n}$$

Por ejemplo

$$\int\frac{2x+3}{x^3-x^2-x+1}dx$$

en este caso podemos hacer la factorización del denominador y confirmar que corresponde a la forma

$$x^3-x^2-x+1?(x+2)(x-1)^2$$

de donde tendremos  que

$$\frac{2x+3}{x^3-x^2-x+1}dx=\frac{A}{x+1}+\frac{B}{x-1}+\frac{C}{(x-1)^2}$$

si amplificamos adecuadamente por $(x+1)(x-1)^2$, tendremos que

$$A(x-1)^2+B(x+1)(x-1)+C(x+1)$$

lo cual es equivalente a

$$2x+3=(A+B)x^2+(-2A+C)x+(A-B+C)$$

de donde

$$\begin{array}{r|r} A+B= 0 & \\ -2A+C=2&  \\ A-B+C=3 \end{array}$$

de donde $A=1/4$, $B=-1/4$ y $C=5/2$

de donde

$$\int\frac{2x+3}{x^3-x^2-x+1}dx=\int\frac{A}{x+1}+\frac{B}{x-1}+\frac{C}{(x-1)^2}dx$$

$$\int\frac{2x+3}{x^3-x^2-x+1}dx=\int\frac{1/4}{x+1}+\frac{-1/4}{x-1}+\frac{5/2}{(x-1)^2}dx$$

$$\int\frac{2x+3}{x^3-x^2-x+1}dx=\frac{1}{4}\int\frac{dx}{x+1}-\frac{1}{4}\int\frac{dx}{x-1}+\frac{5}{2}\int\frac{dx}{(x-1)^2}$$

$$=\frac{1}{4}\ln{|x+1|}-\frac{1}{4}\ln{|x-1|}+\frac{5}{2}\cdot\frac{1}{x-1}+C$$

Factores Cuadráticos Distintos.

A cada factor cuadrático reducible, $ax^2+bx+C$ que figure en el denominador de una fracción racional propia, le corresponde una fracción de la forma  $\frac{Ax+B}{ax^2+bx+c}$, donde A y B son las constantes a determinar.

por ejemplo

$$\int\frac{x^3+x^2+x+1}{x^4+3x^2+2}dx$$

de donde se puede factorizar el denominador obteniendo que

$$x^4+3x^2+2=(x^2+1)(x^2+2)$$

por lo cual

$$\frac{x^3+x^2+x+1}{x^4+3x^2+2}=\frac{Ax+B}{x^2+1}+\frac{Cx+D}{x^2+2}$$

desarrollando la expresión derecha para transformarla en una única fracción se tendrá que

$$x^3+x^2+x+1=(Ax+B)(x^2+2)+(Cx+D)(x^2+1)\\(A+C)x^3+(B+D)x^2+(2A+C)x+(2B+D)$$

Tras lo cual se podrá plantear el sistema

$$\begin{array}{r|r} A+C=1 & \\ B+D=1&  \\ 2A+C=1 &  \\2B+D=1 \end{array}$$

de donde se deduce que

$A=0$, $B=0$, $C=1$, y $D=1$

por lo cual la expresión quedara de la forma

$$\int\frac{x^3+x^2+x+1}{x^4+3x^2+2}dx=\int\frac{Ax+B}{x^2+1}+\frac{Cx+D}{x^2+2}dx$$

$$\int\frac{x^3+x^2+x+1}{x^4+3x^2+2}dx=\int\frac{0x+0}{x^2+1}+\frac{1x+1}{x^2+2}dx$$

$$\int\frac{x^3+x^2+x+1}{x^4+3x^2+2}dx=\int\frac{x+1}{x^2+2}dx$$

 

En Proceso….

LEAVE A COMMENT