Distribución Binomial

  Combinatoria, Estadistica

Un experimento sigue el modelo binomial o de Bernoulli si:
1. En cada prueba del experimento sólo son posibles dos resultados: el suceso A (éxito) y su contrario .
2.La probabilidad del suceso A es constante, es decir, que no varía de una prueba a otra. Se representa por p.
3.El resultado obtenido en cada prueba es independiente de los resultados obtenidos anteriormente.

Variable aleatoria binomial

Para un experimento que sigue el modelo binomial se define la variable aleatoria X que expresa el número de éxitos obtenidos en cada prueba del experimento. A esa variable se la denomina variable aleatoria binomial.
La variable aleatoria binomial es una variable aleatoria discreta, sólo puede tomar los valores 0, 1, 2, 3, 4, …, n suponiendo que se han realizado n pruebas.

por ejemplo, si lanzamos una moneda 10 veces. El experimento se ajusta al modelo binomial. La variable aleatoria “número de caras” es una variable aleaoria binomial que puede tomar los valores 0,1,2,3,4,….,10.

Distribución binomial
Un experimento que se ajusta al modelo binomial se suele representar por $B(n, p)$, donde n es el número de pruebas de que consta el experimento y p es la probabilidad del suceso A (éxito).La probabilidad de es $\bar{A}=1− p$, y la representamos por q.

Función de probabilidad de una variable aleatoria binomial
La función de probabilidad de la distribución binomial, también denominada función de la distribución de Bernoulli, es:

$$P(x=k)=\binom{n}{k}P^kq^{n-k}$$

n es el número de pruebas. k es el número de éxitos. p es la probabilidad de éxito. q es la probabilidad de fracaso.

Ejemplo:La última novela de un autor ha tenido un gran éxito, hasta el punto de que el 80% de los lectores ya la han leido. Un grupo de 4 amigos son aficionados a la lectura:
1. ¿Cuál es la probabilidad de que el grupo hayan leido la novela 2 personas?
$n = 4$, $p = 0.8$ $q = 0.2$. $B(4, 0,2)$

$$P(X=2)=\binom{4}{2}{0,8}^2{0,2}^{4-2}\\=\frac{4\cdot 3}{2}\cdot 0,64\cdot 0,04=0,1536$$
2.¿Y al menos 2?

$$P(x\le 2)=p(x=0)+p(x=1)+p(x=2)\\ \binom{4}{0}{0,8}^4{0,2}^{4-4}+\binom{4}{1}{0,8}^3{0,2}^{4-3}+\binom{4}{2}{0,8}^2{0,2}^{4-2}\\=\binom{4}{0}{0,8}^4{0,2}^{0}+\binom{4}{1}{0,8}^3{0,2}^{1}+\binom{4}{2}{0,8}^2{0,2}^{2}=0,9728$$

Ejercicios
1. Una máquina fabrica una determinada pieza y se sabe que produce un 7 por 1000 de piezas defectuosas. Hallar la probabilidad de que al examinar 50 piezas sólo haya una defectuosa.

$$P(x= 1)=\binom{50}{1}{\frac{7}{1000}}^1{\frac{993}{1000}}^{49}=0,248074=24,81\%$$

2. La probabilidad de éxito de una determinada vacuna es 0,72. Calcula la probabilidad de que una vez administrada a 15 pacientes:
a) Ninguno sufra la enfermedad

$$P(x= 0)=\binom{15}{0}{0,28}^0{0,72}^{15}=\binom{15}{15}{0,72}^{15}{0,28}^0=0,007244=0,72\%$$

b) Todos sufran la enfermedad

$$P(x= 15)=\binom{15}{0}{0,28}^{15}{0,72}^{13}=\binom{15}{0}{0,72}^{0}{0,28}^{15}=5,09766\cdot 10^9=$$

c) Dos de ellos contraigan la enfermedad

$$P(x= 2)=\binom{15}{2}{0,28}^2{0,72}^{13}=\binom{15}{13}{0,72}^{13}{0,28}^{2}=0,115030=11,50\%$$

3. La probabilidad de que el carburador de un coche salga de fábrica defectuoso es del 4 por 100. Hallar:

a) El número de carburadores defectuosos esperados en un lote de 1000

$$\overline{x}=n\cdot éxito=1000\cdot \frac{4}{100}=40$$

b) La varianza y la desviación típica.

$$varianza=\sigma^2={n\cdot éxito \cdot fracaso= 1000\cdot\frac{4}{100}\cdot{96}{100}=38,4}$$
$$desviación=\sigma=\sqrt{n\cdot éxito \cdot fracaso}= \sqrt{1000\cdot\frac{4}{100}\cdot\frac{96}{100}}=\sqrt{38,4}=6,19677$$

4. La probabilidad de que un paciente se recupere de una extraña enfermedad es 0.4 . Si se sabe que 15 personas contraen esa enfermedad,

a) ¿Cuál es la probabilidad de que sobrevivan al menos 10?

$$P(x\ge 10)=p(x=10)+p(x=11)+p(x=12)+p(x=13)+p(x=14)+p(x=15)$$
$$=\binom{15}{10}{0,4}^{10}\cdot{0,6}^{5}+\binom{15}{11}{0,4}^{11}\cdot{0,6}^{4}+\binom{15}{12}{0,4}^{12}\cdot{0,6}^{3}\\+\binom{15}{13}{0,4}^{13}\cdot{0,6}^{2}+\binom{15}{14}{0,4}^{14}\cdot{0,6}^{1}+\binom{15}{15}{0,4}^{15}\cdot{0,6}^{0}$$
$$=0,024486+0,00742+0,001649+0,000254+0,000024+0,000001\\=0,033833=3,38\%$$

b) ¿Cuál es la probabilidad de que sobrevivan de 3 a 8?

$$P(3\le x\le8)= p(x=3)+p(x=4)+p(x=5)+P(x=6)+p(x=7)+p(x=8)$$

$$=\binom{15}{3}{0,4}^{3}\cdot{0,6}^{12}+\binom{15}{4}{0,4}^{4}\cdot{0,6}^{11}\\+\binom{15}{5}{0,4}^{5}\cdot{0,6}^{10}+\binom{15}{6}{0,4}^{6}\cdot{0,6}^{9}\\+\binom{15}{7}{0,4}^{7}\cdot{0,6}^{8}+\binom{15}{8}{0,4}^{8}\cdot{0,6}^{7} $$

$$=0,063388+0,126778+0,185938+0,206596+0,177084+0,118056\\=
0,877839=87,78\%$$

c) Calcule la media y la varianza de esta distribución binomial.

$$\overline{x}=n\cdot éxito=15\cdot0,4=6$$
$$\sigma^2=n\cdot éxito \cdot fracaso =14\cdot 0,4 \cdot 0,6=3,6$$

En ciudad la necesidad de dinero para comprar drogas se establece como la razón del 75% de los robos. Encuentre la probabilidad de que entre los siguientes cinco casos de robo:

Robo por droga $= 0,75$ Robo por otra causa $= 0.25$ N$=5$

a) dos resulten de la necesidad de dinero para comprar drogas.

$$=\binom{5}{2}{0,75}^{2}\cdot{0,25}^{3}$$

b) al menos tres resulten de la necesidad de dinero para comprar drogas.

$$P(x\ge 3)=p(x=3)+p(x=4)+P(x=5)$$
$$\binom{5}{3}{0,75}^{3}\cdot{0,25}^{2}+\binom{5}{4}{0,75}^{4}\cdot{0,25}^{1}+\binom{5}{5}{0,75}^{5}\cdot{0,25}^{0}$$

c) Represente esta distribución binomial en un histograma

 

$$k$$ $$\binom{5}{k}$$ $$0,75^k$$ $$0,25^{5-k}$$ probabilidad
0 1 1 0,00097656 0,00097656
1 5 0,75 0,00390625 0,01464844
2 10 0,5625 0,015625 0,08789063
3 10 0,421875 0,0625 0,26367188
4 5 0,31640625 0,25 0,39550781
5 1 0,23730469 1 0,23730469

d) Calcule la media y la varianza de esta distribución binomial.

$$\overline{x}=n\cdot éxito=5\cdot0,75=3,75$$
$$\sigma^2=n\cdot éxito \cdot fracaso =5\cdot0,75 \cdot 0,25=0,9375$$

Un prominente médico afirma que 70% de las personas con cáncer de pulmón son fumadores empedernidos. Si su aseveración es correcta:

a) encuentre la probabilidad de que de 10 de tales pacientes menos de la mitad sean fumadores empedernidos.

Todos Tienen cáncer $n=10$ ,  $70\%$ por fumar $30\%$ por otras causas

$$p(x\le 5)=\binom{10}{0}{0,7}^{ 0}\cdot{0,3}^{10}+\binom{10}{1}{0,7}^{ 1}\cdot{0,3}^{9}+\binom{10}{2}{0,7}^{ 2}\cdot{0,3}^{8}+\binom{10}{3}{0,7}^{ 3}\cdot{0,3}^{7}+\binom{10}{4}{0,7}^{ 4}\cdot{0,3}^{6}$$

$$=0,000006+0,000138+0,001447+0,009002+0,036757\\=0,047349=4,73\%$$

 

b)encuentre la probabilidad de que de 10 de los pacientes con cáncer de pulmón ninguno sea fumador empedernido.44

$$p(x=0)=\binom{10}{0}{0,7}^{ 0}\cdot{0,3}^{10}=0,000006$$

$$k$$ $$_nC_k$$ $$0.7^{k}$$ $$0.3^{10-k}$$
0 1 1 5,9049E-06 0,000006
1 10 0,7 1,9683E-05 0,000138
2 45 0,49 0,00006561 0,001447
3 120 0,343 0,0002187 0,009002
4 210 0,2401 0,000729 0,036757
5 252 0,16807 0,00243 0,102919
6 210 0,117649 0,0081 0,200121
7 120 0,0823543 0,027 0,266828
8 45 0,05764801 0,09 0,233474
9 10 0,04035361 0,3 0,121061
10 1 0,02824752 1 0,028248

Ejercicios

1. De acuerdo con un estudio publicado por un grupo de sociólogos de la Universidad de Massachussets aproximadamente el 60% de los consumidores de Valium en el estado de Massachussets tomaron Valium por primera vez debido a problemas psicológicos. Encuentre la probabilidad de que entre los siguientes ocho consumidores entrevistados en este estado:
a) tres comenzaron a tomar Valium por problemas psicológicos.
b) al menos cinco comenzaron a consumir Valium por problemas que no fueron psicológicos.
c) Represente esta distribución binomial en un histograma.
d) Calcule la media y la varianza de esta distribución binomial.
2. De acuerdo a una encuesta a nivel nacional en Estados Unidos de la universidad de Michigan a estudiantes universitarios de último año revela que el 70% de los estudiantes desaprueba el consumo diario de la mariguana. Si se seleccionan doce estudiantes al azar y se les pide su opinión, encuentre la probabilidad de que el número de los que desaprueban fumar mariguana todos los días sea:
a) entre siete y nueve.
b) a lo más cinco.
c) no memos de ocho.
d) Represente esta distribución binomial en un histograma.
e) Calcule la media y la varianza de esta distribución binomial.

3. Un estudio examinó las actitudes hacia los antidepresivos. El estudio reveló que aproximadamente el 70% cree que “los antidepresivos en realidad no curan nada, sólo encubren el problema real”. De acuerdo con este estudio
a) ¿cuál es la probabilidad de que al menos tres de las siguientes cinco personas seleccionadas al azar sean de esta opinión?
b) Represente esta distribución binomial en un histograma
c) Calcule la media y la varianza de esta distribución binomial.

4. El departamento de mercadotecnia de Kellogg Company planea realizar una investigación para determinar si los consumidores de cereal en hojuelas pueden distinguir su cereal favorito de otros. Para probar el cuestionario y el procedimiento a ser usado se invitó a ocho personas a participar en un experimento. Se les colocó frente a cinco pequeños tazones de cereal en hojuelas marcados con las letras A, B, C, D, Y E para que identificaran su cereal favorito. A las personas se les informó que solo uno de los tazones contenía su cereal favorito.

a) Si una persona no pudo identificar su cereal favorito y supuso que estaba en el tazón C. ¿Cuál es la probabilidad de que la persona haya adivinado correctamente?
b) ¿Cuál es la variable aleatoria en este problema?
c) ¿Es la variable aleatoria discreta o continua? ¿Por qué?

5. Suponga que a las ocho personas les fue imposible identificar su cereal favorito y trataron de adivinar en cual tazón estaba. ¿Cuál es la probabilidad de que ninguno de los ocho haya adivinado correctamente?
e) Desarrolle una distribución binomial para este experimento
f) Calcule la media, varianza, y desviación estándar de la distribución.
g) Represente la distribución de probabilidad en una gráfica.
h) Suponga que siete de las ocho personas identifican el cereal que más les gusta. ¿Es razonable decir que ellos adivinaron? Explique. ¿Cuál es tu conclusión?
i) ¿Por qué es la distribución binomial apropiada para este problema?

6. La probabilidad de que un artículo producido por una fabrica sea defectuoso es p 0.002. Se envió un cargamento de 10.000 artículos a unos almacenes. Hallar el número esperado de artículos defectuosos, la varianza y la desviación típica.

7. Se lanza una moneda cuatro veces. Calcular la probabilidad de que salgan más caras que cruces.
2Un agente de seguros vende pólizas a cinco personas de la misma edad y que disfrutan de buena salud. Según las tablas actuales, la probabilidad de que una persona en estas condiciones viva 30 años o más es 2/3. Hállese la probabilidad de que, transcurridos 30 años, vivan:
8. Las cinco personas. Al menos tres personas. 3. Exactamente dos personas.
3Si de seis a siete de la tarde se admite que un número de teléfono de cada cinco está comunicando, ¿cuál es la probabilidad de que, cuando se marquen 10 números de teléfono elegidos al azar, sólo comuniquen dos?
9. La probabilidad de que un hombre acierte en el blanco es 1/4. Si dispara 10 veces ¿cuál es la probabilidad de que acierte exactamente en tres ocasiones? ¿Cuál es la probabilidad de que acierte por lo menos en una ocasión?
10. En una urna hay 30 bolas, 10 rojas y el resto blancas. Se elige una bola al azar y se anota si es roja; el proceso se repite, devolviendo la bola, 10 veces. Calcular la media y la desviación típica.
Considera las siguientes situaciones.
A.-En una urna tenemos 6 bolas marcadas con el número +1, seis bolas con el número 0 y 5 bolas con el número -1. Extraemos tres bolas al azar sin reemplazamiento y contamos el número de bolas con signo positivo.
B.-2 de los 12 jugadores de un equipo de baloncesto han tomado sustancias prohibidas. Al finalizar el encuentro se seleccionan a tres al azar para hacer un control antidopaje.
¿Por qué no siguen el modelo binomial?

11. Debido a las altas tasas de interés, una empresa reporta que el 30% de sus cuentas por cobrar están vencidas. Si el contador toma una muestra aleatoria de cinco cuentas, determine la probabilidad de los siguientes eventos:
a) Ninguna de las cuentas están vencidas
b) Por lo menos dos cuentas están vencidas
c) La mayoría de las cuentas están vencidas

12. En un proceso de producción se examinan lotes de 20 resortes para determinar si cumplen con los requerimientos del cliente. Por lo general el número de resortes que no cumplen con los requerimientos es de 5 por lote. Suponga que el número de resortes que no cumplen con los requerimientos en un lote, es una variable aleatoria X, que sigue una distribución binomial.
a) Cuál es el valor de n y p
b) Calcule P (X ≤ 2)
c) Calcule P (X ≥ 49)

13. Un partido político consigue el 20% de los votos en unas elecciones. Se lleva a cabo una encuesta a quince personas. Obtener La probabilidad de que:
a) Ninguno de los quince encuestados sean votantes de dicho partido.
b) Al menos tres personas voten a favor de dicho partido.
c) Calcular la media y desviación estándar del número de votantes de dicho partido entre los quince encuestados.

14. Un examen consta de quince preguntas, y cada pregunta presenta cuatro posibles respuestas. Una persona, sin conocimientos sobre la materia del examen, responde las preguntas al azar.
a) ¿Cuál es la probabilidad de que al contestar una pregunta acierte la respuesta correcta?
b) Hallar la probabilidad de que dicha persona no acierte ninguna de las quince preguntas.
c) Calcular la probabilidad de que acierte por lo menos cinco preguntas.

15. Un vendedor de seguros vende pólizas a ocho hombres, todos de la misma edad e idénticas condiciones de salud. De acuerdo a la tabla de seguros, la probabilidad de que un hombre de esta edad esté vivo dentro de treinta años es de 0.67. Suponga que los años que vive cada hombre son ensayos independientes.
a) Encuentre la probabilidad de que dentro de treinta años estén vivos exactamente cinco hombres.
b) Encuentre la probabilidad de que dentro de treinta años por lo menos estén vivos dos hombres.
c) Encuentre la probabilidad de que dentro de treinta años tres hombres o menos estén vivos.

16. Una empresa comercializadora por correos envía mensualmente una encuesta a clientes potenciales y solamente el 10% de las personas responde a dicha encuesta. Suponga que responder o no las entrevistas son ensayos independientes.
a) Si se envían diez encuestas. ¿Cuál es la probabilidad de que exactamente cuatro personas la respondan?
b) Si se envían diez encuestas. ¿Cuál es la probabilidad de que al menos dos personas la respondan?
c) Si se envían diez encuestas. ¿Cuál es la probabilidad de que tres personas o menos la respondan?

17. De acuerdo a datos históricos el 30% de los automóviles nuevos de una determinada marca requieren cierto tipo de reparación durante el periodo de garantía. Suponga que el requerimiento de reparación de los autos es independiente.
a) ¿Cuál es la probabilidad de que de diez autos vendidos exactamente tres requieran reparación?
b) ¿Cuál es la probabilidad de que de diez autos vendidos al menos tres requieran reparación?
c) ¿Cuál es la probabilidad de que de seis carros vendidos esta semana como máximo tres requieran reparación?

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