La Distribución de Poisson se llama así en honor a Simeón Dennis Poisson $(1781-1840)$, francés que desarrolló esta distribución basándose en estudios efectuados en la última parte de su vida. Se emplea para describir varios procesos, entre otros la distribución de las llamadas telefónicas que llegan a un conmutador, la demanda (necesidades) de servicios en una institución asistencial por parte de los pacientes, los arribos de los camiones y automóviles a la caseta de cobro y el número de accidentes en un cruce. Los ejemplos citados tienen un elemento en común, pueden ser descritos por una variable aleatoria discreta que asume valores enteros ($0,1,2,3,4,5$ y así sucesivamente).

El número de enfermos que llegan a un consultorio en cierto intervalo de tiempo será de $0,1,2,3,4,5$ ó algún otro número entero. De igual manera, si se cuenta el número de automóviles que llegan a una caseta de cobro durante un periodo de diez minutos, el número será entero.

Características de los procesos que producen una distribución de la probabilidad de Poisson.

El número de vehículos que pasan por una caseta de cobro en las horas de mayor tráfico sirve como ejemplo para mostrar las características de una distribución de probabilidad de Poisson.

El promedio (media) de los arribos de vehículos por hora de gran tráfico puede estimarse a partir de los datos anteriores del tráfico.

Si dividimos las horas de gran tráfico en periodos (intervalos) de un segundo cada uno, encontraremos que los siguientes enunciados son verdaderos:

a) La probabilidad de que exactamente un vehículo llegue por segundo a una caseta individual es un número muy pequeño y es constante para que cada intervalo de un segundo.
b) La probabilidad de que dos o más vehículos lleguen en un intervalo de un segundo es tan reducida que podemos asignarle un valor cero.
c) El número de vehículos que llegan en determinado intervalo de un segundo es independiente del momento en que el intervalo de un segundo ocurre durante la hora de gran tráfico.
d) El número de llegadas en cualquier intervalo de un segundo no depende del número de arribos de cualquier otro intervalo de un segundo.

Ahora bien, podemos generalizar partiendo de las cuatro condiciones que hemos descrito en este ejemplo, si estas condiciones se cumplen nos apoyaremos en una distribución de probabilidad de Poisson para describirlos.

Cálculo de probabilidades mediante la distribución de Poisson.

La distribución de Poisson, según hemos señalado, se refiere a ciertos procesos que pueden ser descritos con una variable aleatoria discreta. La letra X suele representar esa variable y puede además asumir valores enteros $(0,1,2,3 etc..)$ . Utilizamos la letra X mayúscula para representar la variable aleatoria y la x minúscula para designar un valor específico que puede asumir la X mayúscula. La probabilidad de exactamente x ocurrencias en una distribución de Poisson se calcula mediante la fórmula:

$$p(x)=f(x,\lambda)=\frac{\lambda^x\cdot e^{-\lambda}}{k!}$$

ejemplo

Supóngase que estamos investigando la seguridad de un crucero muy peligroso. Los archivos de la policía indican una media de cinco accidentes por mes en él. El número de accidentes está distribuido conforme a la distribución de Poisson, y la división de seguridad en carreteras quiere calcular la probabilidad de exactamente $0,1,2,3 \text{, y  }  4$ accidentes en un més determinado.

Aplicando la fórmula anterior:

$$P(x=0)=\frac{e^{-5}\cdot 5^{0}}{0!}=0.00674$$

$$P(x=1)=\frac{e^{-5}\cdot 5^{1}}{1!}=0.03370$$

$$P(x=2)=\frac{e^{-5}\cdot 5^{2}}{2!}=0.08425$$

$$P(x=3)=\frac{e^{-5}\cdot 5^{3}}{3!}=0.14042$$

$$P(x=4)=\frac{e^{-5}\cdot 5^{4}}{4!}=0.17552$$

Para saber cual es la probabilidad en 3 o menos, sumaremos las probabilidades de $0,1,2,3$ lo que será igual a :

$P(0) = 0.00674$ , $P(1) = 0.03370$, $P(2) = 0.08425$ y $P(3) = 0.14042$

$$P(x\le 3)=p(x=0)+p(x=1)+p(x=2)+p(x=3)=0.26511$$

Dado que la probabilidad de que haya 3 o menos accidentes es de $0.26511$ entonces la probabilidad de que ocurran más de tres debe ser $= 1 –0.26511 = 0.73489$.

La distribución de Poisson como una aproximación a la distribución binomial.

Algunas veces, si se desea evitar el tedioso trabajo de calcular las distribuciones binomiales, se puede usar a cambio la de Poisson, pero debe cumplir con ciertas condiciones como :

$n\ge20$  y $p=<0.05$

En los casos en que se satisfacen tales condiciones, podemos sustituir la media de la distribución binomial en lugar de la media de la distribución de Poisson de modo que la fórmula quedaría así:

$$P(x) = \frac{ e^{-np} \cdot(np)^x}{x!}$$

Ejercicios desarrollados

1.El número de pinchazos en los neumáticos de cierto vehículo industrial tiene una distribución de Poisson con media 0.3 por cada 50 000 kilómetros. Si el vehículo recorre 100000 km, se pide:

1. Probabilidad de que no haya tenido pinchazos.

Dado que son 100000 kilómetros  $\lambda=0,6$, entonces

$$P(x=0)=\frac{e^{-0,6}0,6^{0}}{0!}=e^{-0,6}=0,5488=54.88\%$$

b.  Probabilidad de que tenga menos de 3 pinchazos

$$P(x\le3)=P(x=0)+p(x=1)+p(x=2)\\=\frac{e^{-0,6}0,6^{0}}{0!}+\frac{e^{-0,6}0,6^{1}}{1!}+\frac{e^{-0,6}0,6^{2}}{2!}\\ =e^{-0,6}\left(\frac{0,6^{0}}{0!}+\frac{0,6^{1}}{1!}+\frac{0,6^{2}}{2!}\right)\\=e^{-0,6}(1+0,6+0,18)\\=1,78e^{-0,6}\\=0,976884=97,68\%$$

c. Número de km recorridos para que la probabilidad de que no tenga ningún pinchazo sea $0.4066$.

En este caso interesa obtener un valor de que podamos asociar a los kilómetros detal que no ocurran Pichazos

$$p(x=0)=\frac{e^{-\lambda}\lambda^{0}}{0!}=0,4066\\e^{-\lambda}=0,4066\\ln{e^{-\lambda}}=\ln{0,4066}\\-\lambda\ln{e}=\ln{0,4066}\\-\lambda= \ln{0,4066}$$
$$\lambda= -\ln{0,4066}=0,8999253778$$

pero sabemos que $\lambda=0,3$ para $50.000$ kilometros, entonces para $\lambda=0,8999253778$ el valor proporcional de kilómetros se obtiene por una regla de tres simple

$$x=\frac{(0,8999253778)(50.000)}{0,3}=149987,563[km]$$

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Un representante realiza 5 visitas cada día a los comercios de su ramo y por su experiencia anterior sabe que la probabilidad de que le hagan un pedido en cada visita es del 0.4. Obtener:

a) El número medio de pedidos por día

El promedio esta dado por el producto de n por el éxito
$$\lambda=n\cdot éxito=5\cdot0,4=2$$

b) La varianza
esta dada por el producto de n por éxito y fracaso.
$$\sigma^2=n\cdot éxito \cdot fracaso=5\cdot0,4\cdot0,6=1,2$$

c)La probabilidad de que el número de pedidos que realiza durante un día esté comprendido entre $1$ y $3$

$$P(1\le x\le 3)=p(x=1)+p(x=2)+p(x=3)$$

$$=\frac{e^{-2}\cdot 2^{1}}{1!}+\frac{e^{-2}\cdot 2^{2}}{2!}+\frac{e^{-2}\cdot 2^{3}}{3!}$$
$$=e^{-2}\left(\frac{ 2^{1}}{1!}+\frac{2^{2}}{2!}+\frac{2^{3}}{3!}\right)=e^{-2}\left(2+2+\frac{4}{3}\right)=\frac{16}{3}e^{-2}$$
d) La probabilidad de que por lo menos realice dos pedidos.

$$p(x\ge2)=1-p(x\le2)$$
$$=1-p(x=0)-p(x=1)$$
$$=1-\frac{e^{-2}\cdot 2^{0}}{0!}-\frac{e^{-2}\cdot 2^{1}}{1!}$$
$$=1-e^{-2}-2e^{-2}$$
$$=1-3e^{-2}$$

Los mensajes que llegan a una computadora utilizada como servidor lo hacen de acuerdo con una distribución Poisson con una tasa promedio de 0.1 mensajes por minuto.
a)¿Cual es la probabilidad de que lleguen como mucho 2 mensajes en una hora?

Si $\lambda=0,1$ para $1$ minuto, entonces $\lambda=6$ para $1$ hora.
$$p(x\le2)=P(x=0+p(x=1)+p(x=2)$$
$$p(x\le2)=\frac{e^{-6}\cdot6^{0}}{0!}+\frac{e^{-6}\cdot6^{1}}{1!}+\frac{e^{-6}\cdot6^{2}}{2!}$$
$$p(x\le2)=e^{-6}\left(\frac{6^{0}}{0!}+\frac{6^{1}}{1!}+\frac{6^{2}}{2!}\right)$$

Determinar el intervalo de tiempo necesario para que la probabilidad de que no llegue ningún mensaje durante ese lapso de tiempo sea 0.8.

Bastara con calcular el $\lambda$ correspondiente y después proporcionarlo a los datos conocidos
$$P(x=0)=\frac{e^{-\lambda}\cdot\lambda^0}{0!}=0,8$$
entonces
$$e^{-\lambda}=0,8$$
Aplicando $\ln$ se tiene que$$\lambda=0,2231435$$
Y sabiendo que $\lambda=0,1$ para $1$ minuto, entonces el tiempo esperado es de $2,23$ minutos; esto es $2$ minutos y $14$ segundos.

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. Una prueba de inteligencia consta de diez cuestiones cada una de ellas con cinco respuestas de las cuales una sola es verdadera. Un alumno responde al azar (es decir, sin tener la menor idea sobre las diez cuestiones). ¿Cuál es la probabilidad de que responda bien a dos cuestiones? ¿Cuál la de que responda bien a cuatro? ¿Cuál la de que responda bien a seis?

Si tenemos 10 preguntas y el éxito esperado es 1/5, la media esta dada por su producto. Es decir , 2
Entonces:

La probabilidad de que responda bien a dos

$$p(x=2)=\frac{e^{-\lambda}\cdot\lambda^2}{2!}=\frac{e^{-2}\cdot2^2}{2!}0=27,06\%$$
la de que responda bien a cuatro:
$$p(x=4)=\frac{e^{-\lambda}\cdot\lambda^4}{4!}=\frac{e^{-2}\cdot2^4}{4!}=9,02\%$$

la de que responda bien a seis:
$$p(x=6)=\frac{e^{-\lambda}\cdot\lambda^6}{6!}=\frac{e^{-2}\cdot2^6}{6!}=1,2\%$$

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Determinar la probabilidad de realizar cierto tipo de experimento con éxito si se sabe que si se repite 14 veces es igual de probable obtener 2 éxitos que 3.

$$p(x=2)=p(x=3)$$
$$\frac{e^{-\lambda}\cdot\lambda^2}{2!}=\frac{e^{-\lambda}\cdot\lambda^3}{3!}$$
$$\frac{\lambda^2}{2!}=\frac{\lambda^2\cdot\lambda}{3\cdot2!}$$
$$1=\frac{\lambda}{3}\Rightarrow\lambda=3$$

ejercicios

1-. Debido a las altas tasas de interés, una empresa reporta que el 30% de sus cuentas por cobrar están vencidas. Si el contador toma una muestra aleatoria de cinco cuentas, determine la probabilidad de los siguientes eventos:
a) Ninguna de las cuentas están vencidas
b) Por lo menos dos cuentas están vencidas
c) La mayoría de las cuentas están vencidas

2-. En un proceso de producción se examinan lotes de 20 resortes para determinar si cumplen con los requerimientos del cliente. Por lo general el número de resortes que no cumplen con los requerimientos es de 5 por lote. Suponga que el número de resortes que no cumplen con los requerimientos en un lote, es una variable aleatoria X, que sigue una distribución binomial.
a) Cuál es el valor de n y p
b) Calcule P (X ≤ 2)
c) Calcule P (X ≥ 49)

3-. Un partido político consigue el 20% de los votos en unas elecciones. Se lleva a cabo una encuesta a quince personas. Obtener La probabilidad de que:
a) Ninguno de los quince encuestados sean votantes de dicho partido.
b) Al menos tres personas voten a favor de dicho partido.
c) Calcular la media y desviación estándar del número de votantes de dicho partido entre los quince encuestados.

4-. Un examen consta de quince preguntas, y cada pregunta presenta cuatro posibles respuestas. Una persona, sin conocimientos sobre la materia del examen, responde las preguntas al azar.
a) ¿Cuál es la probabilidad de que al contestar una pregunta acierte la respuesta correcta?
b) Hallar la probabilidad de que dicha persona no acierte ninguna de las quince preguntas.
c) Calcular la probabilidad de que acierte por lo menos cinco preguntas.

5-.Un vendedor de seguros vende pólizas a ocho hombres, todos de la misma edad e idénticas condiciones de salud. De acuerdo a la tabla de seguros, la probabilidad de que un hombre de esta edad esté vivo dentro de treinta años es de 0.67. Suponga que los años que vive cada hombre son ensayos independientes.
a) Encuentre la probabilidad de que dentro de treinta años estén vivos exactamente cinco hombres.
b) Encuentre la probabilidad de que dentro de treinta años por lo menos estén vivos dos hombres.
c) Encuentre la probabilidad de que dentro de treinta años tres hombres o menos estén vivos.

6-. Una empresa comercializadora por correos envía mensualmente una encuesta a clientes potenciales y solamente el 10% de las personas responde a dicha encuesta. Suponga que responder o no las entrevistas son ensayos independientes.
a) Si se envían diez encuestas. ¿Cuál es la probabilidad de que exactamente cuatro personas la respondan?
b) Si se envían diez encuestas. ¿Cuál es la probabilidad de que al menos dos personas la respondan?
c) Si se envían diez encuestas. ¿Cuál es la probabilidad de que tres personas o menos la respondan?

7-. De acuerdo a datos históricos el 30% de los automóviles nuevos de una determinada marca requieren cierto tipo de reparación durante el periodo de garantía. Suponga que el requerimiento de reparación de los autos es independiente.
a) ¿Cuál es la probabilidad de que de diez autos vendidos exactamente tres requieran reparación?
b) ¿Cuál es la probabilidad de que de diez autos vendidos al menos tres requieran reparación?
c) ¿Cuál es la probabilidad de que de seis carros vendidos esta semana como máximo tres requieran reparación?

8-. El número de mensajes en promedio que se envían a un boletín electrónico es igual a cinco mensajes por hora.
a) ¿Cuál es la probabilidad de que el boletín reciba cuatro o seis mensajes durante una hora?
b) ¿Cuál es la probabilidad de que el boletín no reciba ningún mensaje durante doce minutos?
c) ¿Cuál es la probabilidad de que en dos horas el número de mensajes que reciba el boletín sea mayor o igual a tres y menor seis?

9-. Un ingeniero Industrial que labora en el departamento de control de calidad de una empresa eléctrica, inspecciona una muestra al azar de tres alternadores de un lote. Si el 15% de los alternadores del lote están defectuosos. ¿Cuál es la probabilidad de que en la muestra:
a) Por lo menos 2 alternadores sean defectuoso.
b) El número de alternadores defectuosos sea mayor que 2 y menor que 5.

10-. La empresa empacadora de piñas LA IDEAL afirma que el 25 % de las piñas que llegan están listas para ser empaquetadas. Calcular la probabilidad de que 12 piñas que llegaron:
a) Por lo menos 2 estén listas para ser empaquetadas.
b) El número de piñas listas para ser empaquetadas sea mayor que 3 y menor que 5.

11. En un estudio sociológico, se encontró que 30% de los consumidores de perros calientes callejeros enferman de amibiasis. Se seleccionan al azar 8 adictos a los perros calientes callejeros, encuentre la probabilidad de que,
a) Por lo menos 2 tengan amibiasis.
b) El número de adictos que contengan amibiasis se mayor que 2 y menor que 6.

12. Una compañía de exploración gana un contrato con Petróleos de Venezuela para perforar pozos, esta compañía tiene estadísticas que le indican que en el 10% de los pozos de prueba que perfora encuentra un depósito de gas natural. Si perfora 6 pozos, hallar la probabilidad de que:
a) Por lo menos en 2 se encuentre gas natural.
b) El número de pozos donde se encuentre gas natural sea mayor a 1 y menor que 4.

13-. El número de fallas de un instrumento de prueba debido a partículas contaminantes de un producto es una variable Poisson con media (λ) igual a 0.02 fallas por hora.
a) ¿Cuál es la probabilidad de que el instrumento falle una vez en una jornada de doce horas?
b) ¿Cuál es la probabilidad de que el número de veces que falle el instrumento en una jornada de 36 horas sea mayor o igual a cuatro y menor que siete?
c) Para el caso b) calcule la E(X) y la V(X).

14-. El número de defectos en los rollos de tela de cierta industria textil es una variable aleatoria Poisson, con una media (λ) igual a 0.1 defectos por metro cuadrado de tela.
a) ¿Cuál es la probabilidad de tener cuatro defectos en cinco metros de tela?
b) ¿Cuál es la probabilidad de que el número de defectos en doce metros de tela sea mayor o igual a dos y menor que cinco?
c) Para el caso b) calcule la E(X) y la V(X)

15 -. El número de llamadas que llega a un conmutador se modela como una variable aleatoria de Poisson. Suponga que, en promedio, se reciben 10 llamadas por hora.
a) Cual es la probabilidad de que lleguen exactamente cinco llamadas en una hora?
b) Cual es la probabilidad de que se reciban tres o menos llamadas en una hora?
c) Cual es la probabilidad de que lleguen exactamente 15 llamadas en dos hora?

16-. El cajero automático ubicado dentro de una tienda por departamentos, en promedio es utilizado por seis personas en una hora.
a) ¿Cuál es la probabilidad de que dos o cuatro personas utilicen el cajero durante una hora?
b) ¿Cuál es la probabilidad de que nadie utilice el cajero durante diez minutos?
c) ¿Cuál es la probabilidad de que en dos horas el número de personas que utilicen el cajero sea mayor o igual a tres y menor seis?

17-. En una fábrica de ropa el gerente de producción, tiene estadísticas que le indican que, en cierta tela, en promedio existe 1,5 defectos por cada rollo, calcular la probabilidad de que:
a) Como máximo se encuentre dos defectos en dos rollos de tela.
b) Por lo menos se encuentren tres defectos en tres rollos de tela.

18-. En una fábrica de ropa el gerente de producción, tiene estadísticas que le indican que, en cierta tela, en promedio existe 2,5 defectos por cada rollo, calcular la probabilidad de que:
a) Como máximo se encuentre dos defectos en un rollos de tela.
b) Por lo menos se encuentren tres defectos en dos rollos de tela.

19-. En un estacionamiento en la central de abastos llegan en promedio 4 vehículos cada hora. Calcular la probabilidad de que:
a) Lleguen como máximo 3 automóviles en dos horas.
b) Lleguen por lo menos 4 automóviles en cuatro horas.

20-. En un estacionamiento en la central de abastos llegan en promedio 3 vehículos cada hora. Calcular la probabilidad de que:
a) Lleguen como máximo 2 automóviles en dos horas.
b) Lleguen por lo menos 4 automóviles en tres horas.

. Un equipo se sirve con 7 tornillos para ser montados por el cliente, pero el equipo sólo necesita 4 para funcionar. Si la proporción de tornillos defectuosos es del 10%, ¿Cuál es la probabilidad de que un equipo pueda montarse?. ¿Cual es la probabilidad de que si compramos 3 equipos no podamos hacer funcionar ninguno, por culpa de los tornillos? (Los tornillos de un equipo no sirven para el otro).

8. Una compañía compra cantidades muy grandes de componentes electrónicos. La decisión para aceptar o rechazar un lote de componentes se toma con base a una muestra de 100 unidades. Si el lote se rechaza al encontrar tres o más unidades defectuosas en la muestra, ¿cuál es la probabilidad de rechazar un lote si este contiene un 1% de componentes defectuosos?¿Cuál es la probabilidad de rechazar un lote que contenga un 8% de unidades defectuosas.

9. Se sabe que el 1% de los artículos importados de un cierto país tienen algun defecto. Si tomamos una muestra de tamaño 30 artículos, determinar la probabilidad de que tres o más de ellos tengan algún defecto.

10. La variable aleatoria X “tiempo de duración hasta su adquisiciónde cierto producto en el escaparate” está distribuida de manera exponencial, con un tiempo promedio de 6 días.
a) Probabilidad de que dure más de 6 días pero menos de 10.
b) ¿Cuantos días como mínimo tenemos que tener el producto en el escaparate para que la probabilidad de no se venda durante ese periodo sea de 0.85?
c) Un comerciante tiene el producto en el escaparate tres días. ¿Cual es la probabilidad de que se venda en en los próximos tres días?

11. Se ha comprobado que la duración de vida de ciertos elementos sigue una distribución exponencial con media 8 meses. Se pide:
a) Calcular la probabilidad de que un elemento tenga una vida entre 5 y 12 meses.
b) El percentil 0’9 de la distribución.
c) La probabilidad de que un elemento que ha vivido ya más de 11 meses, viva 14 meses más.

12. Supóngase que la concentración de cierto contaminante se encuentra distribuida de manera uniforme en el intervalo de 0 a 20 ppm (partes por millon). Si se considera tóxica una concentración de 8 o más, ¿cuál es la probabilidad de que al tomarse una muestra la concentración de ésta sea tóxica?. Concentración media y varianza. Probabilidad de que la concentración sea exactamente 10.

13. De la parada del autobus que recorre la línea Madrid-Alcalá de Henares sale un autobus cada 15 minutos. Un viajero llega de imrpoviso en cualquier momento. Obtener:
Probabilidad de que el viajero espere menos de 5 minutos
La media y la varianza de la variable aleatoria tiempo de espera

14. Una máquina fabrica tornillos cuyas longitudes se distribuyen normalmente con media 20mm y varianza 0’25mm. Un tornillo se considera defectuoso si su longitud difiere de la media más de 1mm. Los tornillos se fabrican de forma independiente. ¿Cual es la probabilidad de fabricar un tornillo defectuoso?.
Si los envasamos en envases de 15 tornillos, probabilidad de que un envase no tenga más de 2 defectuosos.

15. Una empresa dedicada a la fabricación y venta de bebidas refrescantes observa que el 40% de los establecimientos que son visitados por sus vendedores realizan compras de esas bebidas. Si un vendedor visita 20 establecimientos, determinar la probabilidad de que por lo menos 6 de esos establecimientos realicen una compra

16. La duración de un laser semiconductor a potencia constante tiene una distribución normal con media 7000 horas y desviación típica de 600 horas.
a) ¿Cual es la probabilidad de que el laser falle antes de 5000 horas?
b) ¿Cual es la duración en horas excedida por el 95% de los láseres?
Si se hace uso de tres láseres en un producto y se supone que fallan de manera independiente, ¿cual es la probabilidad de que los tres sigan funcionando después de 7000 horas?

17. Un servicio dedicado a la reparación de electrodomésticos en general, ha observado que recibe cada día por término medio 15 llamadas. Determinar la probabilidad de que se reciban más de 20 llamadas en un día.

18. El número medio de clientes que entran en un banco durante una jornada, es de 25. Calcular la probabilidad de que en un día entren en el banco al menos 35 clientes.

19. Las calificaciones de los alumnos de estadística, X, puede suponerse que se ajustan a una distribución aproximadamente normal, con una media de seis puntos y desviación típica de tres puntos
Hallar el porcentaje de alumnos que suspende
¿qué porcentaje de alumnos tiene notables y sobresalientes (es decir puntuaciones mayores que 7)?
Hallar la puntuación x tal que el 25% de los alumnos tiene una puntuación inferior o igual a x

20. Razonar para cuáles de los siguientes problemas la distribución binomial es un modelo adecuado:
a) Determinación de la probabilidad de que un agente de ventas lleve a cabo 2 ventas en 5 entrevistas independientes si la probabilidad es 0.25 de que el agente lleve a cabo una venta en una entrevista determinada.
b) Determinación de la probabilidad de que no más de 1 de 10 artículos producidos por una máquina sea defectuosos cuando los artículos se seleccionan a través del tiempo y se sabe que la proporción de defectuosos aumenta con el desgaste de la máquina con el tiempo.

21.- Los accidentes laborales diarios de una empresa siguen una distribución de Poisson de parámetro . Calcular las probabilidades:
a) de que en un determinado dia se produzcan dos; a lo sumo dos; por lo menos dos accidentes.
b) de que hayan 4 accidentes en una semana.
c) de que haya un accidente hoy y ninguno mañana.