Como determinar el centro y radio de una circunferencia conocidos tres puntos de ella.

  Geometria

Ordenemos la idea
Sabemos que para toda circunferencia desplazada del centro la ecuación que describe el lugar geométrico está dada por $(x-h)^2+(y-k)^2=r^2$ , tal como se muestra en la figura


Si tenemos tres puntos cuales quiera, no colineales, es seguro que existe una única circunferencia que pasa por ello, (lo cual demostraremos más adelante) y por lo tanto es válida la misma expresión que hemos definido, para cada uno de los pares de datos mencionados.

Dados los puntos (2,3), (3,4) y (5,1), se tendrá que

$$(x-h)^2+(y-k)^2=(x-h)^2+(y-k)^2=(x-h)^2+(y-k)^2$$
$$(2-h)^2+(3-k)^2=(3-h)^2+(4-k)^2=(5-h)^2+(1-k)^2$$
$$4-4h+h^2+9-6k+k^2=9-6h+h^2+16-8k+k^2=25-10h+h^2+1-2k+k^2$$
$$4-4h+9-6k=9-6h+16-8k=25-10h+1-2k$$
$$13-4h-6k=25-6h-8k=26-10h-2k$$

Y ahora, planteando los correspondientes sistemas de ecuaciones entre pares se tendrá que

$$\begin{array}{r|r} 4h+6k=13 & \\ 6h+8k=25& \end{array}$$ $$\begin{array}{r|r} 4h+6k=13 & \\ 10h+2k=26& \end{array}$$ $$\begin{array}{r|r} 6h+8k=25 & \\ 10h+2k=26& \end{array}$$

 

y al resolver cualquiera de los sistemas se tiene que

$$h=11.5 \text{  y  } k=-5,5$$

de donde la solución para el centro de la circunferencia es $$(x,y)=3.7,2.3$$

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