¿Como determinar la ecuación de una cuadrática conociendo tres puntos de ella?

  Geometria

Bastara reemplazar los puntos en la ecuación $y=ax^2 +bx+c$ y plantear el sistema correspondiente.
Los puntos correspondientes son $(0,-2) (3,1) \text{ y } (5,8)$.
Usando una tabla para ordenar, se tendrá que

$$x$$ $$y=ax^2 +bx+c$$ $$y$$
0 $$y=a\cdot 0^2 +b\cdot 0+c\Rightarrow c=-2$$ -2
3 $$y=a\cdot3^2 +b\cdot3+c\Rightarrow 9a+3b=3$$ 1
5 $$y=a\cdot5^2 +b\cdot 5+c\Rightarrow 25a+5b=10$$ 8

 

Por las deducciones de la tabla se plantea el sistema de ecuaciones

$$\begin{array}{r|r} 9a+3b=3 & \\ 25a+5b=10& \end{array}$$
Aplicando algún método, ya sea reducción, igualación, sustitución o cramer, se podrá determinar los valores de a y b, que son respectivamente a=1/2 y b= -1/2, de donde la ecuación principal de la cuadrática será.

$$y=\frac{1}{2}x^2-\frac{1}{2}x-2$$

Como puede observar la grafica corresponde a la parábola que pasa por los puntos mostrados.

Ejemplo 2
Dados los puntos (0,8) (5,5) (7,0)

Reemplazando ordenadamente en la ecuación $y=ax^2 +bx+c$ se tendrá que, del punto (0,8)

$$8=a\cdot0^2 +b\cdot 0+c\Rightarrow c=8$$
Del punto (5,5)

$$5=a\cdot5^2 +b\cdot 5+8 \Rightarrow 25a + 5b = −3$$

Y del tercer punto, (7,0)

$$0=a\cdot72 +b\cdot7+8\Rightarrow 49a+7b=-8$$
Al resolver el sistema obtenido, se tiene que, por igualación,
$$\begin{array}{r|r} 25a+5b=-3 & \\ 49a+7b=-8& \end{array}$$

$$b=\frac{53}{70} \text{ y } a=\frac{-19}{70} $$
Luego, los valores buscados son $$a=\frac{-19}{70}, b=\frac{53}{70} \text{ y } c=8$$

de donde la ecuación buscada es

$$ax^2+bx+c=y(x)=\frac{-19}{70}x^2+\frac{53}{70}x+8$$

Nota. Aplique cualquiera de los métodos conocidos para determinar el valor de A, B y C. No se centre en solo aplicar el método explicado, pues de usted depende relacionar lo aprendido en forma concreta.

 

Ejercicios

Determine ahora la ecuación de cada una de las cuadráticas mostradas en la grafica. Luego verifique si la ecuación obtenida cumple con cada curva, reemplazando diversos puntos.

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