Mínimos cuadrados

  Estadistica

La idea es establecer la ecuación de la mejor recta que pasa por una nube de puntos de tal que la distancia entre cada uno de ellos y dicha recta sea la menor
Para ello usaremos la ecuación particular que es de la forma $y=ax+b$
Donde la pendiente o inclinación está dada por
$$a=\frac{n\Sigma x_iy_i-\Sigma x_i\cdot\Sigma y_i}{n\left(\Sigma_i^2\right)-\left(\Sigma x_i\right)^2}$$

y el desfase, o punto de corte con el eje vertical

$$b=\frac{(\Sigma y_i)-a\Sigma x_i}{n}$$

Ejemplo.

n x y X2 Y2 XY
1 2 3 4 9 6
2 3 5 9 25 15
3 4 6 16 36 24
4 5 6 25 36 30
5 6 7 36 49 42
6 7 7 49 49 49
suma 27 34 139 204 166

 

En este ejemplo se puede observar que

$$\Sigma x_i=27$$ $$\Sigma y_i=34$$ $$\Sigma x_i^2=139$$ $$\Sigma y_i^2=204$$ $$\Sigma x_iy_i=166$$

 

Entonces

$$a=\frac{6(166)-(27)(34)}{6(139)-(27)^2}=\frac{26}{35}=0,7428571429…$$

(Procure usar la expresión fraccionaria. NO sea porfiado. Cuando usa decimales pierde precisión)

$$b=\frac{34-\frac{26}{35}\cdot 27}{6}=\frac{244}{105}=2,323809524…$$

Entonces la ecuación de la mejor recta que pasa por los puntos mencionados es

 

$$y=\frac{26}{35}x+\frac{244}{105}$$

 

LEAVE A COMMENT