Teoremas del seno y coseno

  Geometria

Dado un triángulo rectángulo cualquiera la proyección de uno de sus vértices sobre la arista opuesta lo separa en dos triángulos rectángulos.

Como se puede apreciar la altura proyectada corresponde al producto del segmento C por el seno de α y por lo tanto la base b se puede separar en la suma de el producto del segmento C por el coseno de α y su diferencia con la medida de b , $(b − c ⋅ cos (\alpha ))$ .

Aplicando el teorema de Pitágoras se puede determinar que el segmento a es equivalente a la raíz de la suma de los cuadrados de los lados de los catetos correspondientes, por ende

$$a^2 =(c\cdot sen(\alpha))^2 +(b−c\cdot cos(\alpha))^2$$

Es decir

$$a^2 =c^2sen^2(\alpha)+b^2 −2\cdot bc\cdot cos(\alpha)+c^2cos^2(\alpha)$$

Ordenando la idea

$$a^2 =c^2sen^2(\alpha)+b^2 +c^2cos^2(\alpha)−2\cdot bc\cdot cos(\alpha)$$

$$a^2 =c^2\left(sen^2(\alpha) +cos^2(\alpha)\right) +b^2−2\cdot bc\cdot cos(\alpha)$$

$$a^2 =c^2\left(sen^2(\alpha) +cos^2(\alpha)\right)+b^2−2\cdot bc\cdot cos(\alpha)$$

de donde

$$a^2 =b^2+c^2−2\cdot bc\cdot cos(\alpha)$$

Del mismo modo, por las correspondientes proyecciones se determina que

$$b^2 =a^2+c^2−2\cdot ac\cdot cos(\beta)$$

$$c^2 =a^2+b^2−2\cdot ab\cdot cos(\gamma)$$

Queda al estudiante desarrollar estos dos casos.

Analicemos el siguiente caso

La altura h se puede escribir como $c sen (\alpha )$ y como $a sen (\gamma )$, por ende ambas expresiones son iguales.

$$c sen (\alpha )=a sen (\gamma )$$

Entonces

$$\frac{a}{sen (\alpha )}=\frac{c}{sen (\gamma )}$$

Aplicando la misma lógica se llega a que las relaciones entre los lados y los
ángulos pertinentes se puede escribir como

$$\frac{a}{sen (\alpha )}=\frac{b}{sen (\beta )}=\frac{c}{sen (\gamma )}$$
Comprueba esto al relacionar las alturas de cada vértice por separado.

Ejercicios y ejemplos

Sabemos que

$$x^2 =12^2 +30^2 −2⋅12⋅30cos(60°) \\\Rightarrow x^2 =144+900−360\\\Rightarrow x= \sqrt{684}$$

 

En este caso la situación es similar

$$40^2 =15^2 +x^2 −2⋅15⋅x⋅cos(60°)\\\Rightarrow1600=225+x^2 −15x$$
Ordenando la idea se plantea una cuadrática$$x^2 −15x+225−1600=0$$
Es decir
$$x^2 −15x−1375=0$$

Al resolver llegamos a que

$$\left(x-\frac{15}{2}\right)^2=1375+\frac{225}{4}$$
es decir
$$\left(x-\frac{15}{2}\right)^2=\frac{5500+225}{4}$$
luego

$$x=\frac{15}{2}\pm\sqrt{\frac{5500+225}{4}}=\frac{15}{2}\pm\sqrt{\frac{5725}{4}}$$

Claramente se descarta la solución negativa, por carecer de aplicación en el problema

 

 

¿Y los ángulos?

Simplemente relacionamos los ángulos en base al teorema del seno.
Para la primera figura podemos afirmar que, conocido el valor de x
$x= \sqrt{684}$.

Se plantea la igualdad

$$\frac{\sqrt{684}}{sen(60)}=\frac{12}{sen(\gamma)}$$

entonces

 

$$Sen(\alpha)=\frac{12\cdot sen(60)}{\sqrt{684}}\Rightarrow \alpha=Sen^{-1}\left(\frac{12\cdot sen(60)}{\sqrt{684}}\right)$$

Recuerda que el arcoseno en tu calculadora se obtiene aplicando la función inversa del seno.

 

ejercicios

1.- Resolver un triángulo tal que a=4.5 cm., B=30º y C= 78º
2.- Resolver un triángulo sabiendo que a=4.5 cm. B=35º y b=10 cm.
3.- Resolver el triángulo con a=2.3 m., b=160 cm. y c= 4 m.
4.- Resolver el triángulo a=3 m., b=5 m. y C= 80º.
5.- Las diagonales de un paralelogramo miden 5 y 6 cm., respectivamente y se cortan bajo un ángulo de 50º. Hallar el perímetro del paralelogramo.
6.- Desde un punto se observan unos arboles con un ángulo de 36º, si avanzamos hacia ellos en línea recta y los volvemos a observar el ángulo es de 50º. ¿Qué altura tienen?.
7.- Tres puntos A, B y C están unidos por carreteras rectas y llanas. La distancia AB es de 6 Km., la BC es 9 Km. y el ángulo que forman AB y BC es de 120º. ¿Cuánto distan A y C?.
8.-Un carpintero debe hacer una mesa triangular  de tal forma que un lado mida 2m., otro 1.5 m. y el ángulo opuesto al primer lado debe ser 40º. ¿Lo conseguirá?.
9.- Dos personas caminan por un sendero, pero en un punto se bifurca formando un ángulo de 38º y cada uno va por su lado, uno camina a 3 km. por hora y el otro a 3.5 km. por hora, ¿A qué distancia se encuentran al cabo de media hora?.
10.-Desde los puntos A y B de una misma orilla de un río y separados entre si 12 m., se observan el pie P y la copa C de un pino, situado en la orilla opuesta. Calcular la altura del pino, sabiendo que los ángulos miden PAB=42º, PBA=37º y PAC=50º

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