Triángulos I: Propiedades Básicas

  Geometria

TRIÁNGULO
Es el que se forma al unir tres puntos no colineales con segmentos de recta.

Notación:
Triángulo ABC: $\bigtriangleup$ABC.

Elementos:
• Vértices : A, B y C
• Lados : $\overline{AB},\overline{BC} \text{ y }\overline{AC} $ , o a, b y c
• Ángulos internos: $\measuredangle{ABC}; \measuredangle{BCA} \text{ y }\measuredangle{CAB}$
• Ángulos externos: $\measuredangle{PAB}, \measuredangle{BQC} \text{ y } \measuredangle{RCA}$

Regiones Determinadas

OBSERVACIÓN:
Región triangular: Es la unión de la región interior con el triángulo..

• Perímetro de la Región Triangular ABC: 2P

$$2p = AB + BC + AC$$

CLASIFICACIÓN

Según la Medida de sus Lados

 

$\bigtriangleup\;$ Escaleno $\bigtriangleup$ isosceles $\bigtriangleup$ Equilátero
  
$$AB\ne BC \ne AC$$ $$DE=EF\ne DF$$ $$GI=IH=HG$$

 

Rectángulo Obtusángulo Acutángulo

 

PROPIEDADES BÁSICAS O FUNDAMENTALES

Suma de Medida de los Ángulos Internos

En todo triangulo plano se cumple que la suma de las medidas de los ángulos interiores es igual a un ángulo extendido. Esto es,

$$\alpha+\beta+\gamma=180º$$

Suma de Medidas de los Ángulos Externos Considerando uno por cada vértice

Se cumple: la suma de los angulo exteriores de todo triangulo plano es igual aun ángulo extendido

La demostracion es simple

sabemos que $\alpha +\delta=180º$, $\beta+ \zeta=180$ y $\Gamma+\epsilon=180$

entonces

$$\alpha +\delta+\beta+ \zeta+ \Gamma+\epsilon=3\cdot 180º$$

pero, ya sabemos que $\alpha +beta+\Gamma=180º$, por lo tanto

$$180º+\delta + \zeta+\epsilon=3\cdot 180º$$

entonces

$$\delta + \zeta+\epsilon=2\cdot 180º$$

Cálculo de un Ángulo Exterior

basado en la misma figura,

$$\alpha +\beta=\epsilon$$

$$\alpha+\gamma=\zeta$$

$$\beta +\gamma=\delta$$

Propiedad de Correspondencia

si $$\alpha<\beta<\gamma\Rightarrow a<b<c$$

Relación de Existencia

Si Si $a\em b\en c, se cumple:,

$b – c < a < b + c $ , $a – c < b < a + c $,  $a – c < c < a + b $

 

PROPIEDADES PARTICULARES

se cumple que $\delta=\alpha+\beta+\gamma$

se cumple que $\alpha+\beta=\gamma+\delta=$

Se cumple que $\alpha+\beta=\Theta+\omega$

 

Ejercicios

1.-   En el triángulo$\bigtriangleup$ ABC, AB = BD. Calcular x
2.- Según el gráfico, calcular
$\measuredangle{ADC}$, si: AE = ED, $\measuredangle{ACD}=40º$ y el triángulo $\bigtriangleup$ ABC es equilátero.
3.- Según el gráfico: AB = BD y CD = CE. Calcular x
4.- Calcular $\measuredangle{ABC}$, si: AF=FC=DE=DF=EF
5.- Calcular $\measuredangle{ACF}$, si: BC = CD y $\theta-\alpha= 50º$.
6.- Calcular el valor de x, si:

AE = EB = EF = FD = DC y

$\measuredangle{BAC} = \measuredangle{FDA}$

7.- En la figura $\theta-\omega= 12º$,

Calcular $\alpha-\beta$

8.- En la figura AB = BC, calcular xº
9.- En un triángulo $\bigtriangleup$ABC, se cumple que las medidas de sus ángulos interiores son tres números consecutivos. Calcular la medida del ángulo menor.
10.- Según el gráfico, calcular x
11.- En el gráfico: DE = EC = CF = FG. Calcular: $\alpha$
12.- En el gráfico mostrado:

$\alpha+\beta+\Phi=160º$. Calcular x

13.- Calcular x + y
14.- Calcular el valor de x
15.- Calcular $\frac{x+y+z}{m+n}$

 

Ejercicios con alternativas

1.- En el triángulo ABC, AB = BD, calcular “x”
a)10º b)20º c)30º d)40º e)50º
2.- Según el gráfico, calcular
$\measuredangle{ADC}$, si AE = ED, $\measuredangle{ACD} = 35º$ y el triángulo ABC es equilátero.
a)10º b)20º c)30º d)40º e)50º
3.- Según el gráfico AB = BD,
CD = CE, calcular x
a)30º b)40 c)50º d)60º e)20º
4.- Calcular “x”, si.

PU = UQ = SU = ST = TU.

a)120º b)130º c)140º d)150º e)155º
5.- Calcular $\measuredangle{ACF}$, si BC = CD y
$\theta-\alpha= 70º$
a)10º b)15º c)20º d)25º e)30º
6.-Calcular el valor de “x”, si:

AE = FB = EF = FD = DH = HI = IC, $\measuredangle{CAB}= \measuredangle{HID}$.

a)20º b)19º c)18º d)17º e)16º
7.-En la figura, $\delta– \Omega= 16º$, calcular $\psi-\phi$
a)12º b)13º c)14º d)15º e)16º
8.-En la figura PQ = QC
a)35º b)45º c)55º d)65º e)25º
9.-En un triángulo ABC se cumple que las medidas de sus ángulos interiores son tres números pares consecutivos. Calcular el ángulo intermedio
a)30º b)40º c)50º d)60 e)55
10.- En el gráfico: DE = EC = CF = FG. Calcular: $\alpha$
a)10º b)20º c)30º d)40º e)50º

Claves
1. D
2. B
3. B
4. A
5. C
6. C
7. E
8. B
9. D
10. B

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