Triángulos II: Líneas y Puntos Notables

  Geometria

ALTURA
Segmento que sale de un vértice y corta en forma perpendicular al lado opuesto o a su prolongación.

 

Ortocentro (H)
Es el punto donde se intersectan las tres alturas de un triángulo. Todo Triángulo tiene un único Ortocentro.
Dependiendo de las características del triangulo, el ortocentro puede estar dentro, fuera o ser punto frontera.

El el triangulo es Acutangulo, el Ortocentro es interior. Si el triangulo es Obtusangulo el Ortocentro es exterior Si el triangulo es Rectangulo el Ortocentro es punto frontera, y esta ubicado en la intersección de los dos catetos.

 

MEDIANA
Segmento que une un vértice con el punto medio del lado opuesto a dicho vértice.

 

El Baricentro Siempre es un punto interior del Triángulo.

Ademas, siempre se cumple que en todo $\bigtriangleup{ABC}$, tal que $D,E,F$ son puntos medios de los segmentos laterales que lo forman:

$$AG=2GE; CG=2GF; BG=2GD$$

¿En resumen?

Todo triángulo tiene un solo baricentro.
Divide a cada mediana en relación como 1 es a 2.
El baricentro es siempre un punto interior.
Es llamado también gravicentro o centro de gravedad de la región triangular.

BISECTRIZ
Segmento que divide a un ángulo interior o exterior en dos ángulos de igual medida.

Incentro (I)
Es el punto donde se intersectan las tres bisectrices interiores de un triángulo, es el centro de la circunferencia inscrita.

Todo triángulo tiene un solo incentro.
El incentro equidista de los lados del triángulo.
El incentro es siempre un punto interior del triángulo.

particularmente el Incentro corresponde al centro de la circunferencia inscrita en el Triangulo.

Excentro (E)
Es el punto donde se intersectan dos bisectrices exteriores con una bisectriz interior en un triángulo, es el centro de la circunferencia exinscrita

E: Encentro relativo de $\overline{BC}$
Todo triángulo tiene tres excentros.
Los excentros son siempre puntos exteriores al triángulo.

MEDIATRIZ
Es una recta que pasa por el punto medio de un lado cortándolo en forma perpendicular.

$$AG=GB;BE=EC;AD=DC$$

Circuncentro (F)
Es el punto donde se corta las tres mediatices de un triángulo.
C: Circuncentro, es el centro de la circunferencia circunscrita

Todo triángulo tiene un solo circuncentro.
El circuncentro equidista de los vértices del triángulo.
Es un punto interior si el triángulo es acutángulo.
Es un punto exterior si el triángulo es obtusángulo.
Si es rectángulo está en el punto medio de la hipotenusa.

Propiedad:
Si: “F” es Circuncentro

CEVIANA
Segmento que une un vértice con un punto cualquiera del lado opuesto o de su prolongación.

Cevacentro (C)
Es el punto donde se intersectan tres cevianas de un triángulo.

Todo triángulo tiene infinitos cevacentros
– Para ubicar un punto notable sólo es necesario trazar dos líneas notables de la misma especie.
– En todos los triángulos isósceles si se traza una de las cuatro primeras líneas notables hacia la base; dicha línea cumple las mismas funciones que las otras.
– En todo triángulo equilátero el Ortocentro, baricentro, incentro y circuncentro coinciden.
En todo triángulo isósceles, el ortocentro, baricentro, incentro y el excentro relativo a la base, se encuentran alineados en la mediatriz de la base.

PROPIEDADES CON LÍNEAS NOTABLES

1. Ángulo formado por dos bisectrices interiores.

$$x=90+\frac{\gamma}{2}$$

2. Ángulo formado por dos bisectrices exteriores.

$$x=90-\frac{\gamma}{2}$$

Ángulo formado por una bisectriz interior y una bisectriz exterior

$$x=\frac{\gamma}{2}$$

$$x=45-\frac{\gamma}{2}$$

$$x=\frac{\delta +\gamma}{2}$$

$$x=\frac{\delta +\gamma}{2}$$

Si $BE \perp AC$ y $BD$ bisectriz de $\measuredangle{ABC}$, entonces..

$$x=\frac{\alpha-\beta}{2}$$

 

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