Problemas de mezclas

  Aritmetica, Didáctica

En el comercio suele mezclarse elementos de igual o distinta naturaleza para obtener compuestos más aceptables de acuerdo a determinados criterios; lo anterior ocurre con artículos de farmacia para cambiar la concentración de ciertos compuestos  de acuerdo a las prescripciones del medico tratante, o en  joyería para cambiar la ley de fino en la elaboración de algunas aleaciones, en las fundiciones para reforzar las características deseables ( dureza, brillo, resistencia a los cambios de temperatura, etc..)

En metalurgia se llama ley de una aleación a la cantidad de metal noble unidad de masa de los distintos elemento; dicha ley se expresa en kilates o también en milésimas.

Por ejemplo la expresión “anillo de 18 kilates” significa que la razón entre la cantidad de oro puro y la cantidad de aleación es de 18:24; del mismo modo, una ley de fino de 875 milésimas significa una razón de. 875:1000.

Ejercicios resueltos

Se funden 225 gramos de plata de 870 milésimas con 150 gramos de plata de 820 milésimas. Determine la ley de la aleación resultante

\begin{array}{c|c|c|c|c} &\text{Ley de fino} & \text{ Total de gramos de aleación} & \text{Total de gramos de plata} \\ \text{Aleación 1}&0,870& 225&195,75 gr.\\ \text{Aleación 2} & 0,820&150&123.00 gr\\\text{Aleación resultante}&x&375&375 x gr. \end{array}

La ecuación que resuelve el problema es

$$197,75x+123=375x$$

de donde

$$x=\frac{320,75}{375}=0,85 gr.$$


Se desea obtener 75 kg. de estaño al 20% formando una aleación con estaño al 25% y estaño de 10% de pureza. ¿cuantos kilogramos de cada clase de estaño deben fundirse ?

\begin{array}{c|c|c|c|c} &\text{Ley de fino} & \text{ Total de gramos de aleación} & \text{Total de gramos de plata} \\ \text{Aleación 1}&0,25& x&0,25 kg.\\ \text{Aleación 2} & 0,10&y&0,10y\\\text{Aleación resultante}&0,20&75&15.00 kg \end{array}

Se genera un sistema de ecuaciones

\begin{array}{r|r} x+y=75 & \\ 0,25x+0,10y=15& \end{array}

de donde

$$x=50 [kg]; y=25[kg]$$


¿Cuánto alcohol puro debe agregarse a 15 litros de alcohol al 40% para obtener un alcohol al 50%?

\begin{array}{c|c|c|c|c} &\text{concentración} & \text{ Total de litros} & \text{Total de litros de alcohol puro} \\ \text{Alcohol tipo 1}&0,40& 15&6 [litros].\\ \text{Alcohol tipo 2} & 1&x&x [litros ]\\\text{Alcohol Deseado}&0,50&15+x&0,5(15+x) [litros] \end{array}

La ecuación que resuelve el problema es

$$6+x=0,5\times (15+x)$$

de donde

$$x=3 [litros]$$


En un laboratorio se tiene una solución de 160 litros de acido al 20%. ¿qué cantidad de agua debe evaporarse para obtener una solución al 40%?

\begin{array}{c|c|c|c|c} &\text{concentración} & \text{ Total de litros} & \text{Total de litros de acido puro} \\ \text{solución  tipo 1}&0,20& 160&32 [litros].\\ \text{Solución tipo 2} & 0,00&- x&0 [litros ]\\\text{Solución  Deseada}&0,40&160-x&0,4(160-x) [litros] \end{array}

La ecuación que resuelve el problema es

$$32=0,4\times (160-x)$$

de donde

$$x=80 [litros]$$


Se mezclan 12 sacos de maíz de $\$2100$ el saco con 15 sacos de otra clase para venderse el saco de mezcla a $\$1750$. Calcule el precio del salo de la segunda clase.

\begin{array}{c|c|c|c|c} &\text{Precio Unitario} & \text{ Total de Sacos} & \text{Precio Total} \\ \text{Maiz  tipo 1}&2100& 12&25.200\\ \text{Maiz tipo 2} & x&15&15x\\\text{Mezcla  Deseada}&1.750&27&47250 \end{array}

La ecuación que resuelve el problema es

$$25.200+15x=47.250$$

de donde

$$x=\$1470$$


Ejercicios con respuesta

Un Químico tiene una solución al 40% de un acido , y otra del mismo ácido al 75%.

¿Cuantos $cm^3$ de cada uno debe utilizar para obtener 60$cm^3$ de solución la $50\%$?

\begin{array}{r|l|r|c|c} 0,40x+0,75y&=60\times0,50\\  x+y  &=60  \end{array}


El dueño de un cine sabe que se vendieron 350 entradas en una función de matinée. Le precio de la entrada fue de $\$70$ por adulto y de $\$30 $ por niño. Obtenga las ecuaciones que resuelvan el problema llamando x al número de adultos e y al número de niños que asistió si el total recaudado fue de $\$15.000$.

\begin{array}{r|l|r|c|c} 70x+30y&=15.000\\  x+y  &=350  \end{array}


¿Cuántos kilos de azúcar a $\$p$ el kilo se deben mezclar con 80 litros a $\$q$ el kilo para obtener una mezcla a $\$m$ el kilo (p<m<q)

\begin{array}{r|l|r|c|c} px+80q&=m(x+80) \end{array}


Se mezcla alcohol del $42\%$ con alcohol al $74\%$ resultando una mezcla al $56\%$. Si a esta mezcla se le añaden 30 litros de la primera clase y 130 litros de la segunda clase , la mezcla resultante tiene una concentración del $62\%$.

¿Cuántos litros de cada clase tenia la primera mezcla? (x =total de litros de la primera mezcla e y total de litros de la segunda).

\begin{array}{r|l|r|c|c} 0,42x+0,74y&=0,56(x+y)\\ 0,42(x+30)+0,74(y+130)&=0,62(x+y+160)  \end{array}


¿Qué cantidad de agua debe agregarse a 1,2 litros de alcohol puro para obtener alcohol al $78\%$?

$$0,78(1,2+x)=0,00x+1,2$$


En una aleación de Zinc, Cobre y Estaño, donde el Zinc es el $60\%$ del cobre y este el $40\%$ del estaño.

Calcule la cantidad de cada metal que se debe fundir para obtener 123 toneladas (x=nº de kilos de estaño)

$$x+\frac{40}{100}x+\frac{60}{100}\cdot\frac{40}{100}x=123$$


¿Qué cantidad de de alcohol puro debe agregarse a 10 litros de una mezcla que es del $15\%$ de alcohol para obtener uno al $25\%$?

$$x\cdot 1+ 10\cdot 0,15=(x+10)\cdot 0,25$$


Una mezcla de arena y cemento contiene $11 [dm^3]$ de cemento y $$26 [dm^3]$ de arena.

¿Cuánta arena debe agregarse para formar una mezcla que tenga un $22\%$ de cemento?

$$x\cdot 0,00+11=(x+37)\cdot 0,22$$


Una compañía compra leche cruda que contiene un $4,5\%$ de materia grasa. Esta debe se estandarizada de modo que contenga solo un $4\%$ de grasa, y esto se logra agregándole leche desgrasada $(0\% \text{ de grasa})$

¿Cuantos litros debe agregarse de este ultimo tipo de leche a $100$ litros de leche cruda?

$$4,50=0\cdot x+4(100+x)$$


Nota: pronto agregaré más problemas y un test de alternativas.


Problemas en revisión. ( recopilación)

01.- Un comerciante tiene dos clases de aceite, la primera de 6 euros el litro y la segunda de 7.2 euros el litro. ¿Cuántos litros de cada clase hay que poner para obtener 60 litros de mezcla a 7 euros el litro?
Sol: 10 litros de la primera y 50 litros de la segunda.

02.- Un joyero tiene dos lingotes de oro, con un 80% de pureza y el otro con un 95% de pureza. ¿Cuánto debe fundir de cada uno para obtener un lingote de 5 kilos con un 86% de pureza?
Sol: 3 kilos del oro al 80% y 2 del de 95%.

03.- ¿Cuántos kilos de nueces de Castilla que cuestan 0.80 € el kilo deben mezclarse con 8 kilos de nueces de la India que cuestan 1.25 € el kilo para crear una mezcla que cueste 1,00 € el kilo?
Sol: 10 kilos

04.- Juan mezcla 5 kg de chocolate blanco cuyo precio es de 3 euros el kg. Con 7 kg de chocolate negro, de 4 euros el kg. ¿Cuál es el precio de la mezcla resultante?
Sol: 3,58 €

05.- Se mezclan 36 kg de trigo, de 0,40 €/kg, con 60 kg de cebada, de 0,24 €/kg. ¿A cuánto sale el kilo de tritordeum?.
Sol: 0,3 €

06.- Un lingote de oro cuesta 12.000 € y pesa 2 kg, un lingote de plata pesa kilo y medio y su coste en el mercado es de 3.000 €. Una corona de masa 1,5 kg se ha fabricado con una mezcla de oro y plata y le ha costado al joyero 7.000 €. Calcular la cantidad de oro en la misma.
Sol: 1 kg.

07.- Se quiere mezclar vino de 60 € con otro de 35 €, de modo que resulte vino con un precio de 50 € el litro. ¿Cuántos litros de cada clase deben mezclarse para obtener 200 L de dicha mezcla?.
Sol: 120 litros de 60€/L y 80 litros de 35€/L.

08.- Se sabe que la Coca Cola de botella cuesta un euro por litro, y que una botella de ginebra 10€ el litro. Un empresario desea producir cubatas de 1 € de valor y de cuarto de litro de volumen. ¿Qué cantidad de ginebra empleará?
Sol: 0,083 litros.

09.- En una bodega se mezclan 6 hl de vino de alta calidad que cuesta a 300 € el hectolitro, con 10 hl de vino de calidad inferior a 220 €/hl. ¿A cómo sale el litro del vino resultante?
Sol: 2,5 €

10.- Se han vertido 3 litros de agua, a 15 °C, en una olla que contenía 6 litros de agua a 60 °C. ¿A qué temperatura está ahora el agua de la olla?
Sol: 45°

11.- Se ha fundido un lingote de oro de 3 kg de peso y 80% de pureza, junto con otro lingote de 1 kg y 64% de pureza. ¿Cuál es la pureza del lingote resultante?
Sol: 76 %

12.- Calcula cuántos litros de una disolución de ácido sulfúrico al 80% hay que añadir a 5 litros de una disolución de ese mismo ácido, al 15%, para subir la concentración al 20%.
Sol: 0,417 l

13.- ¿Cuántos litros de leche con un 10% de grasa hemos de mezclar con otra leche que tiene un 4% de grasa para obtener 18 litros con un 6% de grasa?
Sol: 6 litros

14.- Se mezcla una cierta cantidad de café́ de 34 € el kilo, con 80 kilos de otro café́ de 50 €/kg, para obtener una mezcla que se pueda vender a 44 € el kilo. ¿Cuánto café́ de 34 € debe emplearse en la mezcla?
Sol: 48 Kg.

15.- Se mezclan 8 litros de aceite de 4€ el litro con otro más barato para obtener 20 litros a 2,5 € el litro. ¿Cuál es el precio del aceite más barato?
Sol: 1,50 € el litro

16.- Un tipo de aceite de 3,2 € el litro se obtiene mezclando un 60 % de aceite virgen extra de 4 € litro y el resto con otro más barato. ¿Cuál es el precio de ese otro?.
Sol: 2 € el litro

17.- ¿Cuántos litros de un líquido que tiene 74% de alcohol se debe mezclar con 5 litros de otro que tiene 90% de alcohol, si se desea obtener una mezcla de 84% de alcohol?.
Sol: 3 litros

18.- Se mezclan 10 sacos de 40 kg de azúcar cada uno, cuyo precio es de 0’8 €/kg, con 100 kg de otra clase de azúcar, de 0’85 €/kg. ¿A cuánto sale el kilo de mezcla?.
Sol: 0,81 €

19.- En cierta mina de plata hay dos galerías, de la primera se extraen 6 Tm. de mineral con una pureza del 75%, de la segunda se extraen 14 Tm. de una pureza del 65%. Todo en mineral extraído se coloca en una misma pila ¿Cuál es la pureza del mineral de la pila?
Sol: 68 %

20.- Se mezclan vinos de 13 € el litro y de 9 € el litro. ¿Qué cantidad de la primera clase hay que añadir a 80 litros de la segunda, para que vendiéndolo a 10,50 € se gane el 10%?
Sol: Tendremos que tomar 12,63 litros de vino de 13€ el litro.

21.- Un barril contiene 120 litros de vino y 180 litros de agua; un segundo barril contiene 90 litros de vino y 30 litros de agua. ¿Cuántos litros debe tomarse de cada uno de los barriles para formar una mezcla que contenga 70 litros de vino y 70 litros de agua?
Sol: 100 litros del primero y 40 del segundo

22.- Se tienen 16 litros de una mezcla con alcohol al 25% contenidos en un recipiente. ¿Cuántos litros de alcohol puro debo agregar a la mezcla inicial para finalmente obtener alcohol al 50%?
Sol: 8 litros

23.- Se mezclan 50 kg de carne de 4,2 €/kg con 25 kg de carne de 7 €/kg. ¿A cuánto sale el kilo de mezcla?.
Sol: 5,13 €

24.- Un vendedor tiene 30 litros de vino cuyo costo es de 10 € el litro. Decide agregarle agua para abaratarlo en 7.50 € y venderlo más rápido. ¿Qué cantidad de agua deberá́ agregar si desea ganar lo mismo?
Sol: 90 litros

25.- Se ha mezclado 3 sustancias de densidades 2,6 g/cm3; 1,8 g/cm3 y 2,00 g/cm3 y cuyos pesos fueron 169 g, 144 g, 170 g respectivamente. ¿Qué densidad tiene la mezcla obtenida?.
Sol: 2,1 g/cm3

26.- Mezclamos un lingote de 600 g y con una pureza del 80% de oro con otro lingote de 550 g con un 95% de pureza de oro. ¿Qué proporción de oro habrá́ en el lingote resultante?.
Sol: 87,17 %

Problemas

Un comerciante tiene dos clases de aceite, la primera de 6 € el litro y la segunda de 7,2 € el litro. ¿Cuántos litros hay que poner de cada clase de aceite para obtener 60 litros de mezcla a 7 € el litro?

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