Técnicas de Divisibilidad

  Aritmetica, Didáctica, tablas de multiplicar

Revisemos la idea…

Cuando un número es divisor de un dividendo, bastara sumar dicho divisor en forma continua para alcanzar al dividendo. Basado en este proceso, es simple determinar la multiplicidad de un número sobre otro.

Todo número es divisible por 2 si y solo si termina en cero o en una cifra par.

Bajo este prisma es fácil calcular la mitad de cualquier número par. separando en adiciones simples tales que los sumandos sean pares resulta sencillo
Veamos algunos casos.

$$36=\underbrace{2}_{1}0+\underbrace{16}_{8}=(10+8)\times 2=18\times 2$$
$$58=\underbrace{4}_{2}0+\underbrace{18}_{9}=(20+9)\times 2=29\times 2$$

Como se habrá dado cuenta, calcular la mitad de un número cuya decena es impar no resulta particularmente complicado si separamos en adiciones adecuadas. Esa es la idea fundamental de este proceso
$$134=\underbrace{12}_{6}0+\underbrace{14}_{7}=(60+7)⋅2=67⋅2$$

Todo número es divisible por 3 si y solo si la suma de su dígitos es múltiplo de 3.

Algunos ejemplos

$$111=1+1+1=3$$ $$201 = 2 + 0 + 1 = 3$$ $$411= 4+1+1= 6$$ $$522=5+2+2=9$$

Ahora hagamos las descomposiciones adecuadas
$$111=\underbrace{9}_{3}0+\underbrace{21}_{7}=37⋅3$$

$$201=\underbrace{18}_{6}0+\underbrace{21}_{7}=67⋅3$$

$$411=300+111=\underbrace{3}_{1}00+\underbrace{9}_{3}0+\underbrace{21}_{7}=137⋅3$$

$$522=300+222=\underbrace{3}_{1}00+\underbrace{21}_{7}0+\underbrace{12}_{4}=174⋅3$$

Ejercicios. Verifique que son divisibles por 3 y descomponga en sumas sucesivas según corresponda para determinar el múltiplo correspondiente

 

\begin{array}{c|c|c|c|c} \text{Número} & \text{ Suma de los dígitos} & \text{Descomposición en sumas sucesivas} \\ 163452\\ 203262\\223788\\85689\\136926 \end{array}

Todo número es múltiplo de 4 si, y solo si, sus dos últimas cifras son ceros, o múltiplos de 4.

Algunos ejemplos

$$316 \rightarrow 16 = 4\times 4$$
$$452 \rightarrow 52 → 40 + 12 → 4 \times 10 + 4 ⋅ 3 $$
$$3064\rightarrow64→40+24\rightarrow4⋅10+4⋅6$$
$$ 284\rightarrow84\rightarrow80+4\rightarrow4⋅20+4⋅1$$

Los cuatro casos cumplen perfectamente. Ahora veamos las descomposiciones

$$316 = \underbrace{28}_{7}0+\underbrace{36}_{9} = 79\times 4$$

$$452=\underbrace{44}_{11}0+\underbrace{12}_{3}=113\times 4$$

$$3064 = \underbrace{28}_{7} 00 + \underbrace{24}_{6} 0 + \underbrace{24}_{6}= 766 \times 4$$

$$284 = \underbrace{28}_{7} 0 + \underbrace{4}_{1} = 71⋅ 4$$

Ejercicios. Verifique que son divisibles por 4 y descomponga en sumas sucesivas según corresponda para determinar el múltiplo correspondiente

\begin{array}{c|c|c|c|c} \text{Número} & \text{ Dos últimas cifras} & \text{Descomposición en sumas sucesivas} \\ 270188\\ 215336\\182516\\313932\\237900\\182772 \end{array}

Nota de referencia. La descomposición en adiciones dependerá de los gustos de cada cual. Busque y desarrolle, por su cuenta, la forma de adicionar más conveniente para cada caso. Si la suma es la misma, el resultado de la división también lo será

Todo número es divisible por 5 si, y solo si, termina en cero ó en 5.

Aplique la técnica de descomposición en sumas para determinar las multiplicaciones que generan estos números

\begin{array}{c|c|c|c|c} \text{Número} & \text{Número} & \text{Número} \\ 1245 & 925&230\\ 3271859785& 374170370 &319880645\\407990480&129935845 &137645 \end{array}

Pregunta
¿Se dio cuenta de que la técnica de multiplicación por 5, aplicada en forma inversa simplifica aún más este proceso?

\begin{array}{l|c|c|c|c|c|c|c|c|c}  &1245& 230 &9785&370&645&480&845&730&925\\\hline \text{Eliminando el último elemento}&124&23&978&37&64&48&84&73&92\\ \hline\text{El Doble }&248&46&1956&&128&&168\\ \hline \text{Pares }&&46&&74&&96&&146&184\\\hline \text{Impares suma uno}&249&&1957&&129&&169&&185 \end{array}

Todo número es divisible por 6 si, y solo si, es divisible por 2 y por 3 al mismo tiempo.

Veamos algunos casos

\begin{array}{c|c|c|c|c} \text{Número} & 2& 3&6 \\ 132&\text{si}&\text{si}&\text{si}\\ 408&\text{si}&\text{si}&\text{si}\\552&\text{si}&\text{si}&\text{si}\\652&\text{si}&\text{no}&\text{no} \end{array}

El numero 652 claramente termina en número par, por ende es divisible por dos, sin embargo, la suma de sus cifras es 13, lo cual implica que no es divisible por 3.

Descompongamos los números en sumas para buscar el divisor que nos interesa

$$132 = \underbrace{12}_2 0 + \underbrace{12}_{2} = 22 \times 6$$
$$408 = \underbrace{36}_{6}0+ \underbrace{48}_{8} = 68 \times6$$
$$552 = \underbrace{54}_{9}0+ \underbrace{12}_{2} = 92 \times6$$

$$652 = \underbrace{60}_{10}0+ \underbrace{48}_{8} + \underbrace{4}_{?}= …$$

Ejercicios

Determine que número multiplicado por 6 es igual al mencionado
$140784$
$4477698$
$2923578$
$230837628$
$230837112$
$5075242512$
$1769143584$
$59098374$
$5234837922$
$8071470$

Un concepto.

Suponga el numero 578

Usted sabe que la cifra de las unidades es 8

La cifra de las decenas es 7 La cifra de las centenas es 5

Sin embargo ¿Cuántas decenas tiene es número?

Es decir cuanto grupos de 10 lo conforman.

Para su información esta compuesto por un total de 57 decenas y 8 unidades.

Todo número es divisible por 7 si, y solo si, la diferencia entre las decenas del número y el doble de su unidad es múltiplo de 7.

Revisemos algunos números, y  comprobemos cada una de ellos

2268. 2982. 1729. 2394. 2457. 5824

vamos paso a paso

\begin{array}{r|r|r|c|c} \text{Número} & \text{Decenas}  \\ 2268 & 226\\  & -16 \\\hline &=210  \end{array} $$\Rightarrow$$ \begin{array}{r|r|r|c|c} \text{Número} & \text{Decenas}  \\ 210 & 21\\  & -0 \\\hline &=21 \end{array} y 21 es múltiplo de 7
\begin{array}{r|r|r|c|c} \text{Número} & \text{Decenas}  \\ 2982& 298\\  & -4 \\\hline &=294  \end{array} $$\Rightarrow$$ \begin{array}{r|r|r|c|c} \text{Número} & \text{Número}  \\ 294 & 29\\  & -8 \\\hline &=21 \end{array} y 21 es múltiplo de 7
\begin{array}{r|r|r|c|c} \text{Número} & \text{Decenas}  \\ 1729 & 172\\  & -18 \\\hline &=154  \end{array} $$\Rightarrow$$ \begin{array}{r|r|r|c|c} \text{Número} & \text{Número}  \\ 154 & 15\\  & -8 \\\hline &=7\end{array} que obviamente es múltiplo de 7
\begin{array}{r|r|r|c|c} \text{Número} & \text{Decenas}  \\ 2394 & 239\\  & -8 \\\hline &=231  \end{array} $$\Rightarrow$$ \begin{array}{r|r|r|c|c} \text{Número} & \text{Número}  \\ 231 & 23\\  & -2 \\\hline &=21\end{array} y 21 es múltiplo de 7
\begin{array}{r|r|r|c|c} \text{Número} & \text{Decenas}  \\ 2457 & 245\\  & -14 \\\hline &=231  \end{array} $$\Rightarrow$$ \begin{array}{r|r|r|c|c} \text{Número} & \text{Número}  \\ 231 & 23\\  & -2 \\\hline &=21\end{array} y 21 es múltiplo de 7
\begin{array}{r|r|r|c|c} \text{Número} & \text{Decenas}  \\ 5824 & 582\\  & -8 \\\hline &=574  \end{array} $$\Rightarrow$$ \begin{array}{r|r|r|c|c} \text{Número} & \text{Número}  \\ 574 & 57\\  & -8 \\\hline &=49\end{array} y 49 es múltiplo de 7

 

Ahora separemos en sumas convenientes, para probar otra alternativa de comprobación

$$2268 = \underbrace{21}_{3}00 +\underbrace{14}_{2}0 + \underbrace{28}_{4} = 324⋅7$$
$$2982 = \underbrace{28}_{4}00 +\underbrace{14}_{1}0 + \underbrace{42}_{6} = 426⋅7$$
$$1729 = \underbrace{14}_{2}00 +\underbrace{28}_{4}0 + \underbrace{14}_{7} = 247⋅7$$
$$2394 = \underbrace{21}_{3}00 +\underbrace{28}_{4}0 + \underbrace{14}_{2} = 342⋅7$$
$$5824 = \underbrace{56}_{8}00 +\underbrace{21}_{3}0 + \underbrace{14}_{2} = 832⋅7$$

Ejercicios

Determine que número multiplicado por 7 es igual al mencionado

$4526074$
$38387888$
$40079081$
$332977911$
$40160988$
$40870151$
$41567918$
$408762074$
$320842599$
$333017034$

Todo número será divisible por 8 si y solo si sus tres últimas cifras son ceros o múltiplos de 8.

Esta regla tiene un pequeño inconveniente. ¿Cómo saber si las tres últimas cifras son múltiplos de 8?

Aplicando el método de descomposición en sumas continuas es bastante más sencillo

$$4384 = \underbrace{40}_{5}00 + \underbrace{32}_{4}0 + \underbrace{64}_{8} = 548 ⋅ 8$$
$$2856 = \underbrace{24}_{3}00 + \underbrace{40}_{5}0 + \underbrace{56}_{7} = 357 ⋅ 8$$
$$5088 = \underbrace{48}_{6}00 + \underbrace{24}_{3}0 + \underbrace{48}_{6} = 636 ⋅ 8$$
$$6672 = \underbrace{64}_{8}00 + \underbrace{24}_{3}0 + \underbrace{32}_{4} = 834 ⋅ 8$$
$$6936 = \underbrace{64}_{8}00 + \underbrace{48}_{6}0 + \underbrace{56}_{7} = 867 ⋅ 8$$
$$6032 = \underbrace{56}_{7}00 + \underbrace{40}_{5}0 + \underbrace{32}_{4} = 754 ⋅ 8$$

Ejercicios
Determine que número multiplicado por 8 es igual al mencionado

$462692656$
$438679872$
$686107784$
$453791712$
$226766264$
$661883696$
$741883696$
$581162912$
$4750698200$
$6867142856$

Todo número será divisible por 9 si, y solo si, la suma de sus dígitos es múltiplo de 9

$$3402=3+4+0+2=9$$
$$6453=6+4+5+3=18\rightarrow 1+8=9$$
$$7317 = 7 + 3 + 1 + 7 = 18\rightarrow 1 + 8 = 9$$
$$2043=2+0+4+3=9$$

Ahora apliquemos la descomposición en adiciones.
$$3402=\underbrace{27}_{3}00+\underbrace{63}_{7}0+\underbrace{72}_{8}=378⋅9$$
$$6453=\underbrace{63}_{7}00+\underbrace{90}_{1}0+\underbrace{63}_{7}=717⋅9$$
$$7317=\underbrace{72}_{8}00+\underbrace{90}_{1}0+\underbrace{27}_{3}=813⋅9$$
$$2043=\underbrace{18}_{2}00+\underbrace{18}_{2}0+\underbrace{63}_{7}=227⋅9$$

Ejercicios
Determine que número multiplicado por 9 es igual al mencionado.
$7077321$
$2013327$
$1455345$
$4614516$
$8216820$
$2229615$
$1772595$
$826038$
$3941037$
$7886502$

Todo número será divisible por 10 si, y solo si, termina en 0.

¿Será necesario?

Todo número será divisible por 11 si, y solo si, la diferencia entre la suma de las cifras de posición par y la suma de las cifras de posición impar es cero o múltiplo de 3.

$$5999824028 =
\begin{cases}
9+9+2+0+8=28, & \text{para cifras de posición impar} \\[2ex]
5+9+8+4+2=28, & \text{para cifras de posición par}
\end{cases}$$

$$65625619103 =
\begin{cases}
5+2+6+9+0=22, & \text{para cifras de posición impar} \\[2ex]
6+6+5+1+1+3=22, & \text{para cifras de posición par}
\end{cases}$$

$$710434549 =
\begin{cases}
7+0+3+5+9=24, & \text{para cifras de posición impar} \\[2ex]
1+4+4+4=13, & \text{para cifras de posición par}
\end{cases}$$

$$59240462138 =
\begin{cases}
9+4+4+2+3=22, & \text{para cifras de posición impar} \\[2ex]
5+2+0+6+1+8=22, & \text{para cifras de posición par}
\end{cases}$$

Ejercicios

Determine que número multiplicado por 11 es igual al mencionado
$6064256$
$7549146$
$2366199$
$7100489$
$4367407$
$6275346$
$3631254$
$10786523$
$8092898$
$394251$
$1859550$
$2161291$
$1188660$
$2588729$
$10661684$
$8405617$
$3577981$
$4693524$

Verifique su resultado usando la técnica de multiplicación por 9

Por otro lado, dado que usted ya sabe multiplicar por 11, ¿Será posible aplicar el mismo método para dividir por 11?

Recordemos

Para multiplicar por 11 manteníamos la unidad y luego sumábamos directamente las cifras en pares, de izquierda a derecha.
La estrategia adecuada se basa en reescribir adecuadamente el número que es múltiplo de 11, según sea necesario. Debe cuidar el cambiar los números según sea conveniente.

$$135 \times 11 = 1485$$
Ahora dividamos

\begin{array}{r|r|r|c|c}   1485 & 11  \end{array}
La última cifra 5
\begin{array}{r|r|r|c|c} 1485&11\\   5   &\end{array}
De 5 a 8 son 3
\begin{array}{r|r|r|c|c} 1485&11\\  35  & \end{array}
De 3 a 4 es 1
\begin{array}{r|r|r|c|c} 1485&11\\  135  &  \end{array}
De 1 a 1 es 0
\begin{array}{r|r|r|c|c} 1485&11\\   0135 &  \end{array}

Luego el número es $135$

$$4359\times11=3949$$

Desarrollemos cuidadosamente

\begin{array}{r|r|r|c|c}   3949 & 11  \end{array}
La última cifra es 9
\begin{array}{r|r|r|c|c} 3949&11\\  9   &\end{array}
De 9 a 14 son 5
\begin{array}{r|r|r|c|c} 3\overbrace{9}^{8}\overbrace{4}^{14}9\\  5\;\;9  & \end{array}
De 5 a 8 (pierde uno por la reserva) son 3
\begin{array}{r|r|r|c|c} 3\overbrace{9}^{8}\overbrace{4}^{14}9&11\\  3\;\;\;\;5\;\;9  &  \end{array}
De 3 a 3 es cero
\begin{array}{r|r|r|c|c} 3\overbrace{9}^{8}\overbrace{4}^{14}9&11\\   0\;\;3\;\;\;\;5\;\;9 &  \end{array}

Luego el número es $359$

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