ALGEBRA DE MATRICES

  Álgebra

¿Que es una matriz ?

se trata de un ordenamiento para los componentes de un sistema de ecuaciones de tal que se pueda operar cómodamente los coeficientes y con ello determinar condiciones que simplifiquen el proceso de resolución.

para entender la idea consideremos el siguiente sistema

\begin{array}{r|r} 25a+5b=-3 & \\ \underline{49a+7b=-8}& \end{array}

es equivalente a

\begin{equation}
\left(\begin{array}{cc} 25&5\\ 49&7 \end{array}\right)
\left(\begin{array}{c} a \\ b \end{array}\right)
=\left(\begin{array}{c} -3 \\ -8 \end{array}\right)
\end{equation}

Llamaremos filas a los ordenamientos horizontales, y columnas a los ordenamientos verticales.

En las matrices podemos operar adicción, sustracción y productos respetando ciertas condiciones

Para adicionar o sustraer dos matrices [A] y [B], ambas deben tener el mismo numero de filas y columnas. Esto es , Si [A] y [B] tienen ambas 3 filas y dos Columnas $[A]_{3,2}$ y $[B]_{3,2}$, se obtendrá una tercera Matriz [C] del mismo Orden, es decir $[C]_{3,2}$.

$$[A]_{m,n}+[B]_{m,n}=[C]_{m,n}$$

ejemplo

\begin{equation}
\left(\begin{array}{cc} a&b\\ c&d \end{array}\right)
+\left(\begin{array}{c} 2&3 \\ 4&5 \end{array}\right)
=\left(\begin{array}{cc} a+2&b+3\\ c+4&d+5 \end{array}\right)
\end{equation}

y para la sustracción es exactamente lo mismo

\begin{equation}
\left(\begin{array}{cc} a&b\\ c&d \end{array}\right)
-\left(\begin{array}{c} 2&3 \\ 4&5 \end{array}\right)
=\left(\begin{array}{cc} a-2&b-3\\ c-4&d-5 \end{array}\right)
\end{equation}

Propiedades:

Ley Asociativa $$(A+B)+C=A+(B+C)$$

Ley Conmutativa $$A+B=B+A$$

Elemento neutro

\begin{equation}
\left(\begin{array}{cc} 0&0\\ 0&0 \end{array}\right)
+\left(\begin{array}{c} a&b \\ c&d \end{array}\right)
=\left(\begin{array}{cc} 0+a&0+b\\ 0+c&0+d \end{array}\right)
=\left(\begin{array}{c} a&b \\ c&d \end{array}\right)
\end{equation}

Multiplicación de matrices:

En el producto será importante respetar el orden posicional. El producto de las matrices será, entonces, desarrollado como la adición de los productos de los elementos de cada fila por los de cada elemento de cada columna.
Se debe tener especial cuidado con una regla. El número de columnas de la primera matriz debe ser el mismo número de filas de la segunda. De otra forma no se podrá realizar el cálculo.

Esto es

Si $[A]_{m,n}$ y $[B]_{n,k}$ la matriz resultante sera $[C]_{m,k}$

¿Unos ejemplos ?

Una fila por una columna

\begin{equation}
\left(\begin{array}{cc} a&b \end{array}\right)
\left(\begin{array}{c} 2 \\ 3 \end{array}\right)
=2a+3b
\end{equation}

Una columna por una fila

\begin{equation}
\left(\begin{array}{c} 2 \\ 3 \end{array}\right)
\left(\begin{array}{cc} a&b \end{array}\right)
=\left(\begin{array}{cc} 2a&2b\\ 3a&3b \end{array}\right)
\end{equation}

Notese que $[A][B]\ne[B][A]$. El producto de matrices no es conmutativo.

Dos filas por una columna

\begin{equation}
\left(\begin{array}{cc} a&b\\ c&d \end{array}\right)
\left(\begin{array}{c} 2 \\ 3 \end{array}\right)
=\left(\begin{array}{c} 2a+3b \\ 2c+3d \end{array}\right)
\end{equation}

Dos filas por dos columnas

\begin{equation}
\left(\begin{array}{cc} a&b\\ c&d \end{array}\right)
\left(\begin{array}{c} 2&3 \\ 4&5 \end{array}\right)
=\left(\begin{array}{cc} 2a+4b&3a+5b\\ 2c+4d&3c+5d \end{array}\right)
\end{equation}

Según esta regla usted puede comprobar que el resultado que se encuentra en la primera fila y segunda columna, que luego denotaremos por $C_{1,2}$ usando una letra mayúscula como referencia, corresponde a lo obtenido al multiplicar los elementos de la primera fila y la segunda columna. Esto ayudara posteriormente para verificar cada proceso.

Producto de un escalar

Definición:
Si $k[A] = k[a_{i,j}]_{mxn} $. se debe multiplicar cada número o dato de la matriz por el escalar.

Ejemplo

\begin{equation}
k\left(\begin{array}{c} 2 \\ 3 \end{array}\right)
=\left(\begin{array}{c} 2k \\ 3k \end{array}\right)
\end{equation}

 

\begin{equation}
k\left(\begin{array}{c} 2&3 \\ 4&5 \end{array}\right)
=\left(\begin{array}{c} 2k&3k \\ 4k&5k \end{array}\right)
\end{equation}

Ademas se puede comprobar que $[A+B]\cdot[C]=[A][C]+[B][C]$, por lo tanto hay Distributividad

por ejemplo

\begin{equation}
\left[\left(\begin{array}{c} 1&2 \\ 3&4 \end{array}\right)+\left(\begin{array}{c} 5&6 \\ 7&8 \end{array}\right)\right]\cdot \left(\begin{array}{c} 1&-1 \\ 0&2 \end{array}\right)\\=
\left(\begin{array}{c} 6&8 \\ 10&12 \end{array}\right)\cdot \left(\begin{array}{c} 1&-1 \\ 0&2 \end{array}\right)\\=\left(\begin{array}{c} 6&10 \\ 10&14 \end{array}\right)
\end{equation}

\begin{equation}
\left(\begin{array}{c} 1&2 \\ 3&4 \end{array}\right)\cdot\left(\begin{array}{c} 1&-1 \\ 0&2 \end{array}\right)+ \left(\begin{array}{c} 1&2 \\ 3&4 \end{array}\right)\cdot\left(\begin{array}{c} 1&-1 \\ 0&2 \end{array}\right)\\=
\left(\begin{array}{c} 1&3 \\ 3&5 \end{array}\right)+ \left(\begin{array}{c} 5&7 \\ 7&9 \end{array}\right)\\=\left(\begin{array}{c} 6&10 \\ 10&14 \end{array}\right)
\end{equation}

 

Matrices Notables

Llamaremos matriz diagonal superior a toda aquella matriz cuadrada  cuyos elementos bajo de la diagonal principal sean ceros.

\begin{equation}
[A]=\left(\begin{array}{cc} a&b \\ o&d \end{array}\right)
\end{equation}

\begin{equation}
[A]=\left(\begin{array}{ccc} a&b&c \\ 0&d&e\\0&0&f \end{array}\right)
\end{equation}

Llamaremos matriz diagonal inferior a toda aquella matriz cuadrada  cuyos elementos sobre de la diagonal principal sean ceros.

\begin{equation}
[A]=\left(\begin{array}{cc} a&0 \\ d&e \end{array}\right)
\end{equation}

\begin{equation}
[A]=\left(\begin{array}{ccc} a&0&0 \\ d&e&0\\g&h&i \end{array}\right)
\end{equation}

Llamaremos matriz diagonal a toda aquella matriz cuadrada  cuyos elementos fuera de la diagonal principal sean ceros.

\begin{equation}
[A]=\left(\begin{array}{cc} a&0 \\ o&b \end{array}\right)
\end{equation}

\begin{equation}
[A]=\left(\begin{array}{ccc} a&0&0 \\ 0&b&0\\0&0&c \end{array}\right)
\end{equation}

Llamaremos matriz Identidad  a toda aquella matriz  diagonal cuyos términos en la diagonal principal sean 1. La anotaremos con la letra $I$, y corresponderá a el neutro multiplicativo de las matrices.

\begin{equation}
[I]_{2}=\left(\begin{array}{cc} 1&0 \\ 0&1 \end{array}\right)
\end{equation}

\begin{equation}
[I]_{3}=\left(\begin{array}{ccc} 1&0&0 \\ 0&1&0\\0&0&1 \end{array}\right)
\end{equation}

Propiedad importante

Los productos notables no son validos para las matrices

$$(A+B)^2\ne A^2+2AB+B^2$$

Determinante de una matriz

El determinante es una operación que se realiza sobre matrices cuadradas cuyo resultado es un número real. tal operacion se puede efectuar de al menos dos formas diferentes

Sarrus

Si la matriz A es de orden 2, $A=\left(\begin{array}{cc} a&b \\ c&d \end{array}\right)$, el determinante se obtendrá como la diferencia entre el producto de la diagonal principal y la diagonal secundaria

$$|A|=\left|\begin{array}{cc} a&b \\ c&d \end{array}\right|=ad-bc$$

Si la Matriz A es de orden 3 , o superior será necesario efectuar dos pasos.

Primero se copiaran a la derecha de la matriz todos los datos hasta la columna central, y después se calcularan las sumas de los productos de las diagonales desde izquierda a derecha para sustraer las sumas de los productos de las diagonales desde derecha a izquierda.

$$|A|=\left|\begin{array}{ccc} a&b&c \\ d&e&f\\g&h&i \end{array}\right|=\left|\begin{array}{ccc|cc} a&b&c&a&b \\ d&e&f&d&e\\g&h&i &g&h\end{array}\right|=(aei+bfg+cdh)-(bdi+afh+ceg)$$

Cofactores

La idea es el determinante de una matriz a una adecuada adición de determinantes de un grado menor, según una regla posicional. A esto se le llama operar con los menores $(i,j$ de una matriz

Suponga una matriz $A_{n × n}$, el menor (i, j) de la matriz A, representado por $M_{ij}$ , es el determinante de la matriz que se obtiene de A eliminando la fila i y la columna j.

Ejemplo

Si tenemos la matriz $A=\left(\begin{array}{ccc} 1&2&3 \\ 4&5&6\\7&8&9 \end{array}\right)$, el menor $M_{3.2}=\left|\begin{array}{cc} 1&3 \\ 4&6 \end{array}\right|$

Suponga una matriz $A_{n × n}$, el cofactor $(i, j)$ de la matriz A se define como:

$$C_{ij}=(-1)^{i+j}m_{ij}$$

Entonces, el determinante de A simbolizado por |A| se define como: la suma de los productos de los elementos de la una fila o columna cualquiera de A por sus cofactores correspondientes. Usualmente se calcula usando la primera fila o la primera columna.

$$|A|=\Sigma_{i=1}^{n} a_{1i} \cdot c_{1i} $$

Ejemplo

Dada la matriz $A=\left(\begin{array}{ccc} 1&2&3 \\ 4&5&6\\7&8&9 \end{array}\right)$, el determinante estará dado por

Operando con la primera columna

$$A=\left|\begin{array}{ccc} 1&2&3 \\ 4&5&6\\7&8&9 \end{array}\right|=1\left(\begin{array}{cc} 5&6 \\ 8&9 \end{array}\right)-4\left(\begin{array}{cc} 2&3 \\ 8&9 \end{array}\right)+7\left(\begin{array}{cc} 2&3 \\ 5&6 \end{array}\right)$$

o, lo que es equivalente operando con la primera fila

$$A=\left|\begin{array}{ccc} 1&2&3 \\ 4&5&6\\7&8&9 \end{array}\right|=1\left(\begin{array}{cc} 5&6 \\ 8&9 \end{array}\right)-2\left(\begin{array}{cc} 4&6 \\ 7&9 \end{array}\right)+3\left(\begin{array}{cc} 4&5 \\ 7&8 \end{array}\right)$$

(Es conveniente practicar este método, hasta que pueda hacer el calculo si anotar los valores)

Matriz Transpuesta

Llamaremos Matriz transpuesta de [A] a la matriz $[A]^t$ tal que los elementos de la primera fila pasen a ser los términos de la primera columna, los de la segunda fila los de la segunda columna, y asi hasta que la matriz quede girada sobre su eje principal

Ejemplo

Si $A=\left(\begin{array}{ccc} 1&2&3 \\ 4&5&6\\7&8&9 \end{array}\right)$, entonces $A^t=\left(\begin{array}{ccc} 1&4&7 \\ 2&5&8\\3&6&9 \end{array}\right)$

Matriz Adjunta

La matriz adjunta de la matriz A, que denotamos por Adj(A), corresponde  a la matriz de cofactores traspuesta, o sea,

$${\displaystyle \mathrm {adj} (\mathbf {A} )=\operatorname {cof} (\mathbf {A} )^{T}=\mathbf {C} ^{T}\,}.$$

Ejemplo

Si $A=\left(\begin{array}{cc} a&b \\ c&d \end{array}\right)$, entonces $$adj(A)=$A=\left(\begin{array}{cc} d&-c \\ -b&a \end{array}\right)^t=$A=\left(\begin{array}{cc} d&-b \\ -c&a \end{array}\right)$$

si. ${\displaystyle \mathbf {A} ={\begin{pmatrix}A_{11}&A_{12}&A_{13}\\A_{21}&A_{22}&A_{23}\\A_{31}&A_{32}&A_{33}\end{pmatrix}}}$
Su matriz de cofactores viene dada por:

$${\displaystyle {\mbox{cof}}(\mathbf {A} )={\begin{pmatrix}+\left|{\begin{matrix}A_{22}&A_{23}\\A_{32}&A_{33}\end{matrix}}\right|&-\left|{\begin{matrix}A_{21}&A_{23}\\A_{31}&A_{33}\end{matrix}}\right|&+\left|{\begin{matrix}A_{21}&A_{22}\\A_{31}&A_{32}\end{matrix}}\right|\\&&\\-\left|{\begin{matrix}A_{12}&A_{13}\\A_{32}&A_{33}\end{matrix}}\right|&+\left|{\begin{matrix}A_{11}&A_{13}\\A_{31}&A_{33}\end{matrix}}\right|&-\left|{\begin{matrix}A_{11}&A_{12}\\A_{31}&A_{32}\end{matrix}}\right|\\&&\\+\left|{\begin{matrix}A_{12}&A_{13}\\A_{22}&A_{23}\end{matrix}}\right|&-\left|{\begin{matrix}A_{11}&A_{13}\\A_{21}&A_{23}\end{matrix}}\right|&+\left|{\begin{matrix}A_{11}&A_{12}\\A_{21}&A_{22}\end{matrix}}\right|\end{pmatrix}}\\={\begin{pmatrix}A_{22}A_{33}-A_{23}A_{32}&A_{23}A_{31}-A_{21}A_{33}&A_{21}A_{32}-A_{22}A_{31}\\A_{32}A_{13}-A_{33}A_{12}&A_{33}A_{11}-A_{31}A_{13}&A_{31}A_{12}-A_{32}A_{11}\\A_{12}A_{23}-A_{13}A_{22}&A_{13}A_{21}-A_{11}A_{23}&A_{11}A_{22}-A_{12}A_{21}\end{pmatrix}}}$$

y por lo tanto la transpuesta de la matriz de cofactores es la matriz Adjunta:

$${\displaystyle {\mbox{adj}}(\mathbf {A} )={\begin{pmatrix}+\left|{\begin{matrix}A_{22}&A_{23}\\A_{32}&A_{33}\end{matrix}}\right|&-\left|{\begin{matrix}A_{21}&A_{23}\\A_{31}&A_{33}\end{matrix}}\right|&+\left|{\begin{matrix}A_{21}&A_{22}\\A_{31}&A_{32}\end{matrix}}\right|\\&&\\-\left|{\begin{matrix}A_{12}&A_{13}\\A_{32}&A_{33}\end{matrix}}\right|&+\left|{\begin{matrix}A_{11}&A_{13}\\A_{31}&A_{33}\end{matrix}}\right|&-\left|{\begin{matrix}A_{11}&A_{12}\\A_{31}&A_{32}\end{matrix}}\right|\\&&\\+\left|{\begin{matrix}A_{12}&A_{13}\\A_{22}&A_{23}\end{matrix}}\right|&-\left|{\begin{matrix}A_{11}&A_{13}\\A_{21}&A_{23}\end{matrix}}\right|&+\left|{\begin{matrix}A_{11}&A_{12}\\A_{21}&A_{22}\end{matrix}}\right|\end{pmatrix}}^{T}}$$

 

Matriz Inversa

Inicialmente la determinaremos por deducción, en base a un caso de orden 2.

Si $A=\left(\begin{array}{cc} a&b \\ c&d \end{array}\right)$, determine $B=\left(\begin{array}{cc} x&y \\ z&u \end{array}\right)$ de tal que $A\cdot B=I$

Basado en esto se tendrá que

$$\left(\begin{array}{cc} ax+bz&ay+bu \\ cx+dz&cy+du \end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc} 1&0 \\ 0&1 \end{array}\right)$$

Lo cual da origen a dos sistemas

\begin{array}{r|r} ax+bz=1 & \\ \underline{cx+dz=0}& \end{array} \begin{array}{r|r} ay+bu=0 & \\ \underline{cy+du=1}& \end{array}
resolviendo por reducción resolviendo por reducción
$$x=\frac{d}{ad-bc}$$ $$y=\frac{-b}{ad-bc}$$
de tal que $ad-bc\ne 0$ de tal que $ad-bc\ne 0$
$$z=\frac{-c}{ad-bc}$$ $$u=\frac{a}{ad-bc}$$

 

de donde se deduce que

$$B=A^{-1}=\left(\begin{array}{cc} {\frac{d}{ad-bc}}&{\frac{-b}{ad-bc}} \\ {\frac{-c}{ad-bc}}&{\frac{a}{ad-bc}} \end{array}\right)$$

lo cual es equivalente a

$$A^{-1}=\frac{1}{ad-bc}\left(\begin{array}{cc} {d}&{-b} \\ {-c}&{a} \end{array}\right)$$

entonces podemos definir la inversa de una Matriz A, como el

( en proceso )

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