Resolviendo problemas con el Método Crammer

  Álgebra

Problemas de planteo

Un grupo de personas se reúne para ir de excursión, juntándose un total de 20 entre hombres, mujeres y niños. Contando hombres y mujeres juntos, su número resulta ser el triple del número de niños. Además, si hubiera acudido una mujer más, su número igualaría al de hombres.
a) Plantear un sistema para averiguar cuántos hombres, mujeres y niños han ido de excursión.

Si llamamos x, y, z, al número de hombres, mujeres y niños, respectivamente, que fueron de excursión, tendremos:

\begin{array}{r r} x+y+z&=20 \\ x+y&=3z \\y+1&=x\end{array}

Para estudiar la compatibilidad del sistema, escribimos la matriz de los coeficientes M y la matriz ampliada con los términos independientes Ma:

\begin{equation}
\left(\begin{array}{ccr} 1&1&1\\1&1&-3\\-1&1&0 \end{array}\right)
\left(\begin{array}{c} x\\y\\z \end{array}\right)
\left(\begin{array}{c} 20\\0\\-1 \end{array}\right)
\end{equation}
de donde la matriz de los coeficientes es
\begin{equation}
M=\left(\begin{array}{ccr} 1&1&1\\1&1&-3\\-1&1&0 \end{array}\right)
\end{equation}

y de donde se puede observar que
$$M=\left|\begin{array}{ccr} 1&1&1\\1&1&-3\\-1&1&0 \end{array}\right|=8\ne 0$$
por lo tanto el sistema tiene solución.

b) Resolver el problema.
Aplicaremos Crammer

\begin{equation}
|M_x|=\left|\begin{array}{ccr} 20&1&1\\0&1&-3\\-1&1&0 \end{array}\right| =64
\end{equation}

\begin{equation}
|M_y|=\left|\begin{array}{ccr} 1&20&1\\1&0&-3\\-1&-1&0 \end{array}\right| =56
\end{equation}

\begin{equation}
|M_z|=\left|\begin{array}{ccr} 1&1&20\\1&1&0\\-1&1&-1 \end{array}\right| =40
\end{equation}

entonces

$$x=\frac{|M_x|}{|M|}=\frac{64}{8}=8$$ $$y=\frac{|M_y|}{|M|}=\frac{56}{8}=7$$ $$z=\frac{|M_z|}{|M|}=\frac{40}{8}=5$$

 

Luego, asistieron 8 hombres, 7 mujeres y 5 niños a la excursión.


 

Cierto estudiante obtuvo, en un control que constaba de 3 preguntas, una calificación de 8 puntos. En la segunda pregunta sacó dos puntos más que en la primera y un punto menos que en la tercera.
a) Plantear un sistema de ecuaciones para determinar la puntuación obtenida en cada una de las preguntas.

Si llamamos x, y, z, a la puntuación obtenida en cada pregunta, respectivamente, tendremos

\begin{array}{r r} x+y+z&=8 \\ y&=x+2 \\y+1&=z-1\end{array}

lo cual puede ser ordenado como

\begin{equation}
\left(\begin{array}{ccr} 1&1&1\\-1&1&0\\0&1&-1 \end{array}\right)
\left(\begin{array}{c} x\\y\\z \end{array}\right)
\left(\begin{array}{c} 8\\2\\-1 \end{array}\right)
\end{equation}
de donde la matriz de los coeficientes es
\begin{equation}
M=\left(\begin{array}{ccr} 1&1&1\\-1&1&0\\0&1&-1\end{array}\right)
\end{equation}

y de donde se puede observar que
$$M=\left|\begin{array}{ccr} 1&1&1\\-1&1&0\\0&1&-1 \end{array}\right|=-3\ne 0$$
por lo tanto el sistema tiene solución.

b) Resolver el sistema

Aplicando Crammer tenemos que

\begin{equation}
|M_x|=\left|\begin{array}{ccr} 8&1&1\\2&1&0\\-1&1&-1\end{array}\right|=-3
\end{equation}

\begin{equation}
|M_y|=\left|\begin{array}{ccr} 1&8&1\\-1&2&0\\0&-1&-1\end{array}\right|=-9
\end{equation}

\begin{equation}
|M_z|=\left|\begin{array}{ccr} 1&1&8\\-1&1&2\\0&1&-1\end{array}\right|=-12
\end{equation}

por lo tanto

$$x=\frac{|M_x|}{|M|}=\frac{-3}{-3}=1$$ $$y=\frac{|M_y|}{|M|}=\frac{-9}{-3}=3$$ $$z=\frac{|M_z|}{|M|}=\frac{-12}{-3}=4$$

Luego, habrá obtenido 1 punto en la primera pregunta, 3 en la segunda y 4 en la tercera


Un ama de casa adquirió en el mercado ciertas cantidades de papas, manzanas y naranjas a un precio de 100, 120 y 150 $\$$/kg., respectivamente. El costo total de la compra fue de 1.160$\$$. El peso total de la misma, 9 kg. Además, compró 1 kg. mas de naranjas que de manzanas.
a) Plantear un sistema para determinar la cantidad comprada de cada producto.

Si llamamos x, y, z, al número de kg. comprados de patatas, manzanas y naranjas, respectivamente, tendremos:

\begin{array}{r r} 100x+120y+150z&=1160 \\ x+y+z&=9 \\y+1&=z\end{array}

Lo cual puede ser ordenado como

\begin{equation}
\left(\begin{array}{ccr} 10&12&15\\1&1&1\\0&1&-1 \end{array}\right)
\left(\begin{array}{c} x\\y\\z \end{array}\right)
\left(\begin{array}{c} 116\\9\\-1 \end{array}\right)
\end{equation}
de donde la matriz de los coeficientes es
\begin{equation}
M=\left(\begin{array}{ccr} 10&12&15\\1&1&1\\0&1&-1 \end{array}\right)
\end{equation}

y de donde se puede observar que
$$M=\left|\begin{array}{ccr} 10&12&15\\1&1&1\\0&1&-1 \end{array}\right|=7\ne 0$$
por lo tanto el sistema tiene solución.

b) Resolver el problema.

Aplicando Crammer tenemos que

\begin{equation}
|M_x|=\left|\begin{array}{ccr} 116&12&15\\9&1&1\\-1&1&-1\end{array}\right|=14
\end{equation}

\begin{equation}
|M_y|=\left|\begin{array}{ccr} 10&116&15\\1&9&1\\0&-1&-1\end{array}\right|=21
\end{equation}

\begin{equation}
|M_z|=\left|\begin{array}{ccr} 10&12&116\\1&1&9\\0&1&-1\end{array}\right|=28
\end{equation}

por lo tanto

$$x=\frac{|M_x|}{|M|}=\frac{14}{7}=2$$ $$y=\frac{|M_y|}{|M|}=\frac{21}{7}=3$$ $$z=\frac{|M_z|}{|M|}=\frac{28}{7}=4$$

 

Entonces, habrá comprado 2 kg. de papas, 3 kg. de manzanas y 4 kg. de naranjas.


 

En una confitería envasan los bombones en cajas de 250 gr., 500 gr. Y 1 kg. Cierto día se envasaron 60 cajas en total, habiendo 5 cajas más de tamaño pequeño (250 gr.) que de tamaño mediano (500 gr.). Sabiendo que el precio del kg. de bombones es $\$$4.000. y que el costo total de los bombones envasados asciende a $\$$125.000 :
a) Plantear un sistema para determinar cuántas cajas se han envasado de cada tipo.

Tenemos que:
– precio de la caja de 250 gr. =$\$$1000 .
– precio de la caja de 500 gr. = $\$$2000 .
– precio de la caja de 1 kg. = $\$$4000
Si llamamos x, y, z, al número de cajas envasadas de 250 gr. , 500 gr. y 1 kg., respectivamente, tendremos:

\begin{array}{r r} x+y+x&=60 \\ x&y+5 \\1000x+2000y+4000z&=125000\end{array}

Lo cual puede ser ordenado como

\begin{equation}
\left(\begin{array}{ccr} 1&1&1\\1&-1&0\\1&2&4 \end{array}\right)
\left(\begin{array}{c} x\\y\\z \end{array}\right)
\left(\begin{array}{c} 60\\5\\125 \end{array}\right)
\end{equation}
de donde la matriz de los coeficientes es
\begin{equation}
M=\left(\begin{array}{ccr} 1&1&1\\1&-1&0\\1&2&4\end{array}\right)
\end{equation}

y de donde se puede observar que
$$M=\left|\begin{array}{ccr} 1&1&1\\1&-1&0\\1&2&4 \end{array}\right|=-5\ne 0$$
por lo tanto el sistema tiene solución.

b) Resolver el problema.

Aplicando Crammer tenemos que

\begin{equation}
|M_x|=\left|\begin{array}{ccr} 60&1&1\\5&-1&0\\125&2&4 \end{array}\right|=-125
\end{equation}

\begin{equation}
|M_y|=\left|\begin{array}{ccr} 1&60&1\\1&5&0\\1&125&4 \end{array}\right|=-100
\end{equation}

\begin{equation}
|M_z|=\left|\begin{array}{ccr} 1&1&60\\1&-1&5\\1&2&125 \end{array}\right|=-75
\end{equation}

por lo tanto

 

$$x=\frac{|M_x|}{|M|}=\frac{-125}{-5}=25$$ $$y=\frac{|M_y|}{|M|}=\frac{-100}{-5}=20$$ $$z=\frac{|M_z|}{|M|}=\frac{-75}{-5}=15$$

 

Entonces, se habrán envasado 25 cajas pequeñas, 20 medianas y 15 grandes.


El precio de entrada a cierta exposición es de $\$$200 para los niños, $\$$500 para los adultos y $\$$250 para los jubilados. En una jornada concreta, la exposición fue visitada por 200 personas en total, igualando el número de visitantes adultos al de niños y jubilados juntos. La recaudación de dicho día ascendió a $\$$73.500.
a) Plantear un sistema de ecuaciones para averiguar cuántos niños, adultos y jubilados visitaron la exposición ese día.
b) Resolver el problema.
Solución:
Apartado a:
Si llamamos x, y, z, al número de niños, adultos y jubilados, respectivamente, que visitaron ese día la exposición, tendremos:

\begin{array}{r r} x+y+z&=200 \\ y&x+z \\200x+500y+250z&=73500\end{array}

Lo cual puede ser ordenado como

\begin{equation}
\left(\begin{array}{ccr} 1&1&1\\1&-1&1\\20&50&25 \end{array}\right)
\left(\begin{array}{c} x\\y\\z \end{array}\right)
\left(\begin{array}{c} 200\\0\\7350 \end{array}\right)
\end{equation}
de donde la matriz de los coeficientes es
\begin{equation}
M=\left(\begin{array}{ccr} 1&1&1\\1&-1&1\\20&50&25\end{array}\right)
\end{equation}

y de donde se puede observar que
$$M=\left|\begin{array}{ccr} 1&1&1\\1&-1&1\\20&50&25 \end{array}\right|=-10\ne 0$$
por lo tanto el sistema tiene solución.

Aplicando Crammer tenemos que

\begin{equation}
|M_x|=\left|\begin{array}{ccr} 200&1&1\\0&-1&1\\7350&50&25 \end{array}\right|=-300
\end{equation}

\begin{equation}
|M_y|=\left|\begin{array}{ccr} 1&200&1\\1&0&1\\20&7350&25 \end{array}\right|=-1000
\end{equation}

\begin{equation}
|M_z|=\left|\begin{array}{ccr} 1&1&200\\1&-1&0\\20&50&7350\end{array}\right|=-700
\end{equation}

por lo tanto

 

$$x=\frac{|M_x|}{|M|}=\frac{-300}{-10}=30$$ $$y=\frac{|M_y|}{|M|}=\frac{-1000}{-10}=100$$ $$z=\frac{|M_z|}{|M|}=\frac{-700}{-10}=70$$

 

 
Luego, a la exposición, habrán acudido 30 niños, 100 adultos y 70 jubilados.

 

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