La idea es implementar las funciones que perímetro y área en relación a una variable.
El perímetro de la ventana está dado por la expresión
$$P(a,b)=a+2b+\frac{2\cdot \pi\frac{a}{b}}{2}$$
La cual puede ser expresada como
$$P(a,b)=a+2b+\frac{a\pi}{2}$$
En el problema sabemos que el perímetro es constante y que su valor es P, por lo tanto aplicamos en forma genérica y despejamos una de las variables. Por conveniencia y simplificación trabajaremos con b
Entonces
$$a+2b+\frac{a\pi}{2}=P$$
$$2b= P-a-\frac{a\pi}{2}$$
$$b= \frac{P}{2}-\frac{a}{2}-\frac{a\pi}{4}$$
La expresión de Área o superficie estará dada por
$$S(a,b)=a\cdot b+\frac{\pi(\frac{a}{2})^2}{2}$$
La cual se puede escribir como
$$S(a,b)=a\cdot b+\frac{\pi(\frac{a}{2})^2}{2}=a\cdot b+\frac{a^2\pi}{8}$$
Reemplazando la expresión que representa al valor de b en la nueva ecuación, obtendremos
una función que solo dependerá de a, y sobre ella podremos trabajar
$$S(a)=a\left( \frac{P}{2}-\frac{a}{2}-\frac{a\pi}{4}\right)+\frac{a^2\pi}{8} $$
La cual se puede escribir de forma simplificada, en la siguiente forma
$$S(a)=\frac{aP}{2}-\frac{a^2}{2}-\frac{a^2\pi}{4}+\frac{a^2\pi}{8}$$
La que reducida tomara la forma
$$S(a)=\frac{aP}{2}-\frac{a^2}{2}-\frac{a^2\pi}{8}$$
Si derivamos esta expresión se obtendrá
$$S'(a)=\frac{P}{2}-a-\frac{a\pi}{4}$$
La cual al ser igualada a cero entregara como raíz, o solución, única
$$\frac{P}{2}-a-\frac{a\pi}{4}=0$$
$$\frac{P}{2}-a\left(1-\frac{\pi}{4}\right)=0$$
$$\frac{P}{2}=a\left(1-\frac{\pi}{4}\right)=0$$
entonces
$$a=\frac{P}{2\left(1-\frac{\pi}{4}\right)} \\ \Rightarrow a=\frac{P}{2+\frac{\pi}{2}}\\ \Rightarrow a=\frac{P}{\frac{4+\pi}{2}}\\ \Rightarrow a=\frac{2P}{4+\pi}$$
Lo cual podemos aplicar para determinar el valor de b, pues solo bastara reemplazar dicho valor en la expresión del perímetro y despejar convenientemente
$$\text{Perímetro}=a+2b+a\pi$$
$$\text{Perímetro}=\frac{2P}{4+\pi}+2b+\frac{2P}{4+\pi}\pi$$
$$\text{Perímetro}=\frac{2P}{4+\pi}(1+\pi)+2b$$
$$\text{Perímetro}-\frac{2P}{4+\pi}(1+\pi)=2b$$
entonces
$$2b=\text{Perímetro}-\frac{2P}{4+\pi}(1+\pi)$$
Y, recordando que el perímetro es P
$$b=\frac{P}{2}-\frac{P}{4+\pi}(1+\pi)$$
Que factorizado implica
$$b=P\left(\frac{1}{2}-\frac{1+\pi}{4+\pi} \right)$$
¿Ejemplos de aplicación ?
