Calculando la superficie máxima en una ventana (Caso 1)

  Cálculo

La idea es implementar las funciones que perímetro y área en relación a una variable.

El perímetro de la ventana está dado por la expresión

$$P(a,b)=a+2b+\frac{2\cdot \pi\frac{a}{b}}{2}$$

La cual puede ser expresada como

$$P(a,b)=a+2b+\frac{a\pi}{2}$$

En el problema sabemos que el perímetro es constante y que su valor es P, por lo tanto aplicamos en forma genérica y despejamos una de las variables. Por conveniencia y simplificación trabajaremos con b

Entonces

$$a+2b+\frac{a\pi}{2}=P$$

$$2b= P-a-\frac{a\pi}{2}$$

$$b= \frac{P}{2}-\frac{a}{2}-\frac{a\pi}{4}$$

La expresión de Área o superficie estará dada por

$$S(a,b)=a\cdot b+\frac{\pi(\frac{a}{2})^2}{2}$$

La cual se puede escribir como
$$S(a,b)=a\cdot b+\frac{\pi(\frac{a}{2})^2}{2}=a\cdot b+\frac{a^2\pi}{8}$$

Reemplazando la expresión que representa al valor de b en la nueva ecuación, obtendremos
una función que solo dependerá de a, y sobre ella podremos trabajar

$$S(a)=a\left( \frac{P}{2}-\frac{a}{2}-\frac{a\pi}{4}\right)+\frac{a^2\pi}{8} $$

La cual se puede escribir de forma simplificada, en la siguiente forma

$$S(a)=\frac{aP}{2}-\frac{a^2}{2}-\frac{a^2\pi}{4}+\frac{a^2\pi}{8}$$

La que reducida tomara la forma

$$S(a)=\frac{aP}{2}-\frac{a^2}{2}-\frac{a^2\pi}{8}$$

Si derivamos esta expresión se obtendrá

$$S'(a)=\frac{P}{2}-a-\frac{a\pi}{4}$$

La cual al ser igualada a cero entregara como raíz, o solución, única

$$\frac{P}{2}-a-\frac{a\pi}{4}=0$$

$$\frac{P}{2}-a\left(1-\frac{\pi}{4}\right)=0$$
$$\frac{P}{2}=a\left(1-\frac{\pi}{4}\right)=0$$

entonces

$$a=\frac{P}{2\left(1-\frac{\pi}{4}\right)} \\ \Rightarrow a=\frac{P}{2+\frac{\pi}{2}}\\ \Rightarrow a=\frac{P}{\frac{4+\pi}{2}}\\ \Rightarrow a=\frac{2P}{4+\pi}$$

Lo cual podemos aplicar para determinar el valor de b, pues solo bastara reemplazar dicho valor en la expresión del perímetro y despejar convenientemente

$$\text{Perímetro}=a+2b+a\pi$$

$$\text{Perímetro}=\frac{2P}{4+\pi}+2b+\frac{2P}{4+\pi}\pi$$

$$\text{Perímetro}=\frac{2P}{4+\pi}(1+\pi)+2b$$

$$\text{Perímetro}-\frac{2P}{4+\pi}(1+\pi)=2b$$

entonces

$$2b=\text{Perímetro}-\frac{2P}{4+\pi}(1+\pi)$$

Y, recordando que el perímetro es P

$$b=\frac{P}{2}-\frac{P}{4+\pi}(1+\pi)$$

Que factorizado implica

$$b=P\left(\frac{1}{2}-\frac{1+\pi}{4+\pi} \right)$$

¿Ejemplos de aplicación ?

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