Modelando una ecuación cuadrática.

  Álgebra

Una ecuación de segundo grado, o ecuación cuadrática de una variable, es una ecuación que tiene la expresión general:
$$ax^{2}+bx+c=0\text{, donde } a\ne 0$$

Donde $x$ es la variable, y $a, b\text{ y } c$ constantes; $a$ es el coeficiente cuadrático (distinto de 0), $b$ el coeficiente lineal y $c$ es el término independiente. Este polinomio corresponde al producto de dos funciones lineales y se puede interpretar mediante la gráfica de una parábola. Dicha representación es útil, pues las intersecciones de la misma, en el caso de existir, con el eje X coinciden con las soluciones reales de la ecuación.

Pero ¿Cómo funciona esto?

Tratare de explicar en relación a un problema, pues así es mucho mas simple de entender

Supongamos que usted decide comprar un producto que esta subiendo de precio en el tiempo con la intención de venderlo en algún momento a sabiendas que lograra una mejor capitalización, por ejemplo legumbres, y decide guardarlas en un lugar donde se mantengan en las mejores condiciones.

¿Sabia usted que las ratas son particularmente agresivas si tienen hambre ?

Un estudio ha demostrado que si en un lugar hay $20$ ratas estas se comerán $50$ kilos de lo que sea en $15$ días. No tiene piedad, y no les importa lo que encuentren en su camino.

Entonces, supongamos que compra y guarda $5.000$ kilos de semilla y al cabo de $15$ días constata que han desaparecido $200$ de ellos.

¿Qué paso? Pasó que inevitablemente las ratas están atacando y pese a las medidas de seguridad, e higiene,  deberá considerar esa perdida.

Ademas, en el presente año se ha verificado que el precio de la semilla ha subido $\$100$ en cada mes, por lo cual si compro inicialmente a $\$1000$, usted estará en condiciones de vender a mejor precio si espera un poco.

Pero analicemos en forma gráfica, antes de seguir.

La función que define el precio claramente es $P(x)=1000+100x$, donde x son los meses desde que compro a $\$$1000 con un alza promedio de $\$$100 mensualmente

Y la función que indica la cantidad de kilos que tiene estará dada por $Q(x)=5000-200x$, pues inicialmente tenia 5000 kilos, pero mensualmente pierde un promedio de 200.

El precio aumenta en el tiempo La cantidad de kilos disminuye

 

¿En qué momento le conviene vender?

Lo que usted quiere es la Máxima ganancia y eso lo conseguirá cuando venda los kilos de semilla al mejor precio, es decir que el Capital corresponderá al producto de el precio por la cantidad.

En términos de función esto será:

\begin{array}{cl} C(x)&=\text{Precio}\cdot \text{Cantidad}\\&=(1000+100x)\cdot(5000-200x)\\&=5.000.000-200.000x+500.000x-20.000x^2\\&=-20.000x^2+300.000x+5.000.000\end{array}

y, como puede observar, acaba de obtener una ecuación cuadrática de la forma $y=ax^2+bx+c$, donde $a=-20.000$, $b=300.000$ y $c=5.000.000 $

Pero sigamos con nuestro problema antes de ahondar en esta función.

Si revisamos la función de cantidad podremos saber que tendrá el valor cero solo cuando el precio sea cero, o cuando la cantidad de semillas sea cero.

$$C(x)=(1000+100x)\cdot(5000-200x)=0$$

lo cual ocurrirá cuando

\begin{array}{rl}  1000+100x &=0 \\ 100x&=-1000 \\ x &=\frac{-1000}{100}\\ x &=-10 \end{array}

o cuando

\begin{array}{rl} 5000-200x &=0 \\ 200x&=5000 \\ x &=\frac{5000}{200}\\ x &=25\end{array}

¿Qué son estos números?

Pronto las llamaremos las raíces, o ceros, de la cuadrática.

¿Y cual es el punto medio de dichas raíces?

$$X_{central}=\frac{-10+25}{2}=\frac{15}{2}=7,5$$

Entonces veamos como se comporta el capital en este espacio de tiempo; por asi decir entre el 5to y el 9no més.

\begin{array}{c|c|c|c}  \text{capital}&\text{precio}=P(x)&\text{cantidad}=Q(x)&\text{valor} \\ \hline  &1000+100x&5000-200x&P(x)\cdot Q(x)\\ \hline 5&1.500 &4.000 &6.000.000 \\6&1.600 & 3.800& 6.080.000\\7& 1700&3.600 &6.120.000 \\8&1.800 &3.400 &6.120.000 \\9&1.900 &3.200 & 6.080.000\\\end{array}

y con ello queda en evidencia que entre el 7 y el octavo mes debe vender, a más tardar, por que luego comenzara a perder.

¿Y cómo es la gráfica de la cuadrática ?

Puede observar ademas que al inicio, cuando $x=0$, usted invirtió exactamente 5 millones, y que desde ese momento su capital comenzó a crecer hasta llegar a un máximo.

A este proceso se le llama modelación, y tal como se puede operar con 2 funciones lineales se puede operar con todas las que considere según el tipo de problema.

Pregunta.

Si planta arboles frutales. ¿Rendirían más si están mas lejanos o cercanos?

 

 

 

 

 

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