Una función lineal del tipo $y=ax+b$ puede ser interpretada como una relación entre dos condiciones. Una razón de cambio y un valor inicial.
Por ejemplo, la función $y=2x+5$ implica que a partir de el valor $y=5$ hay un crecimiento a razón de $2$ por cada paso de avance, y en el caso de la función $y=\frac{-3}{4}x+12$ implica que a partir de $y=12$ hay un decrecimiento de $3$ por cada $4$ pasos de avance.
$$y=2x+5$$
$$y=\frac{-3}{4}x+12$$
Una de las aplicaciones más simples para inducir este concepto esta en aplicar la idea a problemas de planteo, donde se pueda identificar fácilmente la condición inicial, y la forma en que esta está cambiando en el tiempo.
Ejemplos de aplicación:
1.- El ingreso a los juegos cuesta $\$$2500 . Si cada juego cuesta $\$$450 , obtén la ecuación que relaciona el gasto total en función del ingreso y la cantidad de juegos en que se participe. ¿Cuánto gastará una persona en 4 juegos?
Se aprecia que tan solo por entrar al parque debemos pagar una cantidad, entonces a partir de ese valor el costo aumentara a razón de 450 por cada uno de los juegos. Entonces la ecuación buscada es $$C(x)=2500+450x$$, y en el caso de 4 juegos el costo total será
\begin{array}{rl} C(x)&=2500+450x \\ C(4)&=2500+450\cdot(4) \\ C(4)&=2500+1800 \\ C(4)&=4300\end{array}
2.- Por alquilar un bicicleta , una empresa nos cobra $\$300$ inicialmente más un adicional de $\$70$ por cada 5 Km. recorridos. ¿Cuanto deberemos pagar por un recorrido de 12 kilómetros ?
Símil caso. Tan solo por subirnos a la bicicleta el costo base es de $\$300$ y desde allí aumentara a razón de $\$70$ por cada $5$ kilómetros, por lo tanto la ecuación que define el costo estará dada por $$C(X)=300+\frac{70}{5}x$$
y en caso de los 12 kilómetros el costo total estará dado por
\begin{array}{rl} C(x)&=300+\frac{70}{5}x \\ C(4)&=300+\frac{70}{5}\cdot(12) \\ C(4)&=300+168 \\ C(4)&=468\end{array}
3.- Me compre un libro que tiene 800 páginas, y suelo leer 30 páginas cada día. ¿En cuantos días habré leído la mitad del libro?
Sabemos que inicialmente me faltan 800 páginas por leer y que por cada día leo 20, así que la cantidad de páginas por leer va decreciendo diariamente. La ecuación que define esto será $$Q(x)=800-20x$$
Si la idea es saber cuanto me demoraré en llegar a la página 400 solo debo igualar esta función y despejar.
\begin{array}{rl} Q(x)&=800-20x \\ 800-20x&=400 \\ 20x&=800-400 \\ 20x&=400 \\ x&=\frac{400}{20}\\ x&=20 \end{array}
Es decir, me demorare 20 días. ( suponiendo que soy constante al leer, obviamente).
4.-El ingreso por la venta de cierto artículo de repostería está dado por $I(x) = 450x + 50 $ y el costo de producción por $C(x) = 50x + 80 $. Determine la utilidad si se producen y se venden en un día 50 de estos artículos.
veamos: la utilidad es lo que nos queda si le restamos los costos a los ingresos, entonces
\begin{array}{rl} \text{Utilidad}&=\text{Ingresos}-\text{Costos}\\ \text{Utilidad}&=(450x + 50)-(50x + 80)\\ \text{Utilidad}&= 400x -30 \end{array}
¿ y la utilidad si se venden en un día 50 de estos artículos?
\begin{array}{rl} \text{Utilidad(x)}&=\text{Ingresos(x)}-\text{Costos(x)}\\ \text{Utilidad(x)}&= 400x -30 \\ \text{Utilidad(50)}&= 400\cdot(50) -30\\ \text{Utilidad(50)}&= 20.000 -30 \\ \text{Utilidad(50)}&= 19.970 \end{array}
De donde se deduce que la utilidad por 50 artículos es de $\$19.970$
En la gráfica se muestra la función de ingreso en color Azul, y la de costos en color Rojo. En este caso la utilidad es positiva, razón por la cual también es de color Azul. Además se observa que el costo de las 50 unidades es de $\$2.580$, y que el ingreso por la misma cantidad de productos vendidos es de $\$22.550$, lo cual deja en evidencia que la utilidad es de $\$19.970$.
5) Una empresa en la que se fabrican teléfonos celulares vende a sus clientes mayoristas dichos teléfonos a un costo de $\$3250$. Si para ser considerado como cliente mayorista necesitan hacer una compra de al menos $2000$ teléfonos. ¿Cuál será el ingreso menor que pudiera recibir el fabricante de un cliente mayoritario?
\begin{array}{rl} I(x)&=3250x\\I(2.000)&=3250(2.000) \\ &=6.500.000\end{array}
6) Supóngase, considerando el ejemplo anterior, que además de vender la empresa $2000$ teléfonos a un mayorista vende $800$ a un medio mayorista al cual le da un precio de $\$3400$ ¿Cuál será su ingreso total?
\begin{array}{rl} I(x,y)&=3250x+3400y\\I(x,y)&=3250x+3400y \\ I(2000,800)&=3250(2000)+3400(800)\\I(2000,800)&=6.500.000+2.720.000 \\ &=9,220.000\end{array}
7) Determine la función lineal del costo total en cada uno de los siguientes casos:
a) Costo fijo: $\$350$ ; y cuesta $\$3000$ producir 50 artículos.
En este caso se puede verificar que partiendo desde un costo de $350$, hay un incremento de $2650$ por cada $50$, entonces la ecuación que define el costo real esta dada por
$$C(x)=350+\frac{2650}{50}x$$
La cual se puede simplificar, quedando como
$$C(x)=350+53x$$
b) Costo fijo: $\$7280$ ; y cuesta $\$82.000$ producir 40 artículos.
Aquí se puede verificar que partiendo desde un costo de $7280$, hay un incremento de $920$ por cada $40$, entonces la ecuación que define el costo real esta dada por
$$C(x)=7280+\frac{920}{40}x$$
La cual se puede simplificar, quedando como
$$C(x)=7280+23x$$
8) Escriba una función de costo, para el cliente, en cada uno de los siguientes casos:
a) Una empresa que renta automóviles cobra $\$200$ diarios por automóvil más $\$5$ por kilómetro recorrido.
Sea $x$ en número de kilómetros
$$C(x)=\text{Costo por kilometro}=5x+200$$
y Sea $y$ en número de dias
$$C(x.y)=\text{Costo por kilometro y por dia}= 5x+200y$$
b) Un servicio de meseros y edecanes que cobra $\$100$ por salida de un miembro del personal más $\$50$ por cada hora trabajada.
$$C(x)=100+50x$$
9) Una empresa en la que se fabrican computadoras tiene por concepto de pago de luz, agua y renta del local una cantidad mensual fija de $\$25.000$ y por concepto de materia prima aumenta su costo a razón de $\$1200$ por cada computadora producida y por concepto de mano de obra $\$350$ por dicho producto. Calcular el costo total de la empresa si al final del mes la producción fue de $3,000$ computadoras.
\begin{array}{rl} C(x)&=25.000+(1200+350)x\\&=25.000+1550x\end{array}
El costo por las $3.000$ unidades será:
\begin{array}{rl} C(3.000)&=25.000+1550(3.000)\\&=25.000+4.650.000\\&=4.675.000 \end{array}
Problemas a Resolver
Si en una recta conocemos dos puntos cualesquiera de ella podemos calcular la pendiente o inclinación de la recta mediante el cociente de la las variaciones de sus coordenadas.
Así la pendiente $m$ estará dada por
$$m=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}$$
luego , si necesitamos determinar las coordenadas del punto donde la recta corta el eje vertical, que con con frecuencia conocemos bajo el nombre de condición inicial, bastara considerar dicho punto $(0,n)$ y cualquiera de los otros dos ya conocidos $(x_1, y_1)$ o $(x_2, y_2)$, usando en si el ya calculado valor de la pendiente
\begin{array}{rl} m&=\frac{y_1-n}{x_1-0}=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1} \\ (y_1-n)(x_2-x_1)&=(y_2-y_1)(x_1-0) \\(y_1-n)&=\frac{(y_2-y_1) }{(x_2-x_1)}x_1 \\ n&= y_1-\frac{(y_2-y_1) }{(x_2-x_1)} \cdot x_1\\ n&=y_1-mx_1\end{array}
¿Y cómo funciona esto?
6) El costo de fabricar 200 relojes de pared a la semana es de $\$7000$ y el de 240 relojes de pared a la semana es de $\$8000$.
a) Determine la ecuación de costos total, suponiendo que varía linealmente.
dado que tenemos dos puntos podemos calcula la pendiente
$$m=\frac{8000-7000}{240-200}=\frac{1000}{40}=25$$
luego consideramos cualquiera de los dos puntos conocidos. $(200, 7000)$ o $(240, 8000)$ y procedemos a trabajar con el punto $(0,n)$
así se tendrá que $y=mx+n$, esto es considerando el punto $(x,y)=(200, 7000)$ , y $m=25$
\begin{array}{rl} y&=mx+n\\7000&=25\cdot 200+n \\ 7000&=5000+n\\ n&=7000-5000\\n&=2000 \end{array}
por lo tanto la ecuación que define los ingresos es
$$I(x)=250x+2000$$
b) ¿Cuáles son los costos fijos y variables por unidad?
El costo fijo es de $2000$ , y el costo variable por unidad es $250$
7) A una compañía farmacéutica le cuesta $\$22,000$ fabricar 270 dosis de un medicamento, mientras que producir 400 dosis le cuesta $\$35,000$. Si el costo de producción del medicamento varía linealmente con la cantidad producida, calcular: ; (b) los costos fijos de la compañía.
dado que tenemos dos puntos podemos calcula la pendiente
$$m=\frac{35000-22000}{400-270}=\frac{13000}{130}=100$$
Luego consideramos cualquiera de los dos puntos conocidos. $(270,22000)$ o $(400,35000)$ y procedemos a trabajar con el punto $(0,n)$
así se tendrá que $y=mx+n$, esto es considerando el punto $(x,y)=(270,22000)$ , y $m=100$
\begin{array}{rl} y&=mx+n\\22000&=100\cdot 270+n \\ 22000&=27000+n\\ n&=22000-27000\\n&=-5000 \end{array}
por lo tanto la ecuación que define los costos es
$$C(x)=100x-5000$$
(a) ¿Cuánto cuesta producir 100 dosis del medicamento?
\begin{array}{rl} C(x)&=100x-5000 \\ C(100)&=100(100)-5000 \\&=5000\end{array}
8) Una empresa produce y vende un producto a un precio de $\$620$, si sus costos fijos mensuales son de $\$35.000$ y sus gastos por mano de obra son de $\$25$ por producto y por concepto de materia prima de $\$80$ por producto, determina la utilidad mensual de la empresa si su producción y venta mensual es de 15,000 artículos. Además, calcula la producción y venta mínima para que la empresa no tenga pérdidas.
Sabemos que los ingresos están dados por $\$620$. por cada unidad vendida, y que de no haber ventas no hay ingresos, por lo tanto la función que los define es
$$Ingreso(x)=620x$$
Los costos fijos son de $\$35.000$, y los variables están dador por $\$25$ por producto y $\$80$ por materia prima, entonces la función que define los costos estará dada por
$$Costos(x)=105x+35.000$$
La utilidad estará dada por la diferencia entre Ingresos y costos, por lo tanto
\begin{array}{rl} Utilidad(x)&=Ingreso(x)-Costos(x) \\&=620x-(105x+35.000) \\&=515x-35000\end{array}
La utilidad mensual por 15.000 artículos estará dada por
\begin{array}{rl} Utilidad(x)&=515x-35000\\ Utilidad(15000)&=515(15000)-35000\\ &=7725000-35.000\\&=7.690.000\end{array}
Y el punto donde no hay ni perdidas ni ganancias se conoce como el punto de Equilibrio, y es aquel donde la Utilidad es cero, entonces
\begin{array}{rl} Utilidad(x)&=0\\ 515x-35000&=0\\ 515x&=35.000.\\ x=\frac{35.000}{515}\\ x&=67.9612\\ x& \approx {68} \end{array}
9) Una compañía de transporte público cobra $\$170$ por transportar cierta mercancía 20 kilómetros y $\$200$ por transportar la misma mercancía $25$ kilómetros.
a) Determine la relación entre la tarifa total y la distancia recorrida, suponiendo que es lineal.
dados los puntos $(20,170)$ y $(25,200)$, podemos calcular la pendiente
$$m=\frac{200-170}{25-20}=\frac{30}{5}=6$$
Luego consideramos cualquiera de los dos puntos conocidos. $(20,170)$ o $(25,200)$ y procedemos a trabajar con el punto $(0,n)$
así se tendrá que $y=mx+n$, esto es considerando el punto $(x,y)=(20,170)$ , y $m=6$
\begin{array}{rl} y&=mx+n\\170&=6\cdot 20+n \\ 170&=120+n\\ n&=170-120\\n&=50 \end{array}
por lo tanto la ecuación que define los costos es
$$C(x)=6x+50$$
de donde se deduce que cobra $\$50$ incialmente, y despues $\$6$ por kilometro recorrido
b) ¿Cuál es la tarifa mínima por transportar esta mercancía?
definitivamente no puede cobrar menos de $\$50$
c) ¿Cuál es la cuota por cada kilómetro que la mercancía es transportada?
y por cada kilometro cobra $\$6$
10) Un fabricante de videograbadoras advierte que a un precio de $2500$ por unidad, las ventas ascienden a $1000$ videograbadoras al mes. Sin embargo, a
$\$2000$ por unidad, las ventas son de $1400$ unidades. Determine la ecuación de demanda suponiendo que es lineal.
dados los puntos $(2000,1400)$ y $(2500,1000)$, podemos calcular la pendiente
$$m=\frac{1400-1000}{2500-2000}=\frac{400}{500}=0,8$$
Luego consideramos cualquiera de los dos puntos conocidos. $(2000,1400)$ o $(2500,1000)$ y procedemos a trabajar con el punto $(0,n)$
así se tendrá que $y=mx+n$, esto es considerando el punto $(x,y)=(2000,1400)$ , y $m=-0,8$
\begin{array}{rl} y&=mx+n\\1400&=0,8\cdot 2000+n \\ 1400&=-1600+n\\ n&=1600+1400\\n&=3000 \end{array}
por lo tanto la ecuación que define los costos es
$$C(x)=-0,8x+3000$$
de donde se deduce que la demanda disminuye a razón de 0,8 al aumentar el precio.
¿otra interpretación?
por cada $\$10$ que aumenta en precio deja de vender $8$ video grabadoras.
11) Un fabricante de útiles escolares puede vender $3000$ lápices al mes a $\$20$ cada uno, mientras que sólo pueden venderse $2000$ lápices a $\$25$ cada uno.
Determine la ley de demanda, suponiendo que es lineal.
dados los puntos $(20,3000)$ y $(25,2000)$, podemos calcular la pendiente
$$m=\frac{2000-3000}{25-20}=\frac{1000}{5}=-200$$
Luego consideramos cualquiera de los dos puntos conocidos. $(20,3000)$ o $(25,2000)$ y procedemos a trabajar con el punto $(0,n)$
así se tendrá que $y=mx+n$, esto es considerando el punto $(x,y)=(20,3000)$ , y $m=-200$
\begin{array}{rl} y&=mx+n\\3000&=-200\cdot 20+n \\ 1400&=-4000+n\\ n&=1400+4000\\n&=5400 \end{array}
por lo tanto la ecuación que define los costos es
$$D(x)=-200x+5400$$
12) Una compañía de bienes raíces posee un conjunto habitacional que tiene $100$ departamentos. A una renta mensual de $\$700$, todos los departamentos son rentados, mientras que si la renta se incrementa a $800$ mensuales, sólo pueden rentarse $40$ departamentos.
a) Suponiendo una función lineal entre la renta mensual y el número de departamentos que pueden rentarse, encuentre esta función.
dados los puntos $(700,100)$ y $(800,40)$, podemos calcular la pendiente
$$m=\frac{40-100}{800-700}=\frac{-60}{100}=-0,6$$
Luego consideramos cualquiera de los dos puntos conocidos. $(700,100)$ o $(800,40)$ y procedemos a trabajar con el punto $(0,n)$
así se tendrá que $y=mx+n$, esto es considerando el punto $(x,y)=(700,100)$ , y $m=-0,6$
\begin{array}{rl} y&=mx+n\\100&=-0,6\cdot 700+n \\ 100&=-420+n\\ n&=100+420\\n&=520 \end{array}
por lo tanto la ecuación que define los costos es
$$D(x)=-0,6x+520$$
b) ¿Cuántos departamentos se rentarán, si la renta mensual aumenta a $\$850$?
\begin{array}{rl} D(x)&=-0,6x+520 \\D(850)&=-0,6(850)+520 \\&=10 \end{array}
c) ¿Cuántos departamentos se rentarán, si la renta disminuye a $\$650$ mensuales?
\begin{array}{rl} D(x)&=-0,6x+520 \\D(650)&=-0,6(650)+520 \\&=130 \end{array}
13) En el año 2000 una familia compró una casa con valor de $\$25.000,000$; en el año $2007$ la casa fue revalorada en $\$38.000,000$. Suponiendo que el valor de la casa crece linealmente con el tiempo, determina: (a) el valor de la casa en el año $2003$; (b)¿A partir de que año la casa tendrá un valor superior a los $\$50.000,000$?
dados los puntos $(2000,25000000)$ y $(2008,38000000)$, podemos calcular la pendiente
$$m=\frac{38000000-25000000}{2007-2000}=\frac{13000000}{7}$$
en proceso
14) Una empresa compró una máquina nueva por $\$25,000$ Si se deprecia linealmente en $\$2500$ al año y si tiene un valor de desecho de $\$4500$, ¿Cuál será el valor V de la maquinaria después de t años de uso y después de 6 años de uso? ¿Por cuánto tiempo conviene tener la máquina en uso?
15) Un vendedor de una empresa tiene un sueldo base semanal de $\$2500$, y además por cada artículo vendido recibe una comisión de $\$80$. Determinar el salario semanal del vendedor cuando vende 2, 5, 7 , 12 y hasta x artículos por semana.
16) La población infantil entre 4 y 14 años de edad de un cierto país decreció de 24.5 millones en 1985 a 21.7 millones en 1990.
a) ¿Cuál fue la razón de cambio promedio en esta pobla¬ción en el periodo dado?
b) Suponiendo una variación lineal de la población con el tiempo, determina una función lineal que describa esta población y en términos del año x para el periodo dado.
17) De la siguiente tabla, y gráfica, obtenida experimentalmente donde se relaciona la distancia en que un automóvil se desplaza, después de frenar durante el tiempo medio de reacción, para varias rapideces diferentes. Determinar:
\begin{array}{|c|c|c|} \text{v = rapidez en km/h}&\text{d=distancia en metros} \\ \hline 40&5\\ 50&10\\ 60&15\\70&20 \end{array}
a) La velocidad máxima a que el automóvil debe desplazarse para que pueda pararse casi instantáneamente (o sea cuando ).
b) La distancia en que el automóvil pueda pararse cuando viaja a una cierta velocidad $v\ge v_o$
c) la distancia que recorre un automóvil antes de detenerse después de frenar, cuando viaja a 140 km/h.
18) De acuerdo con los datos arrojados por una investigación socioeconómica, el ingreso anual para una familia en extrema pobreza integrada por cuatro personas fue de $\$5510$ en $1990$, $\$8420$ en $1995$ y de $\$13,360$ en $2006$.
a) Considere que x = 0 corresponde a $1990$ y use los puntos (0,5510) y (16, 13360) para encontrar un modelo lineal para esos datos.
b) Compara el ingreso dado por el modelo para 1995 con el ingreso real de $\$8420$ ¿Qué tan adecuado es el modelo?
c) ¿Qué tan exacto es el ingreso que da el modelo para 1985, cuando el ingreso real fue de $\$3832$?
d) De acuerdo con este modelo, ¿cuál será el ingreso anual para estas familias en el año $2008$?
19) Un automóvil, cuyo tanque de combustible tiene una capacidad de $60$ litros, tiene un rendimiento promedio en carretera de $14$ km por litro. Considerando el tanque lleno, determine:
a) La función que describe la cantidad de gasolina que hay en el tanque después de que el automóvil recorre x kilómetros por carretera.
b) ¿Cuál es el máximo kilometraje que puede recorrer el automóvil sin recargar el tanque?
c) ¿Cuántos litros de gasolina hay en el tanque después de que el automóvil ha recorrido una distancia de $0, 14, 28, 50$ y $200$ kilómetros?
d) Represente gráficamente los resultados del inciso anterior, y a partir de dicha gráfica determine los litros de gasolina que hay en el tanque después de que el automóvil ha recorrido una distancia de $100$ y $300$ kilómetros.
e) ¿Qué distancia ha recorrido el automóvil después de haber consumido $50.8$ litros de gasolina?
