Completación de cuadrados para ecuaciones cuadráticas.

  Álgebra

Cuando era niño me pase semanas completas tratando de memorizar la dichosa formula $x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$, pues siempre me equivocaba en un signo o en cualquier producto por simplemente estar tan concentrado en seguir la estructura que olvidaba ver los datos. Y años más tarde cuando me correspondió enseñarlo me encontré con que mis estudiantes tenían las mismas dudas, así que opte por ponerme a ordenar la idea en una forma mas simplista. Esto sin animo de desacreditar un modelo que por tantos años ha funcionado, obviamente.

La idea de completar se basa en la forma $$x^2+2bx+c=0$$

de tal que

\begin{array}{r l} x^2+2bx+c&=(x+b)^2\\(x+b)^2&=-c+b^2\\ \Rightarrow x&=-b\pm \sqrt{b^2-c} \end{array}

Obviamente no se entiende en una primera mirada, pero una serie de ejemplos ayudaran a interiorizar la idea

supongamos:

$$x^2-6x-4=0$$ $$x^2-8x-2=0$$ $$x^2+10x-2=0$$
\begin{array}{r l} (x-3)^2&=4+9\\ x-3 &=\sqrt{13}\\  x&=3 \pm\sqrt{13} \end{array} \begin{array}{r l} (x-4)^2&=2+16\\ x-4 &=\sqrt{18}\\  x&=4 \pm3\sqrt{2} \end{array} \begin{array}{r l} (x+5)^2&=2+25\\ x+5 &=\sqrt{27}\\  x&=-5 \pm3\sqrt{3} \end{array}

 

Describiendo la idea paso a paso se tendrá que si tenemos $$\Rightarrow x^2+8x+3=0$$

Esto será equivalente a la igualdad entre el cuadrado de la suma de x con la mitad de 8 $\Rightarrow (x+4)^2=$

Y la suma de el inverso de 3 con el cuadrado de la mitad de 8 $\Rightarrow (x+4)^2=-3+4^2$

Desarrollando un poco tendremos que $\Rightarrow (x+4)^2=13$

Eliminando el cuadrado $\Rightarrow x+4=\sqrt{13}$

Y despejando  $\Rightarrow x=-4\pm\sqrt{13}$

¿Qué implica esto en la parábola ?

Implica que el eje de la misma esta ubicado en x=-4

y que las raíces son $x=-4-\sqrt{13}$ y $x=-4+\sqrt{13}$

En suma

El método es una respuesta rápida par encontrar tanto las raíces como el eje.

¿Qué pasa si el coeficiente de x no es par?

Simplemente se trabaja con la mitad, aunque esto suele ser incomodo para los que no manejan adecuadamente los números racionales

Supongamos:

$$x^2-7x-4=0$$ $$x^2-5x-2=0$$ $$x^2+9x-2=0$$
\begin{array}{r l} \left(x-\frac{7}{2}\right)^2&=4+\left(\frac{7}{2}\right)^2\\\left(x-\frac{7}{2}\right)^2&=4+\frac{49}{4}\\ x-\frac{7}{2} &=\sqrt{\frac{65}{4}}\\  x&=\frac{7\pm\sqrt{65}}{2}  \end{array} \begin{array}{r l} \left(x-\frac{5}{2}\right)^2&=4+\left(\frac{5}{2}\right)^2\\\left(x-\frac{5}{2}\right)^2&=2+\frac{25}{4}\\ x-\frac{5}{2} &=\sqrt{\frac{33}{4}}\\  x&=\frac{5\pm\sqrt{33}}{2}  \end{array} \begin{array}{r l} \left(x+\frac{9}{2}\right)^2&=2+\left(\frac{9}{2}\right)^2\\\left(x+\frac{9}{2}\right)^2&=2+\frac{81}{4}\\ x+\frac{9}{2} &=\sqrt{\frac{89}{4}}\\  x&=\frac{-9\pm\sqrt{89}}{2}  \end{array}

 

Ejercicios

Determine las raíces , eje y gráfica de las siguientes ecuaciones cuadráticas

1.- $y=x^2+4x-21$

\begin{array}{r l} (x+2)^2&=21+4\\ x+2 &=\sqrt{25}\\  x&=-2 \pm 5 \end{array}

De donde se deduce que las raíces son $x=-7$ y  $x=3$, y de tal que el eje está ubicado en $x=-2$

2.- $y=x^2-4x-5$

\begin{array}{r l} (x-2)^2&=5+4\\ x+2 &=\sqrt{9}\\  x&=2 \pm 3 \end{array}

De donde se deduce que las raíces son $x=-1$ y  $x=5$, y de tal que el eje está ubicado en $x=2$

 

3.- $y=x^2+5x-14$

\begin{array}{r l} \left(x+\frac{5}{2} \right)^2&=14+\frac{25}{4}\\ x+\frac{5}{2} &=\sqrt{\frac{81}{4}}\\  x&=\frac{-5 \pm 9}{2} \end{array}

De donde se deduce que las raíces son $x=-7$ y  $x=2$, y de tal que el eje está ubicado en $x=\frac{-5}{2}$

 

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