Definición: según el enfoque de frecuencia relativa, se determina probabilidad como el cuociente entre el número de observaciones del evento A y el tamaño de la muestra:
$$P(A) =\frac{\text{Casos favorables del Evento}}{\text{Tamaño de la muestra}} $$
Ejemplo: Cuál es la probabilidad de obtener un número par al lanzar un dado
Espacio muestral = {1,2,3,4,5,6}
Casos Favorables = {2,4,6}
$$P(A) = \text{probabilidad que salga un número par}$$
Por lo tanto $P(A) =\frac{3}{6}=0,5=50\%$
Propiedades:
$$0\leq P(A) \leq 1$$
$$P(A) + P(A^c) = 1$$
Eventos excluyentes: dos eventos son mutuamente excluyentes, o disjuntos, si no pueden ocurrir al mismo tiempo.
Regla:$ P(A \cup B) = P(A) + P(B)$
Ejemplo: Suponga que se consideran dos posibles eventos, de un mazo se desea extraer un as (A) o un rey (R).
$$P(A \cup R) = \frac{4}{52}+\frac{4}{52}=\frac{8}{52}=\frac{2}{13}$$
Eventos No excluyentes: dos eventos son no excluyentes cuando es posible que ocurran al mismo tiempo.
Regla: $P(A \cup B) = P(A) + P(B) – P(A\cap B)$
Ejemplo: Suponga que se consideran dos posibles eventos, de un mazo de cartas cuál es la probabilidad de extraer un as (A) o un trébol (T) o un as de trébol.
$$P(A\cup T) = \frac{4}{52}+\frac{13}{52}-\frac{1}{52}=\frac{16}{52}=\frac{4}{13}$$
Eventos Independientes: dos eventos son independientes cuando la ocurrencia de uno no tiene ningún efecto sobre la probabilidad de ocurrencia del otro.
Regla: $P(A \cap B) = P(A)·P(B)$
Ejemplo: Al lanzar dos veces una moneda es un evento independiente, ya que el resultado del primer lanzamiento no influye en resultado del segundo lanzamiento. Cuál es la probabilidad que ambas sean caras:
$$P(A \cap B) = \frac{1}{2}\cdot \frac{1}{2}=\frac{1}{4}$$
Eventos dependientes: dos eventos son dependientes si la ocurrencia de uno si afecta la probabilidad de ocurrencia del otro.
Regla: $ P(A\cap B) = P(A)·\underbrace{P(B|A)}_{\text{Probabilidad condicionada de B dado A.}\\ \text{Probabilidad de que suceda B dado que sucedió A}}$
Ejemplo: La extracción de dos cartas de un mazo, sin devolución, son eventos dependientes, pues al extraer la primera influye en la segunda extracción. Sacar dos ases:
1ª extracción $\frac{4}{52}$ sin embargo para la 2ª extracción $\frac{3}{51}$
$$P(A\cap B) = \frac{4}{52}\cdot \frac{3}{51}=\frac{12}{2652}=\frac{1}{221}$$
Definición formal de Probabilidad Condicional del evento A dado que a ocurrido B:
$$P(A|B) =\frac{P(A\cap B)}{P(B)}$$
Ejemplo: Una estadística que manejan los profesores de una cierta universidad revela que el 25% de los estudiantes de las carreras que allí se imparten reprueba Cálculo, el 15% reprueba Estadísticas y el 10% reprueba ambas asignaturas:
Donde C es el suceso consistente en reprobar Cálculo, y E es el suceso que consiste en reprobar Estadísticas.
a.- Si un alumno reprueba Estadísticas, ¿cuál es la probabilidad que repruebe Cálculo?
$$P(C|E) = \frac{P(C\cap E)}{P(E)}=\frac{0,1}{0,15}=0,666..$$
b.- Si un alumno reprueba Cálculo, ¿cuál es la probabilidad que repruebe Estadísticas?
$$P(E|C) =\frac{P(E\cap C)}{P(C)}=\frac{0,1}{0,25}=0,4$$
c.- ¿Cuál es la probabilidad que tiene el alumno de reprobar una de las dos o ambas asignaturas?
$$P(C\cup E) = P(C) + P(E) – P(C\cap E) = 0,25 + 0,15 – 0,1 = 0,3 $$
TEOREMA DE BAYES
Un espacio muestral que está formado por los eventos $A_1, A_2, A_3,…..,A_n$ mutuamente excluyentes. Si deseamos calcular la probabilidad de que ocurra un evento $A_i$ dado que $B$ ya ocurrió, entonces;
$$P(A_i|B)=\frac{P(A_i\cap B)}{P(B)}=\frac{P(A_i)P(B|A_i)}{P(A_1)P(B|A_1)+P(A_2)P(B|A_2)}+\cdots P(A_n)P(B|A_n)$$
La expresión anterior es el teorema de Bayes, que como se observa es una simple probabilidad condicional.
Sugerencia: para este tipo de problemas se recomienda utilizar el esquema de árbol.
Ejemplo:
Tres máquinas denominadas $A, B y C$, producen un $43\%, 26\% y 31\%$ de la producción total de una empresa respectivamente, se ha detectado que un $8\%, 2\%$ y $1.6\%$ del producto manufacturado por estas máquinas es defectuoso.
Se selecciona un producto al azar y se encuentra que es defectuoso:
a) ¿Cuál es la probabilidad de que el producto haya sido fabricado en la máquina B?
b) Si el producto seleccionado resulta que no es defectuoso, ¿cuál es la probabilidad de que haya sido fabricado en la máquina C?
Solución:
Diagrama de árbol
Definiremos los eventos:
a.-
D = evento de que el producto seleccionado sea defectuoso (evento que condiciona)
A = evento de que el producto sea fabricado en la máquina A
B = evento de que el producto sea fabricado por la máquina B
C = evento de que el producto sea fabricado por la máquina C
$$P(B|D) =\frac{P(B\cap D)}{P(D)}=\frac{P(B)P(D|B)}{P(A)P(D|A)+P(B)P(D|B)+P(C)P(D|C)}$$
$$P(B|D) =\frac{0,26\cdot 0,02}{0,43\cdot 0,08+0,26\cdot0,02+0,31\cdot 0,016}=0,116697$$
b.-
ND = evento de que el producto seleccionado no sea defectuoso (evento que condiciona)
A = evento de que el producto sea fabricado en la máquina A
B = evento de que el producto sea fabricado por la máquina B
C = evento de que el producto sea fabricado por la máquina C
$$P(C|ND) =\frac{P(C\cap ND)}{P(ND)}=\frac{P(C)P(ND|C)}{P(A)P(ND|A)+P(B)P(ND|B)+P(C)P(ND|C)} $$
$$P(C|ND) =\frac{0,31\cdot 0,984}{0,43\cdot 0,92+0,26\cdot 0,098+0,31\cdot 0,984}=0,31927$$
Ejemplo:
Una empresa ha decidido ensayar un nuevo Test de Selección de Personal. La experiencia ha demostrado que sólo el 60% de los candidatos son adecuados para algún puesto de trabajo.
De entre todas las personas que resultaron adecuadas para el cargo, sólo el 80% aprobó satisfactoriamente el Test de Selección, mientras que sólo el 40% de aquellas que no resultaron adecuadas aprobó dicho test.
a) ¿Cuál es la probabilidad que una persona cualquiera apruebe el test?
b) Si se utiliza el Test de Selección y se contrata solamente a las personas que lo aprueban, ¿Cuál resulta ser la probabilidad que una persona que aprueba el Test de Selección resulte adecuada para el cargo?
$$P(AT)=0,60\cdot0,80+0,40\cdot 0,40=0,64$$
$$P(AA)=\frac{0,60 \cdot 0,80}{0,60\cdot0,80+9,40\cdot0,40}=0,75$$
Ejemplo:
Un inversionista planea comprar una importante cantidad de acciones de una empresa. La cotización de las acciones de la empresa en la Bolsa durante los seis meses anteriores resulta de sumo interés para el inversionista. Con base a ese período, se observa que la cotización que afecta a las acciones se relaciona con el Producto Nacional Bruto (PNB) del país, observando que:
• Si el PNB sube, la probabilidad que el valor de la acción de la empresa suba es 0,8
• Si el PNB se mantiene sin variación, la probabilidad que el valor de la acción suba de precio es 0,2
• Si el PNB cae, la probabilidad que el valor de la acción incremente su precio es 0,1
Si para los siguientes 6 meses, los estudios estadísticos asignan las probabilidades de 0,4; 0,3 y 0,3 a los sucesos:
alza del PNB; PNB sin variación y baja del PNB respectivamente.
Determinar la probabilidad que el valor de la acción suba durante los próximos 6 meses, y que el PNB se haya mantenido sin variación
$$P(SP|SV)=\frac{P(SP\cap SV)}{P(SV)}=\frac{0,3\cdot0,2}{0,4\cdot0,8+0,3\cdot0,2+0,3\cdot0,1}=0,1463$$
