Ecuación Cuadrática

  Álgebra

Definición de ecuación de segundo grado
Una ecuación de segundo grado con una incógnita, conocida como ecuación cuadrática, es la ecuación con una sola variable o incógnita del tipo $ax^2+bx+c=0$, con $A$, $A, B, C$ números reales y $A\ne0$

Si el coeficiente $B=0$ entonces la ecuación cuadrática toma la forma incompleta $Ax^2+C=0$ siendo sus raíces o soluciones los números $x=\pm\sqrt{\frac{-c}{a}}$

$$ax^2+c=0 \iff aX^2=-c \iff x^2=\frac{-c}{a}\iff x=\pm\sqrt{\frac{-c}{a}}$$

Ejemplos

$$2x^2-3=0 \iff 2x^2=3 \iff x^2=\frac{3}{2}\iff x= \pm \sqrt{\frac{3}{2}}$$
$$3x^2-5=0 \iff 3x^2=5 \iff x^2=\frac{5}{3}\iff x= \pm \sqrt{\frac{5}{3}}$$
$$x^2-4=0 \iff x^2=4 \iff x^2 \iff x= \pm \sqrt{4 }\iff x=\pm 2$$

Si el término libre de incógnita C=0 , la ecuación $ax^2+bx =0$ se llama incompleta binomia, y las raíces o soluciones se determinan por factorización directa
$$Ax^2+Bx=0\rightarrow x(ax+b) \iff x_1=0 \land x_2=\frac{-B}{A}$$

Ejemplos

$$5x^2-3x=0 \iff x(5x-3)=0 \rightarrow x_1=0 \land x_2=\frac{3}{5}$$
$$3x^2+4x=0 \iff x(3x+4)=0 \rightarrow x_1=0 \land x_2=\frac{-4}{3}$$
$$2x^2-5x=0 \iff x(2x-5)=0 \rightarrow x_1=0 \land x_2=\frac{5}{2}$$

Si el coeficiente $A$ de la incógnita en segundo grado es $1$ entonces la ecuación general $Ax^2+Bx+C=0$ toma la forma completa particular $x^2+Bx+C=0$

Toda ecuación de segundo grado con una sola incógnita  tiene hasta dos soluciones en el cuerpo ordenado completo de los números reales; El número real $x_0$ es una raíz o solución  de la ecuación $Ax^2+Bx+C=0$ si y solo si $Ax_0^2+Bx_0+C=0$

Ejemplo

El número real $3$ es una solución de la ecuación cuadrática  $x^2-2x-3=0$ pues $3^3-3\cdot 3 -3=0$

El número real $(-5)$ NO es una solución de la ecuación cuadrática  $x^2-2x-3=0$ pues $(-5)^3-3\cdot (-5) -3\ne0$

Conjunto solución por completación del cuadrado de binomio

Las soluciones de la ecuación cuadrática con una incógnita $Ax^2+Bx+C=0$ se determinan con facilidad completando el cuadrado de binomio como se detalla a continuación.

$Ax^2+Bx+C=0$ con $A\ne0 \iff Ax^2+Bx=-C$

\begin{array}{r l} Ax^2+Bx+C=0 \text{ con }A\ne0 \iff Ax^2+Bx&=-C \\    x^2+\frac{B}{A}x&=\frac{-C}{A}  \\ x^2+\frac{B}{A}x+ \left( \frac{B}{2A}\right)^2&=\frac{-C}{A} + \left( \frac{B}{2A}\right)^2  \\       x^2+\frac{B}{A}x+ \left( \frac{B}{2A} \right)^2 &=\frac{-C}{A} +  \frac{B^2}{4A^2}     \\ \left( x+\frac{B}{2A}\right)^2 &=\frac{-4AC+B2}{4A^2}      \\ \left( x+\frac{B}{2A}\right) &=\pm \sqrt{\frac{-4AC+B2}{4A^2}}  \\    x+\frac{B}{2A} &=\pm {\frac{\sqrt{B^2-4AC}}{2A}}    \\   x &=-\frac{B}{2A}\pm {\frac{\sqrt{B^2-4AC}}{2A}}   \\ x &=\frac{-B\pm \sqrt{b^2-4AC}}{2A}\end{array}

El conjunto solución de la ecuación cuadrática $Ax^2+Bx+C=0$ es

$$S\left(=x_1=\frac{-B – \sqrt{b^2-4AC}}{2A} \land x_2=\frac{-B+ \sqrt{b^2-4AC}}{2A}\right)$$

Ejemplo

determine en el cuerpo de los numero reales el conjunto solución  de la ecuación cuadrática  $x^2-2x=15$. Compruebe su respuesta:

Desarrolllo

$$x^2-2x=15\iff x^2-2x-15=0$$

siendo $A=1, B=-2, C=-15$

Las raices estaran dada por

\begin{array}{r l} x&=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}\\&=\frac{2\pm\sqrt{(-2)^2-4(1)(-15)}}{2(1)}\\&=\frac{2\pm\sqrt{4+60}}{2}\\&=\frac{2\pm\sqrt{64}}{2} \\&=\frac{2\pm8}{2}  \rightarrow \begin{cases}
x_1 & =\frac{2+8}{2}=5 \\
x_2 & =\frac{2-8}{2}=-3
\end{cases}\end{array}

Se comprueban estos valores en la ecuación propuesta inicialmente

\begin{cases}
x_1 & \rightarrow x_1^2-2x_1=15= (5)^2-2(5)=25-20=15 \\
x_2 & \rightarrow x_2^2-2x_2=15= (-3)^2-2(-3)=9+6-20=15
\end{cases}

 

 

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