Llamaremos
Tasa efectiva: es la que actúa sobre el capital generando intereses.
Es la tasa de interés anual pactada que rige una operación financiera durante un plazo determinado.
Si se dice, por ejemplo, que a un capital se le aplica el $3\%$ mensual, ésta tasa es efectiva
Tasa nominal: en contraposición a efectiva, es una tasa de referencia o base y no es la que real y directamente se aplica al capital. Es la tasa a la cual se capitaliza el dinero anualmente; aun cuando el dinero se capitalice semestral, trimestral o mensualmente.
Por ejemplo, si una operación se conviene al $12\%$ capitalizable semestralmente, el $12\%$ es una tasa nominal porque al haber capitalizaciones dentro del año, la tasa efectivamente ganada en el año es superior (ya que dentro del año se ganaron intereses sobre intereses).
Entre la tasa nominal y efectiva existen relaciones que aquí quedaran explicadas, fundamentalmente en base a ejemplos para aclarar ideas
“La tasa efectiva para un sub período del año se encuentra dividiendo la tasa nominal (anual) por el número de capitalizaciones dentro del año”.
El procedimiento para obtener una tasa equivalente ya sea nominal o anual, es el siguiente:
Sea “$i$” la tasa de interés efectiva anual.
Sea “$j$” la tasa de interés nominal anual.
Sea “$m$” el número de veces que la tasa nominal se capitaliza al año
Esto es
$$i=\frac{j}{m}$$
donde
$j=$ es la tasa nominal
$m=$ es el número de capitalizaciones
\begin{array}{c|c} \text{Tasas de interés Compuesto capitalizable}&\text{El número de veces que dicha tasa se capitaliza al año es }\\ \hline \text{Semestralmente}&2 \\ \hline \text{Cuatrimestralmente }&3 \\ \hline \text{Trimestralmente}&4 \\ \hline \text{Bimestral}&6 \\ \hline \text{Mensualmente }&12 \end{array}
por ejemplo, considerando el enunciado tenemos que
$j=0,12$, por ser la tasa nominal, y $m=2$ por ser capitalizable semestralmente. Entonces
$$i\text{ Semestral}=\frac{0,12}{2}=0,06=6\% \text{ Semestral}$$
Cuando el monto generado por ambas en el plazo de un año llega a coincidir, dichas tasas son equivalentes entre si.
\begin{array}{c c c}\text{Monto bajo tasa efectiva}&=&\text{Monto bajo tasa nominal}\\ M&=&M \\ 1+i&=&\left( 1+\frac{j}{m}\right)^m \\ i&=&\left( 1+\frac{j}{m}\right)^m – 1\end{array}
Un ejemplo
Determine la tasa efectiva Anual de interés para una tasa del $18\%$ anual capitalizable
Los datos son:
i=?
j= $18\%$ anual capitalizable mensualmente
m=$12$ periodos de capitalización en un año para la tasa nominal “j”
\begin{array}{c c c} i&=&\left(1+\frac{j}{m}\right)^m-1 \\ i&=& \left(1+\frac{0,18}{12}\right)^{12}-1 =0,1956 \end{array}
Entonces $i=19,56\%$ Anual
Ejemplo
Se depositan $\$100.000$ al $12\%$ con capitalización semestral. Determine:
a) El monto acumulado al cabo de un año
Datos
$\text{Capital} =\$100.000$
$j=0,12$
$m=2$
$i=\frac{0,12}{2}=0,06 \text{ mensual}$
$n= \text{semestres}$
\begin{array}{c c c} M&=&C(1+i)^n\\ M&=&100.000(1+0,06)^2\\ M&=&112.360 \end{array}
b) Determine el interes Ganado
\begin{array}{c c c} \text{Interés}&=&\text{Monto} -\text{Inversión} \\ \text{Interés}&=&112.360 – 100.000 \\ \text{Interés}&=& 12.360\end{array}
c)Tasa de interés efectiva ganada en el año.
Corresponde al cociente entre el interés ganado y el capital depositado.
$$i=\frac{12.360}{100.000}=0,1236=12,36\%$$
Es facil ver que que la tasa efectivamente ganada, del $12,36\%$, es superior a la tasa nominal del $12\%$.
Ahora, si a usted le ofrecen que deposite al $12\%$ con capitalización Semestral ó al $12,36\%$ con capitalización Anual, daría exactamente lo mismo , pues en ambos sistemas usted retirara $\$112.360$ al completar el año. Esto es por que ambas tasas son Equivalentes.
En caso de que se busque calcular la tasa nominal de interés a partir de una tasa efectiva anual, el despeje queda de la siguiente manera:
\begin{array}{c c c} 1+i&=&\left( 1+\frac{j}{m}\right)^m \\ \left( 1+\frac{j}{m}\right)^m &=&1+i \\ 1+\frac{j}{m} &=&(1+i)^{\frac{1}{m}} \\ \frac{j}{m} &=&(1+i)^{\frac{1}{m}}-1 \\ j&=&m\left[(1+i)^{\frac{1}{m}}-1 \right] \end{array}
Ejemplo
Determine una tasa nominal capitalizable mensualmente que genere el mismo monto que la tasa equivalente de $19.562\%$ anual
Datos
