Basta aplicar integración por partes
$$\int {x} dx$$
Sean $u=ln(x)$ y $dv=dx$
entonces $du=\frac{dx}{x}$ y $v=x$
Si ordenamos en la estructura de la integral por partes
$$\int{u}dv=u·v-\int {v}du$$
tenemos que
$$\int {x} dx=ln(x)·x-\int{x}·\frac{dx}{x}$$
$$\int {x} dx=ln(x)·x-\int{dx}$$
$$\int {x} dx=ln(x)·x-x$$
¿Y qué pasa con sus potencias enteras?
Un caso
$$\int{ln^2(x)}dx=\int{ln(x)·ln(x)dx}$$
donde
$u=ln(x)$ y $dv=ln(x)dx$
por ende
$du=\frac{dx}{x}$ y $v=ln(x)·x-x$
y asi
$$\int{ln^2(x)}dx=ln(x)·(ln(x)·x-x)-\int(ln(x)·x-x)\frac{dx}{x}$$
$$\int{ln^2(x)}dx=ln(x)·(ln(x)·x-x)-\int ln(x)dx+ \int (1)dx$$
$$\int{ln^2(x)}dx=ln(x)·(ln(x)·x-x)-(ln(x)·x-x)+ x$$
$$\int{ln^2(x)}dx=ln^2(x)·x-2ln(x)·x+2x$$
Recomiendo al interesado verificar el modelo para $ln^3(x)$, a fin de que adquiera la soltura necesaria.
