¿ Y la integral del logaritmo natural ?

  Cálculo

Una integral clásica y simple que no siempre se desarrolla en los libros es la del logaritmo natural, y la estrategia para calcular  es en si bastante simple.

Basta aplicar integración por partes

$$\int {x} dx$$

Sean $u=ln(x)$ y $dv=dx$

entonces $du=\frac{dx}{x}$ y $v=x$

Si ordenamos en la estructura de la integral por partes

$$\int{u}dv=u·v-\int {v}du$$

tenemos que

$$\int {x} dx=ln(x)·x-\int{x}·\frac{dx}{x}$$

$$\int {x} dx=ln(x)·x-\int{dx}$$

$$\int {x} dx=ln(x)·x-x$$

¿Y qué pasa con sus potencias enteras?

Un caso

$$\int{ln^2(x)}dx=\int{ln(x)·ln(x)dx}$$

donde

$u=ln(x)$ y $dv=ln(x)dx$

por ende

$du=\frac{dx}{x}$ y $v=ln(x)·x-x$

y asi

$$\int{ln^2(x)}dx=ln(x)·(ln(x)·x-x)-\int(ln(x)·x-x)\frac{dx}{x}$$

$$\int{ln^2(x)}dx=ln(x)·(ln(x)·x-x)-\int ln(x)dx+ \int (1)dx$$

$$\int{ln^2(x)}dx=ln(x)·(ln(x)·x-x)-(ln(x)·x-x)+ x$$

$$\int{ln^2(x)}dx=ln^2(x)·x-2ln(x)·x+2x$$

Recomiendo al interesado verificar el modelo para $ln^3(x)$, a fin de que adquiera la soltura necesaria.

 

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