Hace un par de días un estudiante me pidió ayuda para resolver unos ejercicios puesto que no comprendía la teoría. Bajo esa mirada opte por enviarle algunas referencias y sin más dejo de contestar. Me quede entonces pensando. 
¿Comprenderán bien estos procesos los estudiantes ?
Y dado que ya lo había escrito, es mejor dejarlo aquí
Supongamos una recta R que pasa por un punto A y que posee una dirección dada por un vector $\vec{d}$.
Sea P un punto perteneciente a esa recta.
Sean A y P los vectores de posición de los puntos respectivos.
De la figura se deduce que la suma de los vectores puede considerarse y entenderse como $\vec{a}+\vec{AP} =\vec{p}$
Del vector $\overrightarrow{AP}$ solo conocemos su dirección, que usualmente conocemos como pendiente, ya que su magnitud variará de acuerdo a donde este el punto P Es por esto que el vector $\overrightarrow{AP}$ se representa como el vector dirección multiplicado por un escalar. Ese escalar se anotara por $\lambda$
$$\overrightarrow{AP}=\lambda \cdot \vec{d}$$
De aqui se deduce que
$$\vec{P}=\vec{a}+ \overrightarrow{AP} \Rightarrow \vec{P}= \vec{a}+ \lambda\vec{d}$$
A la cual llamaremos ecuación vectorial de la recta.
Bajo este modelo podemos concluir que la ecuación vectorial con coordenadas será la siguiente
$$(x,y)=(a_x+a_y)+\lambda(d_x,d_y)$$
de tal que la ecuación Paramétrica estará dada por
$$x = a_x+\lambda\cdot d_x$$
$$y = a_y+\lambda\cdot d_y$$
Si despejamos el valor de $\lambda$ en ambas ecuaciones, e igualamos
$$\lambda=\frac{x – a_x}{d_x}=\frac{y – a_y}{d_y}$$
y operando ordenadamente llegaremos a que
$$d_y\cdot(x – a_x)=d_x\cdot(y – a_y)$$
$$d_y\cdot x -d_y\cdot a_x=d_x\cdot y-d_x\cdot a_y$$
de donde podemos obtener la ecuación simétrica de la recta
$$d_y\cdot x -d_y\cdot a_x-d_x\cdot y+d_x\cdot a_y=0$$
$$d_y\cdot x-d_x\cdot y -d_y\cdot a_x+d_x\cdot a_y=0$$
Ejemplos
Supongamos que se necesita encontrar la ecuación vectorial de la recta que pasa por (1,2) y (4,8)
Si consideramos el vector d $\vec{d}$ como la diferencia entre ambos puntos tendremos que
$$\vec{d}=\vec{b}-\vec{b}$$
$$\vec{d}=(3,-1)$$
entonces podemos plantear que
$$(x,y)=(5,2)-\lambda (3,-1)$$
de donde se deduce que
$$x=5-3-\lambda; y=2-\lambda$$
despejando el valor de $\lambda$ en ambas expresiones llegamos a que
$$\lambda=\frac{x-5}{3}=2-y$$
$$x-5=6-3y$$
$$x+3y-11=0$$
¿Y qué pasa cuando el vector $\vec{d}$ está dado?
Para cada ecuación vectorial de la recta, determina la ecuación cartesiana correspondiente. En todos los casos $\lambda \in \mathbb R$
1.- $ L:(x.y)=(1,2)+\lambda \vec{d}, \text {tal qué }\vec{d}=(4,8)$
$$L=(1,2)+\lambda (4,8)$$
$$\begin{cases}
x=1+4\lambda\\
y=2+8\lambda \\
\end{cases}
$$
de tal que
$$\lambda=\frac{x-1}{4}=\frac{y-2}{8}$$
por lo tanto
$$2x-2=y-2$$
$$2x-y=0$$
2.-$ L:(x.y)=(0,4)+\lambda \vec{d}, \text {tal qué }\vec{d}=(3,5)$
$$L=(0,4)+\lambda (3,5)$$
$$\begin{cases}
x=0+3\lambda\\
y=4+5\lambda \\
\end{cases}
$$
de tal que
$$\lambda=\frac{x}{3}=\frac{y-4}{5}$$
por lo tanto
$$5x=3y-12$$
$$5x-3y+12=0$$
3.- $ L:(x.y)=(3,-2)+\lambda \vec{d}, \text {tal qué }\vec{d}=(1,-6)$
$$L=(3,-2)+\lambda (1,-6)$$
$$\begin{cases}
x=3+\lambda\\
y=-2-6\lambda \\
\end{cases}
$$
de tal que
$$\lambda=x-3=\frac{-2-y}{6}$$
por lo tanto.
$$6x-18=-2-y$$
$$6x+y-16=0$$
4.- $ L:(x.y)=(5,1)+\lambda \vec{d}, \text {tal qué }\vec{d}=(0,3)$
$$L=(5,1)+\lambda (0,3)$$
$$\begin{cases}
x=5\\
y=1+3\lambda \\
\end{cases}
$$
Pero en este caso ya sabemos que el valor de x es 5, permanentemente, por lo tanto la ecuación buscada es $x=5$
Determina la ecuación vectorial para cada ecuación cartesiana de a recta.
a) $$2x-5y+1=0$$
Primero despejemos el valor de la pendiente separando las variables
$$5y=2x+1$$
$$y(x)=\frac{2x+1}{5}$$
Y con ello buscamos algún punto que este en la recta. Para ello podemos por ejemplo con un valor $x=2$, para asegurarnos de obtener un número entero.
$$y(2)=\frac{2\cdot 2+1}{5}=1$$
Con lo cual podemos asegurar que el punto $(2,1)$ pertenece a la recta.
Busquemos otro punto, por ejemplo para $x=7$
$$y(7)=\frac{2\cdot 7+1}{5}=3$$
y ahora tenemos un segundo punto $(7,3)$
¿Cómo operamos ahora?
Consideremos uno de ellos como el Origen $\vec{a}=(2,1)$, y obtengamos el vector $\vec{d}$ como la diferencia entre los puntos indicados.
$$(x,y)=(2,1)+\lambda((7,3)-(2,1))$$
Entonces la ecuación vectorial estará dada por:
$$(x,y)=(2,1)+\lambda(5,2)$$
Ejercicios a desarrollar
- $b) 8x-3y=-6$
- $c)-7x+y-18=0$
- $d)4x+2=3y-3$
Indica la posición relativa ( paralelas, perpendiculares o secantes) entre las rectas dadas, en cada caso.
- $L_1:x-y-2=0; <x,y>=<1,2>+\lambda <2,2>$
- $L_1:4x+y-3=0; <x,y>=<3,0>+\lambda <1,4>$
- $L_1:2x-y+2=0; <x,y>=<1,-1>+\lambda <3,-1>$
- $L_1:x+y-9=0; <x,y>=<5,4>+\lambda <-1,1>$
- $L_1:x+y-9=0; <x,y>=<5,4>+\lambda <-1,1>$
Dada la recta $L:<x,y>=<2,-3>+\lambda <1,2>$, y el punto $p(2,1)$, calcula la ecuación vectorial de la recta
- Paralela a $L$ que pasa por $P$
- Perpendicular a $L$ que pasa por $P$
Determina la ecuación vectorial de la recta que pasa por el punto $A(2,-1)$ y tiene la misma pendiente que
- $<x,y>=<0,3>+\lambda<1,1>$
- $2x-3y=6$
