En el estudio del interés compuesto hemos visto que el capital final es una ponderación de capital inicial por un factor que depende del numero de cuotas bajo una tasa fija

$$C_f=C_i(1+\frac{i}{100})^n$$

Su reciproco , es decir el procedimiento para halla r el valor actual a pagar en un futuro se presento como un problema. Es la clalve para calcular los rendimientos de las obligaciones, y es fundamental para el computo de las primas de seguros

Definición:

Valor actual, a interés compuesto  de una deuda que vence en el futuro  es aquel capital que a interés compuesto se convierte en la cantidad que se adeuda.

En los negocios de la practica corriente, valor actual significa usualmente el valor actual a interés compuesto. De aquí en adelante , a menos que se indique lo contrario, se dará por supuesto que el valor actual se calcula tomando como base el interés compuesto.

Formula para el valor actual a interés compuesto

Sabemos que $C_f=C_i(1+\frac{i}{100})^n$, lo cual usualmente se escribe

$$S=P(1+i)^n$$

en donde

  • S: representa el monto
  • P: Representa el Capital
  • I: Representa el interés anual por unidad
  • n: Representa el número de años

Los problemas relativos al valor actual implican determinar el valor del capital P

$$P=frac{S}{(1+i)^n}$$

Formula que da el valor actual cuando el interés se capitaliza anualmente

La expresión “Valor Actual” significa el valor de un pago a futuro en una fecha determinada antes del vencimiento

El cuadro que sigue muestra el valor actual en diferentes fechas de $\$1000$ que vencen el primero de enero del año 2022, siendo el tipo de interés el $6\%$

$$
\begin{matrix}
\text {Fecha }& \text {Años antes del vencimiento} & P=\frac{S}{(1+i)^n} & \text {Valor actual} \\
\hline
01/01/2018 & n=4 & P=\frac{1000}{(1,06)^4} & 792,09 \\
01/01/2019 & n=3 & P=\frac{1000}{(1,06)^3} & 839,62 \\
01/01/2020 & n=3 & P=\frac{1000}{(1,06)^2} & 890.00 \\
01/01/2021 & n=4 & P=\frac{1000}{(1,06)^1} &943,40 \\
01/01/2022 & n=4 & P=1000& 1000 \\
\end{matrix}
$$

Los valores de $(1,06)^4$, $(1,06)^3$, etc, se calcularon aparte.
Cuanto menos falta para el vencimiento, mayor es el valor actual del monto que se adeuda, y, en la fecha del vencimiento , el valor actual es igual al monto que hay que pagar.
Para comprobar cualquiera de esos valores actuales basta hallar si al tipo indicado, en el tiempo expuesto, el valor actual se convertirá en la cantidad que se adeuda.

Por ejemplo, en el cuadro el valor actual al 6% el 1 de enero del 2019 de $\$1000$ a pagar el 1 de enero del 2022 se da como $\$839,62$. Por consiguiente $\$839,62$ al $6\%$ de interés compuesto durante 3 años deben convertirse en $\$1000$.

En efecto

$$1000=839,62(1,06)^3$$

Aunque en realidad la operación de $\$1.000,00085392$

El ejemplo que sigue aclarará aún más el uso de la formula para determinar el valor actual de una cantidad a pagar en el futuro.

Hoke Colburn debía recibir al llegar a los 21 años un legado de $\$1.500$. Si el tipo corriente del interés es del $4\%$, ¿Cuál es el valor actual de ese legado cuando Colburn tiene 14 años ?

Sabemos que $$P=\frac{S}{(1+i)^n}$$

Sustituyendo las cantidades conocidas tenemos que:

$$P=\frac{1.500}{(1,04)^7}$$

$$P=\frac{1.500}{1,31593178}=\$1139,88$$

Así, el valor actual del legado para la edad indicada es de $\$1.139,88$, lo cual en su momento le permitió comprar un auto. Obviamente muchos años antes de conducir a Miss Daisy.

Antes de seguir vamos a acomodar un poco la idea a fin de introducir un nuevo concepto

Ya hemos dejado claro que dividir por $(1+\frac{i}{100})^n$ con objeto de obtener el valor actual de una cantidad a pagar en el futuro equivale a multiplicar  por $(1+\frac{i}{100})^n$. Esto es

$$P=\frac{S}{(1+i)^n}=S\cdot \frac{1}{(1+i)^n}$$

El simbolo $v^n$

Es evidente que la fracción $\frac{1}{(1+i)^n}$ es el valor actual de 1. Si la cantidad que se debe es 1, entonces e la formula S=1 y $P=\frac{1}{(1+i)^n}$.

Cuando S=1, no se usa, sin embargo, el símbolo P, sino que en su lugar se emplea el símbolo $v^n$, que representa el valor actual de 1 a pagar dentro de n años. O sea:

$$v^n=\frac{1}{(1+i)^n}$$

Consideremos ahora algunos valores para poder trabajar mas rápidamente.

partiendo de la formula anterior se han calculado los valores para la siguiente tabla que indican el valor actual de 1 ( que será nuestra unidad de moneda ) a interés compuesto para capitales variables de tiempo y a diferentes tasas de interés

$$\text{Basada en la formula. } v^n=\frac{1}{(1+i)^n}$$

$$
\begin{pmatrix}
n&1\%&2\%&3\%&4\%&5\%&6\%\\ \hline
1&0,990099&0,980392&0,970874&0,961538&0,952381&0,94339\\
2&0,980296&0,961169&0,942596 & 0,924556 &0,907029& 0,88999\\
3&0,970590&0,942322&0,915142&0,888996&0,863838&0,83961\\
4&0,960980&0,923845&0,888487&0,854804&0,822702&0,79209\\
5&0,951466&0,905731&0,862609&0,821927&0,783526&0,74725\\
6&0,942045&0,887971&0,837484&0,790315&0,746215&0,70496\\
7&0,932718&0,870560&0,813092&0,759918&0,710681&0,66505\\
8&0,923483&0,853490&0,789409&0,730690&0,676839&0,627412\\
9&0,914340&0,836755&0,766417&0,702587&0,644609&0,591898\\
10&0,905287&0,820348&0,744094&0,675564&0,613913&0,558395\\
\end{pmatrix}
$$

Problemas a resolver usando la tabla

  1. ¿Cuál es el valor actual de $\$1$ dinar tunecino a pagar dentro de un año el $5\%$? R: $\$0,95238$
  2. ¿Cuál es el valor actual de $\$1$ peso mexicano a pagar dentro de 6 años al $3\%$ con capitalización anual?R:$\$0,83748$
  3. Si el valor actual de un yen japonés a pagar dentro de 9 años es $\$0,64461$, ¿Cuál es el tipo de interés anual?  R:$5\%$
  4. ¿Cuál es el valor Actual de un Euro a pagar dentro de 7 años al $4\%$ con capitalización anual ?  R: 0,75992
  5. ¿Cuál es el valor actual de un franco guineano a pagar dentro de 9 años al 6% capitalizado anualmente? R:0,59190
  6. Si el valor actual de 1 rupia india a pagar dentro de 4 años con interés capitalizado anualmente , es $\$0,85480$ ¿Cuál es la tasa de interés? R: 4%
  7. Si una deuda a pagar en el Futuro, de 1 corona sueca tiene un valor actual de $\$0,74726$, siendo el interés  del $6\%$ con capitalización  anual. ¿Cuánto tiempo tardará en vencer la deuda ?  R:  5 años
  8. Si la población  de Kilis en Turquía de aquí a 10 años se estima en 100.000 habitantes , y el tipo de crecimiento es del $2\%$  ¿Cuál es su población actual? R:82.035 personas.

 

 

 

 

En proceso:  mayo 18 , 2020.

Produciendo en la cuarentena

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